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アットランダム≒ブリコラージュ

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証明

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ピタゴラスの新たな証明？ by やどかりさん☆

もしかしたら新たなピタゴラスの証明かも知れないかも ^^…?

やどかりさんのブログ http://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/36386928.html#36386928

より引用 Orz～

「　　これを利用すれば三平方の定理の証明ができます。

　△PCQにおいて三平方の定理の証明

　　正方形ABCDの１辺を (CP＋CQ＋PQ)/2 として、

　　正方形ABCD＝2△APQ＋△PCQ だから、4･正方形ABCD＝8△APQ＋4△PCQ 、

　　(CP＋CQ＋PQ)²＝4･PQ･(CP＋CQ＋PQ)/2＋2･CP･CQ 、

　　(CP＋CQ＋PQ)²－2･PQ･(CP＋CQ＋PQ)－2･CP･CQ＝0 、

　　(CP＋CQ＋PQ)(CP＋CQ－PQ)－2･CP･CQ＝0 、

　　(CP＋CQ)²－PQ²－2･CP･CQ＝0 、

　　CP²＋CQ²＝PQ² になります。　」

*匠の業ね ♪

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錐体の体積の式の「1/3」を納得する方法☆

画像：http://malum.blog5.fc2.com/blog-entry-365.html より引用 Orz～

「立方体を３等分する

立方体を下の図のように３等分する方法です。３つの三角錘は大きさも形も同じです。

*納得ですね♪

三角柱を３等分する

*これよりも下の図の方が少しばかりわかりやすいかも…?

*どっちもどっちかなぁ…^^;…Orz...

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2平方和表現の個数とπ ☆

画像：http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/20111101/1320149139 より引用 Orz～

「ｎ＝１００（原点まわりの２００×２００の格子点）の図示であります。

黄色が原点からの距離が１００以下の格子点で「31397」個ある。

赤点は丁度距離が１００となる点で「20」個ある。

ピックの式から　円周率の近似値＝(31397+20/2-1)/10000=3.140600000　」

これとはまた違う気がするけど似てますよね ^^…?

http://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/45163751.html 参照 ^^

以前以下のような事実に遭遇してて...不思議だなぁと思っていました…☆

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/837_r5.htm より引用 Orz～

「［１］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）

特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．

このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2

幾何学的な解釈を与えると半径√ｐの円上には８個の格子点が存在するのです．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．この定理はフェルマーの定理と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明がなされています．

それでは，どのような自然数ｍが２つの平方数の和の形に書くことができるのでしょうか？　２つの平方数の和になる数ｍ＝４ｎ＋３はありません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｎ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．

・・・

ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2

和の順序や整数の正負も区別すると，２は２つの平方数の和で４通りに表せる．

　　２＝（±１）^2＋（±１）^2

しかし，３は２つの平方数の和では表せない数である．５は

　　５＝（±２）^2＋（±１）^2

　　５＝（±１）^2＋（±２）^2

と書けるから８通りに表せる．そこで

［Ｑ］正の整数ｎを２つの平方数の和で表す方法は，平均して何通りあるか？

［Ａ］たとえば，１，２，・・・，１０の表し方の個数はそれぞれ，４，４，０，４，８，０，０，４，４，８だから，平均は３．６である．１２８までのとき，平均は３．１５６２５となるそうだ．平均してπ通りあるのだが，共通点がなにもないようなこんな意外なところになぜπが出てくるのだろうか？」

で、その証明を考えていたんだけど、風呂で閃いて書こうと思い、その前に調べてみると何とすでになされてましたのねぇ ^^;v

わたしが思ったのは、自然数nとして半径√n とするとその格子点を通る円の面積はPickの定理を使ったとき、その中の格子点の個数に近似するわけです♪

so…

半径√nまでの格子点の和=n*π

so…

π=(半径√nまでの格子点の和)/n

となりますね ^^

この発想はわたしのオリジナルなんかじゃなくって...以下のサイトにも紹介されてますけど…

とっくに同じ発想で証明されてる/気付かれてたわけねぇ ^^;☆

↓

http://www.nara-wu.ac.jp/core/moya/img/pdf/20150709.pdf

but...わたしはその上をといってもアナロジーですけど…^^;

半径√n 格子点の数=(4/3)πn^3

から…

3(半径√n 格子点の数)/(4n^2)=π

(このときは…3平方和で表せるときの格子点の個数になるわけだけど…)

になるんじゃないかと思ったけど…

なんと…3次元版のPickの定理ってのは存在しないのねぇ…^^;;

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/531_p1.htm より引用 Orz～

「ピックの定理を一般化して，３次元格子上に頂点をもつ多面体の体積公式を作ることができるだろうか？　実は，３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないことが証明されている（リーブ，１９５７）」

http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hachi/COS/combin.jp/maebara_08.pdf

も面白そう…but…難ぃ ^^;

しつこく…^^

球の表面上ではPickの定理は使えないんだろうか知らん？

探しても見つからないけど…?

あれば…3次元版のものができそうだから無いんだべなぁ…^^

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「π の近似に関する最も美しい結果の一つ」☆

こんな式を見つけられるのが凄いわねぇ ^^;v

画像：https://ja.wikipedia.org/wiki/アルキメデスより Orz～

フィールズ・メダル

https://ja.wikipedia.org/wiki/円周率が22/7より小さいことの証明より Orz～

「円周率が22/7より小さいことの証明

有名な数学的事実であるところの、円周率 π が 227 より小さいことの証明は、古代ギリシアのアルキメデスに始まり、何通りも与えられている。本項では、そのうちの一つで、微分積分学の初等的なテクニックのみを用いる、近年に発見された証明を扱う。この証明は、その数学的な美およびディオファントス近似の理論との関係によって、現代数学においても注目されてきた。スティーヴン・ルーカスは、これを「π の近似に関する最も美しい結果の一つ」と呼び、ジュリアン・ハヴィルは、円周率の連分数近似の議論を終える際に「この結果に言及せざるを得ない」と述べた上で証明を示している。・・・

この証明の評価方法は一般化され、円周率の値を計算する系統的な方法になっている。

証明

証明の概略は非常に簡潔に述べられる。

0<\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, dx=\frac{22}{7} -\pi

より、π は 227 よりも小さい。

この積分の計算は、1968年のウィリアム・ローウェル・パトナム数学競技会の最初の問題として出題された。

被積分関数の分母と分子が共に非負であることから、この積分の値が正であることは直ちに分かる。よって、あとはこの積分の値を、有理関数の標準的な積分の手順に従って求めればよい。

$\begin{align}0 &<\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2} \, dx \\&=\int_0^1 \frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2} \, dx \\&=\int_0^1 \left( x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \, dx \\&=\left[ \frac{x^7}{7} -\frac{2x^6}{3} +x^5 -\frac{4x^3}{3} +4x-4\arctan{x} \, \right]_0^1 \\&=\frac{1}{7} -\frac{2}{3} +1-\frac{4}{3} +4-\pi \\&=\frac{22}{7} -\pi\end{align}$

*wolframalphaでこのx^4*(1-x)^4/(1+x^2) を描かせてみた ^^

直ちに得られる円周率の評価

Dalzell は1944年の論文で、この積分に言及し、被積分関数の分母に x = 1 を代入すると下からの評価が、x = 0 を代入すると上からの評価が得られると指摘した。すなわち、

\frac{1}{1260} =\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{2} \, dx<\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1+x^2} \, dx<\int_0^1 \frac{x^4 (1-x)^4}{1} \, dx=\frac{1}{630}

であり、これより円周率 π の評価として

\frac{22}{7} -\frac{1}{630} <\pi <\frac{22}{7} -\frac{1}{1260}

を得る。十進小数で表現すると 3.1412… < π < 3.1420… となる。これらの評価値の誤差は、0.015% 未満である。・・・」

*マチンの式と同じ発想から見つけられたんだろうか知らん…?

https://ja.wikipedia.org/wiki/マチンの公式より Orz～

「グレゴリ級数

\arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{7}x^7 + \frac{1}{9}x^9 - \cdots

に、 x = 1 を代入して得られる級数（ライプニッツの公式）

{\pi \over 4} = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots

は、見た目は綺麗な公式であるものの非常に収束が遅いことで知られる。しかし、 x を十分小さくとれば見た目の綺麗さは多少損なわれるが、それなりに速く収束する級数が得られる。実際、シャープは x = ¹⁄_√3 を用い、円周率を小数点以下 71 桁まで計算した。

ジョン・マチンは、さらに収束性をよくするために逆正接関数 arctan(x) の関係式を考え、グレゴリ級数と結びつけて、とても収束の速い級数を得た。この公式を発見したマチン自身も円周率を 100 桁まで求めることに成功した。マチンの公式や、似たような arctan(x) を用いた公式は、1970年代に算術幾何平均などが用いられるようになるまでは円周率の計算に用いられ計算競争に貢献した。

マチンの公式は三角関数の公式をそのまま用いて証明できる。

\tan(a) = {1 \over 5}

を満たす a をとる。二倍角公式を、二度用いることによって

\tan(2a) = {2 \tan(a) \over 1-\tan^2(a)} = {5 \over 12}

\tan(4a) = {120 \over 119}

さらに加法定理により

\tan \left(4a - {\pi \over 4}\right) = {1 \over 239}

したがって

4a -{\pi \over 4} = \arctan \left({1 \over 239}\right)

4 \arctan \left( \frac{1}{5} \right) - \arctan \left( \frac{1}{239} \right) = {\pi \over 4}

」

*アクロバティックなことを考えられるものねぇ ^^;

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フェルマーの二平方定理...

フェルマーの二平方定理の証明…

https://ja.wikipedia.org/wiki/二個の平方数の和より Orz～

「フェルマーの4n+1定理、フェルマーの二平方定理、あるいは単にフェルマーの定理（フェルマーの最終定理とは異なる）などと呼ばれる。

4を法として1に合同な素数は二個の平方数の和で表される。合成数が高々二個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、4を法として3に合同な素因数が全て平方（冪指数が偶数）になっていることである。この定理は、フェルマーによって提起され、オイラーによって解決された。

一文証明

ザギエ（Zagier）による一文証明（one-sentence proof）は、一文で完結することもさりながら、平方剰余に関する知識を要求しないということも特筆に値する。

有限集合

S=\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3|x^2+4yz=4n+1\}

上の対合

(x,y,z)\mapsto\begin{cases}(x+2z,z,y-x-z),&\mbox{if}\;x<y-z\\(2y-x,y,x-y+z),&\mbox{if}\;y-z<x<2y\\(x-2y,x-y+z,y),&\mbox{if}\;2y<x\end{cases}

は必ず一個の不動点を持つから、集合

S

の元の個数は奇数であり、対合

(x,y,z)\mapsto(x,z,y)

も不動点を持つ。

対合とは

\forall{a}\in{S},\varphi(\varphi(a))=a

となる写像

\varphi

のことである。不動点とは

\varphi(e)=e

となる元

e

のことであり、必ず一個の不動点を持つというのは

(1,1,n)\in{S}

を意味している。

4n+1

が素数であることを仮定して、一文証明が主張する対合が実際に対合であること、そして

(1,1,n)

の他に不動点が存在しないことの確認は読者に任せる。唯一の不動点を除き集合

S

の元は対合によって対になるから、元の個数は奇数である。従って、対合

(x,y,z)\mapsto(x,z,y)

によって対にならない元が存在する。これは

y=z

を意味し、ひいては

x^2+(2y)^2=p

を意味する。」

*どうしてこのように場合わけしなきゃいけないのか、唯一の不動点が存在することが言えるのか...肝腎なところはまったく理解できないわたしですが…^^;

後半は理解できましたぁ^^☆

one-sentence proof　ってのがかっこいいですね ♪

画像：http://pmi.postech.ac.kr/introduction/photos/ より引用 Orz～

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun518.html より引用 Orz～

「ＧＡＩ氏

フェルマーは自ら証明は与えなかったが、1640年、4を法として1に合同な素数pが２個の平方和で表される（x²+y²=p (≡1 mod 4）　x、y∈N）という記述を残す。これに対する証明は、その後1749年（100年以上経過している。）Eulerが５段階に分けて初めて完成させた。

その後1775年、Lagrangeが二次形式を用いて証明、さらにDedekindがガウス整数を利用することでKummerなどの成果を利用し２通りの証明を与える（1894年）など、歴史に残る錚々たるメンバーが関わってきた。
そして、20世紀（1990年）、Don　Zagier（ドン・ザギエ）が　A One-Sentence Proof という題であっけなく証明した。」