アットランダム≒ブリコラージュ

α,α^2-2,(α^2-2)^2-2,...が解である方程式の背景☆

「3次方程式x^3+x^2-2x-1=0の解

3次方程式x^3+x^2-2x-1=0の解をαとします。

さて、

α^2-2

を方程式に代入すると、αが解であることから、α^2-2も解になることが容易に分かります。

つまり解が一個見つかれば、それを2乗して2を引けばそれもまた解であることが分かるので、重複しないことさえ確認しておけば、3つの解は

α,α^2-2,(α^2-2)^2-2

と出来ることになります。

こういう問題の誘導がついていれば、もちろんその通りだと思うのですが、α^2-2が元の方程式の解であるということはどうやって分かるのでしょうか？

＊

どうもこの方程式は1の7乗根を求めるときに出てくる方程式らしいというのが分かりました。

相反方程式：y^6+y^5+…+y+1=0で、x=y+1/yとおけば、

x^3+x^2-2x-1=0を満たし、元のyの方程式の解はηを1の（原始）7乗根とすれば、

η^2も解になるので、したがって

x'=y^2+1/y^2=(y+1/y)^2-2=x^2-2も解になるということが分かるようです。

同じ議論を使って(p-1)/2次の方程式でα^2-2が解になる問題が作れそうです。・・・」

*なるほどぉ〜〜〜♪

α^2-2　って形から...相反方程式に思いをいたさねばならなかったのねぇ ^^;

画像：http://kurobe3463.blogspot.jp/2007/05/figure-of-radical-root-of-1.html より 拝借 Orz〜

x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)=0

x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)=0

　x^3+x^2+x+1+1/x+1/x^2+1/x^3=(x^3+1/x^3)+(x^2+1/x^2)+(x+1/x)+1=0

　t^3=x^3+1/x^3+3(x+1/x)

　t^3-3t+t^2-2+t+1=t^3+t^2-2t-1=0

x+1/x が解なら...

x^2 も x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 の解だから...360°/7 に、1〜6を掛けても...0°=1 にはならないからなのね...

α,α^2-2, (α^2-2)^2-2 の3個は上の３次方程式の根になることの背景がわかりましたね☆

ちなみに...1の5乗根なら...

画像：http://kurobe3463.blogspot.jp/2007/05/figure-of-radical-root-of-1.html より 拝借 Orz〜

x^4+x^3+x^2+x+1=t^2+t-1=0

(t^2-2)^2+(t^2-2)-1=t^4-3t^2+1=(1-t)^2-3t^2+1=-2t^2-2t+2=-2(t^2+t-1)=0

で成り立ってるわけね♪

1の11乗根はさすがに面倒だから...やめちゃうけど...

http://kurobe3463.blogspot.jp/2007/05/ninth-power-root-of-1.html より 引用 Orz〜

「

を解くことになる．

ところが，5次方程式は，四則計算と累乗根で表される一般解は存在しないことが証明されている（Abel）から，閉じた式で厳密解は記述できないことの方が多い．
実は，この方程式は記述可能だけど，面倒だからあきらめる．
仮に記述できない方程式であっても，代数学の基本定理により，11次方程式は最大で11個の解を持ちうることが証明されているから，閉じた式で表せなくても，解は存在する．・・・」

*この場合でも...同じことは言えるわけですね ^^

5乗だから...α,α^2-2, (α^2-2)^2-2, ((α^2-2)^2-2)^2-2, (((α^2-2)^2-2)^2-2)^2-2 も解のはずってことね...^^

円周角の定理/接弦定理...^^

いまさらですが...^^

円周角の定理

http://ja.wikipedia.org/wiki/円周角 より Orz〜

「円周角とは、ユークリッド幾何学においてある円周上の一点から、この点を含まない円周上の異なる二点へそれぞれ線分を引くとき、その二つの線分のなす角のことである。円周角 C (rad) は 0<C<π を満たす。

円周上にとる点の位置に関わりなく、円周角の大きさ C は対応する円弧を含む扇形の中心角の大きさ α のみに依存し、以下のように表わされる。

http://upload.wikimedia.org/math/7/2/0/7203d29500399bac7ab778e76caaa787.png

これは円周角の定理として知られる。」

つまり...「同じ円において長さが同じ円弧に対応する円周角はみな同じ」

画像：http://dac.gijodai.ac.jp/it-con/h16_sakuhin/ippan/ippan3/math/3grade/circle/proof1.htm より 拝借 Orz〜

*この図一発でわかりますね♪

同じ円弧に対応する中心角は同じで...

円周角はその半分だから同じ...☆

節税じゃなくって...^^;...

接弦定理とは...

画像：http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/text_1/6/08/001a.htm より 引用 Orz〜

「円に内接する _{http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/text_1/6/08/001.files/image002.gif} があるとき，

_{http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/text_1/6/08/001.files/image004.gif} を接点とする接線と円の弦 _{http://www.e-learning-jp.net/teach_math/mathA/text_1/6/08/001.files/image006.gif} の作る角は，

その角の内部にある弦に対する円周角と等しくなります。」

これは...直感的には...

Cが限りなくAに近づいたときの円周角の極限として理解できますね♪

しかも...◯+角A+●=180°と...

三角形の内角の和が平行線を使わずとも言えてますね☆

上の図で明らかとなりますが...

角Cが鈍であろうが...

角C=180°-角A-角B=●

から、常に明らかですよね☆

ルジンの問題：平面がすべて異なる正方形で覆い尽くせることを示す証明(別解)☆

標題の証明の素敵な別解を鍵コメT様から頂戴しましたのでご紹介させていただきまっす☆

・鍵コメT様のもの Orz〜

完全正方形分割とフィボナッチ数列の性質を使う方法もありますが，
より弱く，完全正方分割長方形を前提として，
例えば32*33の長方形から，次々に，33*65，65*98，98*163のように
完全正方分割長方形を構成していく方法もあります．

また，フィボナッチ数列をまったく使わず，
以下のように，完全正方形分割だけを用いる方法も可能です．
まず，1つの完全正方形分割を作り，
そのできた正方形を最小の正方形とするような完全正方形分割を作り，…
のようにすれば，再帰的にいくらでも大きい領域が，
異なる大きさの正方形で覆われることがわかりますね． 

つまり...

(1) 完全正方分割長方形＋フィボナッチ数列を使う方法...

画像：http://www.geocities.co.jp/Berkeley-Labo/6317/seihoukei_02.htm より 引用 Orz〜

完全正方分割長方形(32*33)を示しますが...↑

次は、33^2 の正方形+(32*33)

その次は、(33+32)^2 の正方形＋33*65 →65^2+33^2+(32*33)

と...次々に作っていけることがわかりますね♪

なるほどです☆

(2) 完全正方形分割だけを使う方法...

上に書かれてある通りですが...

画像：http://www.geocities.co.jp/Berkeley-Labo/6317/seihoukei.htm より 引用 Orz〜

逆転の発想で...一番小さい正方形をこの場合は大きい正方形の１辺の1/122に縮小していけばいいでしょってわけね ^^

*それぞれ、何種類かあるとしても、一つでもあれば言えますものね☆

Fibonacci 数^3...全ての自然数は、異なるフィボナッチ数の和で表せる。

画像：http://ameblo.jp/hsf-systemtrading/entry-11201255330.html より 引用 Orz〜

画像：http://www.geocities.co.jp/Berkeley-Labo/6317/seihoukei.htm より 引用 Orz〜

「★完全正方分割正方形（＝完全正方形）
すべて異なる正方形から構成されるものです。
図２が最も位数の小さい（位数21）の完全正方分割正方形です」

これは不思議なような不思議でないような...^^

だって...平面はすべて異なる正方形で覆い尽くせることが知られているんだけど...

そこに使われるのが...フィボナッチ数列の性質なのよ...^^...

あと、初めの1x1の正方形の完全正方形分割が可能を使うんだけど...

これはすでにアップしてるはず♪ (上に再掲)

で...

「全ての自然数は、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表すことができる。」

の証明を見つけたので...☆

「（証明）　

ｎ＝１　のときは、明らか。

ｎ＝２　のとき、　２＝１＋１　なので、　ｎ＝２　のときも成り立つ。

(*2=2 ということでいいですね...?)
ｎ＝３　のとき、　３＝２＋１　なので、　ｎ＝３　のときも成り立つ。
ｎ＝４　のとき、　４＝３＋１ (＝２＋１＋１)　なので、　ｎ＝４　のときも成り立つ。

今、任意の自然数を Ｎ とし、Ｎ未満の自然数については、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表すことができるものと仮定する。

ここで、Ｎを超えない最大のフィボナッチ数を ａ_ｎ とおく。

このとき、　Ｎ＜ａ_ｎ+1　が成り立つ。

ａ_ｎ+1＝ａ_ｎ＋ａ_ｎ-1 なので、　０≦ Ｎ−ａ_ｎ＜ａ_ｎ-1

ａ_ｎ-1＜ａ_ｎ≦Ｎ　より、帰納法の仮定から、Ｎ−ａ_ｎ は異なるいくつかのフィボナッチ数の和

として表せる。

すなわち、Ｎは、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表せる。

以上から、

全ての自然数は、異なるいくつかのフィボナッチ数の和として表すことができる。

攻略法さんが（性質２３）に注目され、1から100までのうち個数が最多と最少のものを調査されました。

1+2+3=6←※
1+5=6

(1+1+2+3=7←※)
2+5=7

(1+1+2+5=9) 1+3+5=9 1+8=9

(1+1+3+5=10) 2+3+5=10←※ 2+8=10

1+2+3+5=11←※ 3+8=11

(1+1+2+3+5=12←※) 1+3+8=12

・・・　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」

*わかったような...^^;...?

自然数を作り上げる操作にも似てる...?

Fibonacci 数^2...a(n+m)=a(n-1)*a(m)+a(n)*a(m+1)...

画像：http://blog.livedoor.jp/clock510/archives/1256351.html より 引用 Orz〜

「頭をあげた女性の髪から流れる水の軌跡。

それがまさしくフィボナッチ螺旋を描いているんです。

自然界の不思議さを

物語る一枚だと思いませんか？」

続きです...^^

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fibonacci/fibonacci.htm より 引用 Orz〜

「

ａ_ｎ＋ｍ＝ａ_ｎ-1ａ_ｍ＋ａ_ｎａ_ｍ+1

_(証明)

ｍ に関する数学的帰納法により、簡単に示すことができる。

実際に、ｍ＝１ のとき、右辺＝ａ_ｎ-1ａ₁＋ａ_ｎａ₂＝ａ_ｎ-1＋ａ_ｎ＝ａ_ｎ+1＝左辺

ｍ＝２ のとき、右辺＝ａ_ｎ-1ａ₂＋ａ_ｎａ₃＝ａ_ｎ-1＋２ａ_ｎ＝ａ_ｎ-1＋ａ_ｎ＋ａ_ｎ＝ａ_ｎ+2＝左辺

ｍ＝ｋ、ｋ＋１（ｋ≧１） のとき、成り立つと仮定する。

即ち、ａ_ｎ＋ｋ＝ａ_ｎ-1ａ_ｋ＋ａ_ｎａ_ｋ+1　、　ａ_ｎ＋ｋ+1＝ａ_ｎ-1ａ_ｋ+1＋ａ_ｎａ_ｋ+2

このとき、ａ_ｎ-1ａ_ｋ+2＋ａ_ｎａ_ｋ+3＝ａ_ｎ-1(ａ_ｋ+1＋ａ_k)＋ａ_ｎ（ａ_ｋ+2＋ａ_k+1）

　　　　　　　　　　　　　　　　＝(ａ_ｎ-1ａ_ｋ＋ａ_ｎａ_ｋ+1)＋(ａ_ｎ-1ａ_ｋ+1＋ａ_ｎａ_ｋ+2)

　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ_ｎ＋ｋ＋ａ_ｎ＋ｋ+1

　　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ_ｎ＋ｋ+2

よって、ｍ＝ｋ＋２ のときも成り立つので、全ての自然数に対して、与式は成り立つ。

ｎ＝ｍ のときを考えることにより、次の性質を得る。

・ａ_2ｎ＝ａ_ｎ+1²−ａ_ｎ-1²

対になる式...^^

・ａ_2ｎ+1＝ａ_ｎ+1²＋ａ_ｎ²

(証明)...FNさんからのもの Orz

nをｎ＋１に、ｍをｎにすることにより得られる。

*ＨＮ「攻略法」さんからのもの Orz〜

ａ_ｎ+1²−ａ_ｎ²＝（ａ_ｎ+1−ａ_ｎ）（ａ_ｎ+1＋ａ_ｎ）＝ａ_ｎ-1ａ_ｎ+2

「フィボナッチ数列 ａ₁＝１、ａ₂＝1、ａ_ｎ+2＝ａ_ｎ＋ａ_ｎ+1　（ｎ＝１，２，・・・）で、

ａ＝ａ_ｎ-1ａ_ｎ+2　、ｂ＝２ａ_ｎ+1ａ_ｎ　、ｃ＝ａ_2ｎ+1　とおけば、　

ａ²＋ｂ²＝ｃ²　が成り立つ。」

（証明）　 

ａ_ｎ-1ａ_ｎ+2＝ａ_ｎ+1²−ａ_ｎ²

ａ_2ｎ+1＝ａ_ｎ+1²＋ａ_ｎ²

より、　ａ＝ａ_ｎ-1ａ_ｎ+2＝ａ_ｎ+1²−ａ_ｎ²　、　ａ_2ｎ+1＝ａ_ｎ+1²＋ａ_ｎ²　なので、

ａ_ｎ+1＝ｓ　、ａ_ｎ＝ｔ　とすると、

ａ＝ｓ²−ｔ²　、　ｂ＝２ｓｔ　、　ｃ＝ｓ²＋ｔ²　なので、

ａ²＋ｂ²＝ｃ²　が成り立つ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」

*最後のピタゴラス数とフィボナッチ数との関係に驚き桃ノ木欣喜歓喜 ^^

 思いつく人/頭脳が素敵だ♪