アットランダム≒ブリコラージュ

すべての素数の積=4π^2...

画像：http://cosmos.art.coocan.jp/ch/ch36.htm より 引用 Orz〜

「マンデルブロー集合図は素数の分布や素粒子の分布(宇宙の大規模構造)との類似点が多い。」

いつ見ても美しいですね...曼荼羅 ^^

何やわよくわからねど...面白い話は好きな者で ^^

https://school2.5ch.net/test/read.cgi/ojyuken/1036856456/ より 引用 Orz〜

「すべての素数の積が4π^2 になることを証明」

「ζ(n)=1/(1^n)+1/(2^n)+1/(3^n)・・・・・とおく 

ζ(n)={1+1/(2^n)+1/(2^2n)+・・・・}{1+1/(3^n)+1/(3^2n)+・・・・}{1+1/(5^n)+1/(5^2n)+・・・・ 
　 =1/{1-1/(2^n)}・1/{1-1/(3^n)}・1/{1-1/(5^n)} ・・・・ 

この両辺の絶対値の自然対数を取ると 
log ｜ζ(n)|=log|1/{1-1/(2^n)}|+log| 1/{1-1/(3^n)}|+log | 1/{1-1/(5^n)}|・・・・ 
　　　　= -log|1-1/(2^n)|-log| 1-1/(3^n)|-log | 1-1/(5^n)|・・・・ 
　　　　=-{1/(2^n)-1/2・1/(2^2n)- 1/3・1/(2^3n)-・・・} 
　　　　 -{1/(3^n)-1/2・1/(3^2n)- 1/3・1/(3^3n)-・・・} 
　　　　 -{1/(5^n)-1/2・1/(5^2n)- 1/3・1/(5^3n)-・・・} 
　　　　={1/(2^n)+1/(3^n)+1/(5^n)+・・・} 
　　　　 +1/2{1/(2^2n)+1/(3^2n)+1/(5^2n)+・・・} 
　　　　 +1/3{1/(2^3n)+1/(3^3n)+1/(5^3n)+・・・} 
　　　　 +・・・ 
　　　　=Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・　(n≧0)　となる。 
∴｜ζ(n)|=e^{Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・}　　…① 

①の両辺をnで微分すると 

｜ζ’(n)|=d/dn(Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・) 
*e^{Σ1/(p^n)+1/2Σ1/(p^2n)+Σ1/3(p^3n)+・・・} 
　　　 =-( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・) *｜f(n)| 

よってζ(n)≠0のとき 
|ζ’(n)|/| ζ(n)|= -( Σlogp/(p^n)+ Σlogp/(p^2n)+ Σlogp/(p^3n)+・・・)　…② 
ここでζ(0)=-1/2　ζ’(0)=-1/2log(2^π) 

②にn=0 を代入すると 
|-1/2log(2^π)|/|-1/2|=-Σlogp-Σlogp-Σlogp・・・ 
　　　　　　　　　　=-(1+1+1+1+1+・・・) *Σlogp 
　　　　　　　　　　=-ζ(0) Σlogp 
　　　　　　　　　　=-(-1/2) Σlogp 
　　　　　　　　　　=1/2Σlogp 
よって　1/2Σlogp=log(2^π) 
　　　　 Σlogp= log(4π^2) 
log2+log3+log5+・・・= log(4π^2) 
log(2*3*5*7・・・)= log(4π^2) 
2*3*5*7・・・=4π^2　　　　　証明終わり。 」

*熟読玩味ぃ〜^^;☆

関係ないけど...

半径√3の球の表面積=半径1の球3個分の表面積あるね ^^

すべての立方数は3個の立方数の和で表せる...(マーラーの恒等式)☆

すべての立方数の整数(正負にかかわらず)は、3個の立方数の整数の和で表せるのですね!!

いつもお世話になっています以下のサイトで知りました♪

完全無欠で荒唐無稽な夢

2018-06-01 ある恒等式の織りなす有理点列

http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/comment より 引用 Orz〜

こういう恒等式ってのは、どうやって見つけるんでしょうかしらねぇ？

また、他の恒等式はないということは言えるんでしょうかしらん？

この恒等式って意外にも探しても載ってないのはなぜ？？？

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/8430_d9.htm より 引用 Orz〜

４立方数和定理？

画像：http://learn-math.info/japanese/historyDetail.htm?id=Davenport より 引用 Orz〜

「ダヴェンポートはほとんどすべての整数がたった４つの立方数の和となることを証明した．４個より多くの立方数は必要な数として，知られている最大の数は７３７３１７０２７９８５０で，これより大きい数は存在しないと予想されている．証明されてはいないが，有限個の例外を認めた場合の立方数の数は４だと考えられているのである．

　負の数も使えば，

　　２３＝８^3＋８^3＋（−１）^3＋（−１０）^3

と，２３をたった４個の立方数の和で表すことができる．１０００万までのすべての整数に対して，このことが確かめられている．

　このような実験に基づいて，多くの数学者はすべての整数は４つの立方数（正負どちらでもよい）の和で表すことができると予想している．デムヤネンは９ｋ±４の形でないすべての整数は４つの立方数の和であることを証明しているという．」

そうならば...

n=a^3+b^3+c^3+d^3

すべての立方数が3個の立方数の和で表されるので...

すべての数は、10個の立方数の和で表せますね ^^

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/8429_d8.htm より 引用 Orz〜

「１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，

「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」

ことを証明抜きで主張しました．これが，有名なウェアリングの問題です．

４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とするのに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3 」

*もっと少ない9個で行けるようですねぇ ^^;

双心四角形の面積...ブラーマグプタの公式から ^^

画像：http://izumi-math.jp/sanae/MathTopic/bret/bret.htm より 引用 Orz〜

*ブレートシュナイダーの公式の証明も載ってます ^^

双心四角形 ABCD の面積の公式は美しいので覚えてたけど...

その証明はすぐには思いつけなかった...^^;

ヘロンの公式にいかにも似てる...^^

以下のサイトであっさりと証明されてたもので♪

https://ja.wikipedia.org/wiki/双心四角形 より Orz〜

4辺が a, b, c, d である双心四角形 ABCD の面積は次の公式で表される。

S = √abcd

より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、 とおくと次で与えられる。

S = √abcd sin t

双心四角形に対する公式は、t = π/2 という特殊な場合である。

双心四角形ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式が使えて、次の式が成り立つ。

S = √(s − a)(s − b)(s − c)(s − d)

ただし 

内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので

a + c = b + d = s ・・・Aha!!

したがって

s − a = c

s − c = a

s − b = d

s − d = b

ゆえに　S = √abcd 

http://blog.livedoor.jp/ddrerizayoi/archives/45077354.html より 引用 Orz〜

*考えてみると...△は内心円と外心円を常に両方持ってますわね ^^

アナロジーだと...納得できる式でんなぁ♪

スーパーメネラウスの定理♪

https://schoolhmath.blogspot.jp/2013/11/blog-post_11.html より 引用 Orz〜

図のように、

ＡＦ：ＦＥ＝２：３

ＢＦ：ＦＤ＝４：１

のとき、ＢＥ：ＥＣを求めよ。

解答

・わたしの...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(BC/CE)*(EA/AF)*(FD/DB)=1より，(BC/CE)*(5/2)*(1/5)=1.
BC/CE=2となって，BE:EC=1:1です．

本問は普通のメネラウスの定理なのですが，
三角形BEFと直線ACに関するものであり，各辺が直線と交わらないので，
メネラウスであることに気づかないことが起こりがちです．

*そもそも、すぐにどう使えばいいのか気づけないわたしですだ...^^;

・上記サイトのスーパーメネラウスの定理から Orz〜

問題の平面図形ＡＢＣＤＥＦを３次元空間に配置します。
３次元空間での点の高さを括弧（）内に書きます。
上図のように点ＡＤＣの高さを（０）にし、点Ｆの高さを（２）にします。

すると、３次元空間での直線ＤＢの点Ｂの高さは（１０）になり、

直線ＡＥの点Ｅの高さは（５）になります。

直線ＢＥＣの点間の距離の比については、

点の高さの比を考えると、

ＢＥ：ＥＣ＝（１０−５）：５＝ ５：５＝１：１

です。

*Ahaぁ〜〜〜!!!

スーパーメネラウスの定理

メネラウスの定理とチェバの定理と、その他の定理とを合わせると、

以下の図であらわされる、直線上の線分の長さの比の関係があります。

*これは...優れものあるね☆

覚えられそうあるね♪

多角形の外角の和=360°...visual♪

画像：https://gigazine.net/news/20140418-visually-stunning-math-concept/ より 引用 Orz〜

*確かに!!

一発ですね♪

3次元の場合...立体角ってなものがあるようですが...

よくわからず...

例えば...

四角錐の立体角ってのは一定なんだろか...?

立方体の立体角が決まってるなら...

三角錐が５個に分割できるから...

1つの三角錐の立体角は立方体のその1/5

四角錐なら...その1/3

多分...一位にゃ決まらない気がする...^^;