アットランダム≒ブリコラージュ

偶数の完全数［続^2］（やどかりさんの証明）

いつもお世話になってるサイト ☆ ヤドカリの 気ままな数学 ☆ のブログ主でいらっしゃるやどかりさんから簡明な証明の別解を頂戴しましたのでご紹介させていただきまっす ^^☆

a が偶数の完全数とします。 

a は偶数なので、n を 1 以上の整数、b を奇数として、a = 2^n * b と書けます。 

ここで、正の整数 c の約数の和を s(c) で表すと、2^n と b とは互いに素なので、 

s(a) = s(2^n * b) = s(2^n) * s(b) = {2^(n+1) - 1} * s(b) 

一方で、a は完全数なので、 

s(a) = 2 * a = 2^(n+1) * b 

です。そこで、 

2^(n+1) * b = {2^(n+1) - 1} * s(b) 

までは 偶数の完全数［続］（uchinyanさんの証明） 同じですが、その後、

b = 1 のときは明らかに成り立ちませんので b > 1 に注意して、

{2^(n+1) - 1} * b + b = {2^(n+1) - 1} * s(b) 

s(b) = b + b/{2^(n+1) - 1}

ここで、s(b)，b は自然数なので、b/{2^(n+1) - 1} も自然数、

b/{2^(n+1) - 1} は b の約数なので、

s(b) は b の約数２個の和で表されていることになり、b は素数で、

b/{2^(n+1) - 1} = 1 

b = 2^(n+1) - 1 です。

*二つの約数の和で表される数=素数　ってのがシャレてますね☆

お気に入りぃ〜♪

素数の逆数の和=∞…☆ (素数が無限個あることの証明…)

素数の逆数の和が発散することの証明って結構難しい…^^;

その中で，比較的わかりやすかったものを ^^

Junko先生のサイト http://www.junko-k.com/cthema/17sosuu.htm より 引用 Orz〜

＞1=nQ のところは…

1+nQ の誤植ですね ^^

*以下の部分が俄にわからず…^^;

↓

他の証明を同サイトより Orz〜

↓

＜この証明は過去の「大学への数学」に載っていました＞

このことから逆に素数が無限に存在することが言えると思います。 

もし素数が有限個しかなかったら、上の級数が発散するはずはないからです。

*どうしてこんな風に上手い方法を思い付けるんだろ？

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/457_s21.htm より 引用 Orz〜

「　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

　　ζn＝１／１^s＋１／２^s＋１／３^s＋１／４^s＋・・・＋１／ｎ^s

と定義します．オイラーの無限級数和ζ∞＝Σ１／ｎ^sは，ｓの関数とみるとき，ゼータ関数ζ（ｓ）として知られており，ゼータ関数は無限調和級数Ｈ∞＝ζ（１）＝∞を一般化したものと考えることができます．

　調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞

は容易に示すことができます．

　また，素数の逆数の和

　　Ｈprime＝Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｌｏｇｎ→∞

より，素数の逆数の和は発散することが示されます．→コラム「ハーディ・リトルウッド予想とアルティン予想」参照

　１７３７年，オイラーはこのようにして素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．逆に，このことから素数が無限個あることは簡単にわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，またオイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．」

素数が無限にあることの証明...素数の無限性の一行証明 (by Northshield)☆

こんな証明法もあるんですねぇ☆

http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/05/023112 より 引用 Orz〜

*なるほど矛盾するわ ^^☆

以下の方法も既知の無理数を使った背理法ね☆

↓

https://ja.wikipedia.org/wiki/素数が無数に存在することの証明 より Orz〜

「ライプニッツの公式をオイラー積の形で表すと

この積の分子は奇素数であり、分母はそれぞれに対応する分子に一番近い 4 の倍数である。

もし素数が有限個ならば π は有理数として表すことができる。しかし π は無理数なので、背理法より素数は無限に存在する。」

無限和のウォリス積 (Wallis' product)を使ってもいいし…

無限和のグレゴリー・ライプニッツ級数

　π／４＝ａｒｃｔａｎ１

　　　　＝１／１−１／３＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・

を使ってもいえますね ^^

そもそも、素数の逆数の和が発散することがわかっているなら言えてますね ^^

↓

素数の逆数和が発散することの証明

高校数学の美しい物語 http://mathtrain.jp/primeinverse

三角形の面積(座標から)…☆

三角形の点の座標からその面積が表せる次の公式は覚えやすいですね☆

画像：http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6172&PHPSESSID= より 引用 Orz〜

この公式の導き方を同サイトより Orz〜

(1) 原点 O と直線 AB の間の距離が h と一致する．

直線AB は, A を通り傾き (b₂ - a₂)/(b₁ - a₁) の直線であるので，その方程式は

と表される．よって，求める垂線の長さh は次のようになる.

結構大変ね ^^;

下のように考えることと同値ですが…わかりやすいですね ^^♪

http://www.ravco.jp/cat/view.php?cat_id=6625 より 引用 Orz〜

(3) 座標平面上に3 点A(2, 1)，B(7, 2)，C(4, 5) をとる．このとき，△ABC の面積を求めよ．

＊これは使えるようになりたいなぁ ^^☆

最後は…

□で囲んで，周りの△を引けばいいので…

(7-2)(5-1)-(1/2)*((7-4)(5-2)+(7-2)(2-1)+(4-2)(5-1))

=20-(1/2)(9+5+8)

=20-11

=9

でもいいですね ^^

座標からなら，こうやっても求められますから…

A(ax,ay), B(bx,by), C(cx,cy) が図のような関係のとき…

という計算で求められますが間違いそうあるね…^^;...

・鍵コメT様から教えて頂いた優れものです Orz〜

公式の証明方法はたくさんありますが，次のはかなり初等的な方法です．

b1≠0のときを考える．OBの傾きはb2/b1であり，
Aを通るOBの平行線は，y=(b2/b1)(x-a1)+a2.
y軸との交点(0,-a1b2/b1+a2)をA'として，三角形OA'Bの面積を求めればよく，
底辺をOA'と見て，
△OA'B=(1/2)|-a1b2/b1+a2|・|b1|=(1/2)|-a1b2+a2b1|=(1/2)|a1b2-a2b1|.

b1=0のときは，OBを底辺と見て，△OAB=(1/2)|b2|・|a1|=(1/2)|a1b2-a2b1|. 

*これはいいな♪

忘れても導出が速いわ☆

気づけなかった…^^;...

線形結合…^^;

よく出る問題なんだけどその背景がすぐわからず…^^;

 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/relax/sum10.htm ;より 引用 Orz〜

「『ａ 、 ｂ を互いに素な自然数とする。０以上の整数 ｘ 、 ｙ を使って ａｘ＋ｂｙ の形で表すことができない最大の整数を求めよ。』

 

 

（証明）　

ｂ＞ａ として考える。0以上の整数 ｘ、ｙ を使って、ａｘ＋ｂｙ の形で表される数の集合

 

をＡとする。１から順に ｂ 個毎に行を変えながら ａｂ まで書く。

 

　　1　　 2　　3　 …　　b

　 b+1　 … 　… 　… 　2b

　 ・　　　　　　　　　 ・

　 ・　　　　　　　　　 ・

　 ・　　　　　　　　　 ・

(a-1)b+1 … 　… 　… 　ab

 

a の倍数に着目したとき、a の倍数は各列1つしか現れない。

 

実際に、任意の列　ｋ、ｂ＋ｋ、２ｂ＋ｋ、・・・、（ａ−１）ｂ＋ｋ　

（ｋは自然数で、１≦ｋ≦ｂ）において、ある自然数 ｍ、ｎ （１≦ｍ＜ｎ≦ａ）が存在して、　

ｍｂ＋ｋ≡ｎｂ＋ｋ　（ｍｏｄ　ａ）　が成り立つと仮定すると、

 

（ｍ−ｎ）ｂ≡０　（ｍｏｄ　ａ）　で、（ａ，ｂ）＝１　より、　

ｍ−ｎ≡０　　（ｍｏｄ　ａ）　となる。

 

しかるに、これは、　１≦ｍ＜ｎ≦ａ　に矛盾する。

 

したがって、ａ個の任意の列　ｋ、ｂ＋ｋ、２ｂ＋ｋ、・・・、（ａ−１）ｂ＋ｋ　の各項を ａ で割った余りは全て異なる。

このとき、この列の項で、ａ で割り切れるものがただ一つ存在する。

 

右端の列、即ち、ｂ で割り切れる数はすべてＡに入っている。

それ以外の列は、どこかでａ の倍数が現れ、それ以後はすべてＡに入る。

 

ａ の倍数は各列1つしか現れないので、最後にＡに含まれる列は、ａ(ｂ−１) が含まれる列

 

なので、表すことの出来ない最大の数は、その１行前の数字 ａ(ｂ−１)−ｂ＝ａｂ−ａ−ｂ　と

 

なる。（証終）

 

『ａ、ｂ を互いに素な自然数とする。０以上の整数 ｘ、ｙ を使って ａｘ＋ｂｙの形で表すことができない自然数の個数を求めよ。』

 

（解）　ａ、２ａ、３ａ、・・・、（ｂ−１）ａ　の各数を ｂ で割った余りは、１、２、３、・・・、ｂ−１ の何れかで、互いに１対１に対応する。このとき、求める場合の数は、

 

［｛ａ＋２ａ＋３ａ＋・・・＋（ｂ−１）ａ｝−｛１＋２＋３＋・・・＋（ｂ−１）｝］/ｂ

 

　＝（ａ−１）｛１＋２＋３＋・・・＋（ｂ−１）｝/ｂ

 

　＝（ａ−１）（ｂ−１）/２

 

で与えられる。

 

したがって、ａｘ＋ｂｙ の形で表すことができない自然数の個数は、

 

　　　　　　　(a-1)(b-1)/2