アットランダム≒ブリコラージュ

Fibonacci 数...a(n+1)^2-a(n)*a(n+2)=(-1)^n

画像：http://blog.livedoor.jp/clock510/archives/1688040.html より 引用 Orz〜

Appleのロゴが美しい理由---フィボナッチ数列、黄金比

左図・右図のピンク線は黄金長方形とフィボナッチ螺旋。

「ロゴマークの曲線を分解してみると、直径が1，2，3，5，8，13の円で構成されているそうです。この数列はまさしくフィボナッチ数列。黄金比と呼ばれる最も安定した美しい比率に裏付けられたデザインだからこそ、我々を魅了するのかもしれません。Appleがこのロゴをデザインしたときに黄金比を意識したこの方法を用いたかどうかは不明ですが、結果としてそこに収まっているという点に注目です。」

　

フィボナッチ数 a(n) がもっている面白い性質はいろいろあるようですが...

「a(n+1)^2-a(n)*a(n+2)=(-1)^n 」の証明がわからず...調べて見つけた ^^;v

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fibonacci/fibonacci.htm より 引用 Orz〜

「

(証明1)

証明は、ｎ に関する数学的帰納法により、簡単に示すことができる。

実際に、ｎ ＝ １ のとき、左辺＝ａ₂²−ａ₁ａ₃＝１−２＝−１＝左辺

ｎ＝ｋ (ｋ≧１）のとき、成り立つと仮定する。即ち、ａ_ｋ+1²−ａ_ｋａ_ｋ+2＝(−１)^ｋ

このとき、ａ_ｋ+2²−ａ_ｋ+1ａ_ｋ+3＝ａ_ｋ+2²−ａ_ｋ+1(ａ_ｋ+1＋ａ_ｋ+2)

　　　　　　　　　　　　　　　＝(ａ_ｋ+2−ａ_ｋ+1)ａ_ｋ+2−ａ_ｋ+1²

　　　　　　　　　　　　　　　＝ａ_ｋａ_ｋ+2−ａ_ｋ+1²

　　　　　　　　　　　　　　　＝−(−１)^ｋ

　　　　　　　　　　　　　　　＝(−１)^ｋ+1

よって、ｎ＝ｋ＋１ のときも成り立つので、全ての自然数に対して、与式は成り立つ。

(証明2)

ビネの公式を用いればよい。

ａ₁＝１、ａ₂＝１、ａ_ｎ＝ａ_ｎ-1＋ａ_ｎ-2　（ｎ＝３，４，・・・）で定まる数列の一般項は　　　　　　　

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fibonacci/fibonacci5.gif

但し、

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fibonacci/fibonacci2.gif

　　　

で与えられるので、

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/fibonacci/fibonacci3.gif 

ここで、　α＋β＝１　、αβ＝−１　なので、　（α−β）²＝（α＋β）²−４αβ＝５

よって、　ａ_ｎ+1²−ａ_ｎａ_ｎ+2＝（1/5）(−１)^ｎ・５＝(−１)^ｎ　が成り立つ。

(証明3)...ｚｋ４３さんのもの Orz〜

漸化式　ａ_ｎ+2＝ａ_ｎ+1＋ａ_ｎ　より、

ａ_ｎａ_ｎ+1＝ａ_ｎ（ａ_ｎ+2−ａ_ｎ）＝ａ_ｎａ_ｎ+2−ａ_ｎ²

同様に、漸化式　ａ_ｎ+1＝ａ_ｎ＋ａ_ｎ-1　より、

ａ_ｎａ_ｎ+1＝（ａ_ｎ+1−ａ_ｎ-1）ａ_ｎ+1＝ａ_ｎ+1²−ａ_ｎ-1ａ_ｎ+1

よって、　

ａ_ｎａ_ｎ+2−ａ_ｎ²＝ａ_ｎ+1²−ａ_ｎ-1ａ_ｎ+1　より、　

ａ_ｎ+1²−ａ_ｎａ_ｎ+2＝−（ａ_ｎ²−ａ_ｎ-1ａ_ｎ+1）

したがって、　

ａ_ｎ+1²−ａ_ｎａ_ｎ+2＝（−１）^ｎ-1（ａ₂²−ａ₁ａ₃）

＝（−１）^ｎ-1（１²−１・２）＝（−１）^{ｎ　　　　　　　　　　」}

^{*証明3が華麗だなぁ♪}

正7角形...1/a=1/b+1/c ☆

美しい式に遭遇☆

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/heptagon.htm#%89~%8E%FC%82%CC%93%99%95%AA%93_%82%CC%90%AB%8E%BF より 引用 Orz〜

円に内接する正７角形において、以下の関係が成り立つ。

１/ａ＝１/ｂ＋１/ｃ

証明

図において、四角形 ＡＣＤＥ は、円に内接する四角形なので、プトレマイオスの定理より、

　　　　　　　ＡＤ・ＣＥ＝ＣＤ・ＡＥ＋ＡＣ・ＤＥ

よって、　　ｂｃ ＝ ａｃ ＋ ａｂ　　が成り立つから

　　　　　　　１/ａ＝１/ｂ＋１/ｃ

である。　

*正五角形の場合...

トレミーの定理を使って...

b^2=a^2+ab

(b/a)^2=1+(b/a)...x^2-x-1=0...(x-1/2)^2=5/4...x=(1+√5)/2...黄金比

直径cを対角線とする長方形を考えたら...

c^2=a^2+b^2

というピタゴラスの定理も出せるという優れもの...☆

・ＨＮ「ｔｉｍｏｎ９２」さんによる証明

図のように、辺ＡＢとＣＤの延長上の交点をＥと置くと、∠ＡＥＣ＝∠ＡＣＥ＝３π/７　で、

△ＡＥＣは、ＡＥ＝ＡＣの２等辺三角形である。

よって、　ａ/ｃ＝ＡＢ/ＡＤ＝ＢＣ/ＡＤ

また、ＢＣとＡＤは平行なので、

ＢＣ/ＡＤ＝ＢＥ/ＡＥ＝（ｂ−ａ）/ｂ

したがって、ａ/ｃ＝（ｂ−ａ）/ｂ＝１−ａ/ｂ　より、

　　　　１/ａ＝１/ｂ＋１/ｃ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　」

*b : c = (b-a) : a

  ab=bc-ac

  1/c=1/a-1/b

こういう二等辺△は...

(x+2x)+2*(2x)=π

x=π/7　という特殊性によってるわけね☆

円の等分点...

美しい問題に遭遇♪

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle9.htm より 引用 Orz〜

「「らすかる」さんから問題が提起された。

「単位円周上に等間隔に、ｎ 点（ｎ≧２）をとり、ある点と他の ｎ−１ 点をそれぞれ結ぶと、それら ｎ−１ 本の線分の長さの積は ｎ である。」

上記サイトより Orz〜

「ｚｅｘｉｏ さんによれば、この問題は、１９９９〜２００２年位に出版された「大学への数学」の宿題にあったそうである。

いくつか手計算で確認してみよう。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle901.gif	ｎ＝２　のときは、 長さの積＝２ なので、命題は成り立つ。		http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle902.gif	ｎ＝３　のときは、 長さの積＝http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/root3.gif×http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/rootjpg/root3.gif ＝３ なので、命題は成り立つ。
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle903.gif	ｎ＝４　のときは、 長さの積＝http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/relax/root2.gif×２×http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/relax/root2.gif ＝４　 なので、命題は成り立つ。

・・・

ガウス平面 Ｃ において、　Ａ₀（１） とし、１８０°/ｎ＝θ　とする。

　　　　　　　　　　　　　　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle913.gif

とおくと、　Ａ_k（α^k） と書くことができる。・・・

２つの複素数 １−α^k と １−α^ｎ−k も互いに共役な複素数となる。

このとき、　その積について、

　　　 （１−α^k）（１−α^ｎ−k）＝｜１−α^k｜・｜１−α^ｎ−k｜＝Ａ₀Ａ_ｋ×Ａ₀Ａ_ｎ−ｋ

が成り立つ。

以上から、　

Ａ₀Ａ₁×Ａ₀Ａ₂×・・・×Ａ₀Ａ_ｎ−1＝（１−α）（１−α²）・・・（１−α^ｎ−2）（１−α^ｎ−1）

となる。

ここで、　Ｆ（ｘ）＝（ｘ−α）（ｘ−α²）・・・（ｘ−α^ｎ−2）（ｘ−α^ｎ−1）　とおくと、

α は、１ の ｎ 乗根なので、　方程式 ｘ^ｎ−１＝０　の解である。

　このとき、　α≠１　で、　ｘ^ｎ−１＝（ｘ−１）Ｆ（ｘ）　が成り立つ。

両辺を ｘ で微分して、　ｎｘ^ｎ-1＝Ｆ（ｘ）＋（ｘ−１）Ｆ’（ｘ）

上式に、ｘ＝１ を代入して、

　　　　　ｎ ＝ Ｆ（１） ＝ （１−α）（１−α²）・・・（１−α^ｎ−2）（１−α^ｎ−1）

したがって、
　　　　　　　　　Ａ₀Ａ₁×Ａ₀Ａ₂×・・・×Ａ₀Ａ_ｎ−1 ＝ ｎ

が成り立つ。

「原点中心の単位円に内接する正 ｎ 角形 Ｃ₁Ｃ₂Ｃ₃・・・Ｃ_n において、ＯＣ₁上に点 Ｐ をＯＰ ＝ ｘ であるようにとる。

このとき、 ｘ^ｎ−１＝ＰＣ₁・ＰＣ₂・・・ＰＣ_n　が成り立つ。」

Ａｎｏｎｙｍｏｕｓ　さんによれば、この定理の発見者はコーツ（Ｒｏｇｅｒ　Ｃｏｔｅｓ　1682〜1716）とのこと。ニュートンのお弟子さんで、プリンキピア第２版の編集を行った方。

画像：http://www.apprendre-math.info/japonais/historyDetail.htm?id=Cotes より 拝借 Orz〜

ニュートンは早すぎる彼の死を悼んで、

Ｉｆ　ｈｅ　ｈａｄ　ｌｉｖｅｄ　ｗｅ　ｍｉｇｈｔ　ｈａｖｅ　ｋｎｏｗｎ　ｓｏｍｅｔｈｉｎｇ．

と言ったそうである。

意訳をすれば、

彼が死んでしまって、我々に未知の部分が残ってしまった！

ところで、ｘ＝０　のとき、　ＰＣ₁・ＰＣ₂・・・ＰＣ_n＝−１　になるが、ＰＣ₁、ＰＣ_2、・・・に何らかの意味づけが必要だろう。

ガウス平面において、Ｐ、Ｃ₁、Ｃ₂、・・・、Ｃ_n　を複素数とし、例えば、ＰＣ₁＝Ｐ−Ｃ₁　と
考えれば、矛盾が起きないように思う。

すなわち、　｜ＰＣ₁｜・｜ＰＣ₂｜・・・｜ＰＣ_n｜＝−ＰＣ₁・ＰＣ₂・・・ＰＣ_n＝１　となる。

また、このように理解すれば定理の式は今日で言うところの複素数の範囲での因数分解

　　　　　　ｘ^ｎ−１＝（ｘ−Ｃ₁）（ｘ−Ｃ₂）・・・（ｘ−Ｃ_n）

と同義であり、上記で述べた証明で、複素数が使われる原典にもなっているようだ。」

(1-1+1-1+…)^2=1-2+3-4+…=1/4

http://ja.wikipedia.org/wiki/1-2%2B3-4%2B… より Orz〜

「1−2+3−4+… は、無限級数の一つで、項番号と同じ自然数が各項に現れる交項級数として以下の式で表される。

http://upload.wikimedia.org/math/5/5/1/551c8e72138859374ce1fdef7d92c83a.png

その部分和は 1, −1, 2, −2, 3, −3, … と一定の値に近づくことはないので、この級数は発散するというのが一般的な解釈である。しかし計算方法によってはこの級数が収束すると考えることもでき、その場合の収束値は 1/4 である。 これは18世紀にレオンハルト・オイラーによって発見された。その後エミール・ボレルらによって研究が行われ、その他の部分和が収束しない級数（1−1+1−1+… など）の収束値についても考察がなされた。・・・

収束すると考えた場合の計算

以下の議論は単なるヒューリスティクスであり、現代的な観点からは厳密な証明とは認められない。

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − … = S とおき、4S を計算する。

4S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…)

　 = (1−2+3−4+…)+1+(−2+3−4+5−…)+1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…)

　 = 1+(1−2−2+3)+(+3−4−4+5)+(−2+3+3−4)+(−4+5+5−6)+…

　 = 1

*計算がよくわからない...^^;

よって、S = 1/4 である。

白丸をプラス、赤丸をマイナスとしたとき4つの級数の和が1になることの説明。

線で結ばれた白と赤の丸が相殺しあい、緑丸1つが残っている

*この図から...

1-2+3-4+5-6+7-8+...

   1-2+3-4+5-6+7-...

   1-2+3-4+5-6+7-...

      1-2+3-4+5-6+...

4S=1

にすればいいことがわかりました☆

なおこの結果を用いて 2S を計算すると

2S = (1−2+3−4+5−…)+(1−2+3−4+5−6+…)

　 = 1+(−2+3−4+5−…)+1−2+(+3−4+5−6+…)

　 = 0+(−2+3)+(+3−4)+(−4+5)+(+5−6)+…

　 = 1−1+1−1+…

2S = 1/2 なので、1−1+1−1+… = 1/2 となる。

(1−1+1−1+…)² = 1−2+3−4+…, 1−1+1−1+… = 1/2 であることを利用して 1−2+3−4+… = 1/4 を証明する方法がある。

1−1+1−1+… は公式

http://upload.wikimedia.org/math/7/3/f/73f38cf5b6564130849d194b819376ce.png（右辺のマクローリン展開とも考えられる）

に形式的に x = 1 を代入したものと考えることにする（ただし本来この式は −1 < x < 1 の範囲でしか成り立たないので、厳密にはここの議論は正しくない）。

またこの式の両辺を x で微分して −1 をかけると

http://upload.wikimedia.org/math/e/0/1/e013ee915ac6b9140c367d1f8ca4583d.png

ここで x = 1 を代入すると 1−2+3−4+… = 1/4 を得る。これらの他にも収束値を求める方法はいくつか知られている。

現代的な解釈

形式的に 1−2+3−4+… は、ディリクレのイータ関数

http://upload.wikimedia.org/math/4/4/a/44a59ee3224c346b3c6fe6810ba4c478.png

において s = −1 を代入したものである。この和は s の実部が 0 より大きくなければ収束しないが、イータ関数は複素数平面全域に解析接続されて、η(−1) の値も正式に定義される。その値は確かに 1/4 である。実際、イータ関数はゼータ関数 ζ(s) と

http://upload.wikimedia.org/math/a/5/f/a5f83bd590b8b76e50b867255e8fe5ed.png

という関係を持つので、ゼータ関数の関数等式よりイータ関数の関数等式を得るし、ゼータ関数の特殊値 ζ(−1) = −1/12 から η(−1) の値を得る。」

同様に...

1-1+1-1+...=S

1-1+1-1+...

   1-1+1-1+...

=1+0=2S

S+(S-1)=0

S=1/2

(1-1+1-1+…)^2=(1-1+1-1+...)(1-1+1-1+...)

=1-1+1-1+...

    -1+1-1+1-...

       +1-1+1-1+...

           -1+1-1+...

=1-2+3-4+5-1+...

=(1/2)^2=1/4

http://ja.wikipedia.org/wiki/1%2B2%2B3%2B4%2B… より Orz〜

「1+2+3+4+… は、無限級数の一つで、項番号と同じ自然数が各項に現れる級数として以下の式で表される。

http://upload.wikimedia.org/math/8/d/6/8d6e512079b441a498183f9e1b4dea64.png

その部分和は 1, 3, 6, 10, 15, 21, … と一定の値に近づくことはないので、この級数は発散するというのが一般的な解釈である。しかし計算方法によってはこの級数が収束すると考えることもでき、その場合の収束値は -1/12 である。これは1913年2月27日付でラマヌジャンがハーディに送った書簡の中に記されていた。

*こんな式を見たら...too crazy !! と思わない方が crazy な気がするけど...^^;

  複素数の世界と目で見えるこの世界の計算とは異なってるんだ...?...^^;;

この結果は複素解析や場の量子論、弦理論などに応用されている。・・・

収束すると考えた場合の計算

http://upload.wikimedia.org/math/5/f/a/5fa0b7cd8073120f05dc54409e7a64a0.png　の両辺を r で微分すると

http://upload.wikimedia.org/math/c/b/5/cb5f3bc0c408422d0859f182b4db6c99.png　ここで両辺に r = -1 を代入すると

http://upload.wikimedia.org/math/2/6/9/26962e4763716fd22bb74900def1ec3c.png　を得る。1+2+3+4+…= S とおくと

http://upload.wikimedia.org/math/4/6/e/46e19588d055827115559ef3a29ca783.png

(1)+(2)=(3) であるので右辺どうしを比較して

http://upload.wikimedia.org/math/2/3/4/234c4021cb8e86f1b34f9628137817a8.png

http://upload.wikimedia.org/math/3/7/d/37d5ef6a2196fdf55854c03649a9148d.png

となる。

本来 http://upload.wikimedia.org/math/5/f/a/5fa0b7cd8073120f05dc54409e7a64a0.png は -1 < r < 1 の範囲でしか成り立たないので、この議論は厳密には正しくない。

現代的な解釈

形式的に S はゼータ関数

http://upload.wikimedia.org/math/0/1/d/01d37a73266220f99a57861793e9b660.png

において s = -1 を代入したものである。この和は s の実部が 1 より大きくなければ収束しないが、ゼータ関数は複素数平面全域に解析接続されて、ζ(-1) の値も正式に定義される。その値は確かに -1/12 に等しい。 これは以下のゼータ関数の関数等式から導かれる。

http://upload.wikimedia.org/math/b/7/8/b78a9b6c8c6503db39c397ec290f2fa3.png

ここでΓはガンマ関数である。これに s = -1 を代入すると以下のようになる。

http://upload.wikimedia.org/math/9/e/c/9ec61d7057ff63ced48f4de2c53c4162.png

http://upload.wikimedia.org/math/c/e/2/ce268bbbfa87226fcca69a45b4920fff.png 、 http://upload.wikimedia.org/math/a/d/9/ad91b164d495c479e976f4d8e28b26ae.png 、 http://upload.wikimedia.org/math/b/0/4/b04fb1284674de21a3244f077ba33527.png （→バーゼル問題）なので

http://upload.wikimedia.org/math/4/f/c/4fce7b3618e94f2cf4246aaef5e3b150.png　」

*摩訶不思議な計算だけど...

ラマヌジャンは平気でこんな無限級数の計算をなされていたのねぇ☆

α+β+γ=π...tanα+tanβ+tanγ=tanα*tanβ*tanγ...ヘロンの公式☆

とっても素敵な証明☆

既出かも知れないけど...^^;...Orz〜

画像：http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/heron/heron.htm#%90%B3%90%DA%82%CC%90%AB%8E%BF より 引用 Orz〜

「△ＡＢＣ　において、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ、ＡＢ＝c、とし、
２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃ　により、ｓ を定める。

△ＡＢＣ　の内心を、Ｉ　、半径を　ｒ　とする。
Ｉ　から各辺に下ろした垂線の足をそれぞれＰ、Ｑ、Ｒ　とする。

また、図のように、２つの線分のなす角を α、β、γ　とする。

１つの頂点から引いた接線の長さは等しいから、ＢＰ＋ＣＱ＋Ａ＝ｓ　が成り立つ。

このとき、ＢＰ＝ｓ−ＣＱ−ＡＲ＝ｓ−ＣＱ−ＡＱ＝ｓ−ＣＡ＝ｓ−ｂ　である。

同様にして、　ＣＱ＝ｓ−ｃ　、　ＡＲ＝ｓ−ａ　が成り立つ。

α＋β＋γ＝π　なので、

したがって、α＋β＋γ＝π　ならば、

が成り立つ。このとき、

が成り立つので、

したがって、求める△ＡＢＣ　の面積 Ｓ は、

（参考文献：浅見　汎　著　ヘロンの公式を導く（啓林　高数編　Ｎｏ．205）（啓林館））」

*r^2*(3s-(a+b+c))=r^2*s

 r^2*s^2=s(s-a)(s-b)(s-c)

だからですね...

tanの美しい式と対をなすような美しいヘロンの公式ね☆

α＋β＋γ＝π は...

３個の角がα,β,γの三角形においても成り立つわけですね☆

π/２のときは...tan(π/2)=sin(π/2)/cos(π/2) の分母のcos(π/2)=0 になるので使えないようだけど...

ヘロンの公式は使えるから...不思議と言えば不思議...^^;...?

以下のような問題に気づけるようになれれば楽しいだろうなぁ☆

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/origin/origin.htm より 引用 Orz〜

「問題　　ＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸ＝１　のとき、次の等式が成り立つことを示せ。

　　　　　　　　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/origin/origin1.gif

証明

いま、α＋β＋γ＝π　とすると、

この式は、まさしく、

そのものである。

したがって、条件式　ＸＹ＋ＹＺ＋ＺＸ＝１　は、実は三角形における次の関係式から得られる。

三角形の３つの内角を、α、β、γ　とすると、

正接の２倍角の公式より、

このことから、

とおくと、

である。
したがって、

は、

そのものであることが分かる。

（参考文献：浅見　汎　著　ヘロンの公式を導く（啓林　高数編　Ｎｏ．205）（啓林館））」

*tan はあらゆる実数に対応するから...応用範囲が広いんですよね...^^