アットランダム≒ブリコラージュ

「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

証明

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中国(人)剰余定理/孫子(の)定理...

イメージ 1

「
m1，m2 を互いに素な正整数（即ち最大公約数が１）とする。a1，a2 を整数する。 このとき，
x ≡a1  (mod m1)
x ≡a2  (mod m2)
を満たす整数 x が m1m2 を法にして唯ひとつ存在する。
この場合は２つの連立合同式ですが，全く同様にして，３個以上の連立合同式についての定理が得られます。この場合も中国の剰余定理と呼ばれます。
　具体例挙げます。
x ≡ 5 (mod  7 )
x ≡ 3 (mod 11)

証明は…

具体的には...
x≡m1*a2*α+m2*a1*β　(mod m1*m2)
という結合式を作り...
ここで…
m1*α≡1　(mod m2)
m2*β≡1　(mod m1)
なるものを見つければいいわけね…☆

so…
x≡5　(mod 7)
x≡3　(mod 11)

11*2≡1　(mod 7)
7*8≡1　(mod 11)
so…
x≡7*3*8+11*5*2　(mod 7*11) を満たす
  =7*(11*2+2)+11*(7+3)
  ≡14+33
  =47

^^

3個以上の連立合同式でも…2個ずつを解いて、
一つずつ連立合同式の数を減らして行けるので解けますね ^^

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デザルグの定理...空間での証明☆

イメージ 3


「【デザルグの定理】
三角形ABC，DEFにおいて，対応する頂点を結ぶ直線が１点Tで交わっているとき，対応する辺の交点P，Q，Rは一直線上にある。
イメージ 1
」
この証明を平面でするには...メネラウスの定理を使ってなされてるけど…難儀なわたし…^^;
空間での証明を考えたら容易なのよねぇ☆

イメージ 2

「以下は
△ABC,△DEF △ A B C △ D E Fが空間にある場合のデザルグの証明です

空間におけるデザルグの定理の証明
AD,BE,CF A D B E C Fが１点で交わるとき，P,Q,R P Q Rはともに△ABC △ A B Cの決める平面と△DEF △ D E Fの決める平面の交線上あるから ３点P,Q,R P Q Rは同一直線上にある．
逆に，AB,DE A B D Eが交わりその交点をP, BC,EF P   B C E Fが交わりその交点をQ, CA,FD Q   C A F Dが交わりその交点をR Rとする．
BF,AD B F A Dが平行でなければその交点O′ OはAD A D上．さらにCF C FとAD

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シムソンの定理☆

ほげさんの「みっちの隠れ家」でこんな定理があることを知りました♪


「シムソンの定理　　（正しくは、ウォーレスの定理といわれるらしい！）

イメージ 1

△ＡＢＣの外接円周上の点Ｐから

ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ　に下ろした垂線の足をＤ、Ｅ、Ｆ とする。

このとき、３点 Ｄ、Ｅ、Ｆ は１直線上にある。

この直線のことを、シムソン線という。








































































































（証明）　


４点 Ｐ、Ｆ、Ａ、Ｅ は、同一円周上にあるので、　∠ＰＦＥ＝∠ＰＡＥ

同様に、四角形ＰＢＣＡは円に内接するので、　∠ＰＡＥ＝∠ＰＢＤ

四角形ＰＢＤＦは円に内接するので、　∠ＰＢＤ＋∠ＰＦＤ＝１８０°

よって、　∠ＰＦＥ＋∠ＰＦＤ＝１８０°となり、３点 Ｄ、Ｅ、Ｆ は１直線上にある。　（証終 」


図から見ると…このような点は…2個 or 1個(接点)存在するわけね ^^
デザルグの定理、パスカルの定理のあたり面白そう☆

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ゴールドバッハ・オイラーの定理の証明…♪

この定理の証明がwikiに載ってた☆
そのまんま…^^;;

イメージ 2

https://ja.wikipedia.org/wiki/ゴールドバッハ・オイラーの定理 より Orz〜
「ゴールドバッハ・オイラーの定理（Goldbach–Euler theorem）はある自然数の逆数を項とする級数に関する定理であり、以下の式で表される。

イメージ 1

ただし、pは累乗数(1は含まない)を動くものとする。上の式は、累乗数より1小さい自然数の逆数の無限和が1に収束することを意味する。この定理は1737年にレオンハルト・オイラーがその論文中で初めて述べたものであるが、クリスティアン・ゴールドバッハが彼に宛てた手紙の中でオイラーに明らかにしたとされる（手紙は散逸している）。

収束することの証明

\begin{align}& \quad \frac{1}{2^2-1} + \frac{1}{2^3-1} + \frac{1}{3^2-1} + \frac{1}{4^2-1} + \frac{1}{5^2-1} + ... \\& = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + ... \\& < \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ... \\& = \frac{1}{3} + \sum_{m=2}^{\infty} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{m^k} \\& = \frac{1}{3} + \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{m^k} \\& = \frac{1}{3} + \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m^2} \frac{m}{m-1} = \frac{1}{3} + \sum_{m=2}^{\infty} \left( \frac{1}{m-1} - \frac{1}{m} \right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}\\\end{align}

したがって \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + ... < \frac{4}{3} である。 
この級数は単調増加なので \frac{4}{3} 未満の実数に収束する。

*ΣΣ(1/m^k)=Σ(1/m^2)Σ(1/m^(k-2))・・・ここが肝ねぇ☆
Σ(1/m^k)=(1-(1/m)^(k+1))/(1-1/m)=m/(m-1) なのね ^^


収束値の証明

ゴールドバッハによる証明は以下のように調和級数を用いたものである。
まず H_{\infty} を次のように定義する。
H_{\infty} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + ... \quad (1)
続いて等比級数を用いて以下の式を与える。
1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + ...
(1)式からこの式を辺々引くと
H_{\infty} - 1 = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{9} + ... \quad (2)
となる。さらに等比級数を用いて
\frac{1}{2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + ...
を導き、この両辺を(2)式から引けば
H_{\infty} - 1 - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{10} + ...
このような操作を繰り返すと右辺の1以外の項は全て消えて以下のようになる。
H_{\infty} - 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} - \frac{1}{9} - ... = 1
(2)式と左辺が等しくなるように移項すると
H_{\infty} - 1 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + ... \quad (3)
右辺の項の分母には累乗数より1だけ小さな数は現れないことに注意。

*1/k=1/(k+1)+1/(k+1)^2+1/(k+1)^3+…
だからなんだけど…
すぐ、そう言えることが巧すぎる^^;☆

最後に(1)式から(3)式を引くと求める級数が得られる。
1 = \frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{15} + \frac{1}{24} + ...
ただし調和級数 H_{\infty} は発散するので、この証明は現代的な観点では厳密なものとはいえない。」

問題思い付いたので…アップしよっと ^^

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3個の球の交点の数...三平方和の定理…?…^^

△の各辺を直径とする3個の円の交線は垂心として交わるのですね…^^

図がないので…
http://amaterus.jp/cgi-bin/zukei2/z2bbs.cgi?page=150 の一部を使わせて頂きました Orz〜

イメージ 1

探してたら...一般にも拡張されてるんですねぇ ^^☆

画像：http://mathtrain.jp/category/geometry より 引用 Orz〜
イメージ 2


でね、△の各辺を直径とする球の交わりを考えてみたのよ…^^
これもいろいろ借用して描いてみたけどごちゃごちゃとしてよくわからず…^^;
イメージ 3

赤の三角錐は頂角はすべて直角…
このような直角三角錐って、1個になるのか？
つまり、３個の球の交点は１個か？
で、次の画像を見つけた…☆


イメージ 4

「3 つの衛星ごとに、GPS レシーバとの距離を半径とする球を描きます。3 つの球面が交わる2 点のうち1 点は、宇宙空間のどこか、あるいは地球内部というあり得ない場所（黄色の星印）になるので、残った1 点（赤色の星印）がレシーバの位置となります。」

*そりゃ、２個の球が交わる２個の円に、もう１個の球が交わるわけだから…
3個の球の交点は2個存在しますわねぇ ^^

ということは、ある△を底面に持つ直角三角錐ってのは２個存在してるはずなのよ…?
とここまできて、その△の対称の位置の2点に決まってんじゃんと気付いたわけ…チャンチャン!!
ある意味では、一通りに決定されるってことあるね♪

ここで、四平方和の定理ってのがあって…


イメージ 5
断面積の△BCD=Sは…

イメージ 6

と表せると言う美しい定理があるのです。
つまり、S^2=S1^2+S2^2+S3^2

ここで、S^2は mod 4で 0,1　なので…
n が 4m or 4m+1,4m+2 の数ならば...３個の平方数の和で表せることがわかりますね ^^


「３平方和の定理（ルジャンドル，１７９８年）
「正整数ｎが３つの平方数の和として表せる←→４^m（８ｋ＋７）の形をした数ではない．」
ｎ≠４^m（８ｋ＋７）はｎが高々３個の平方数で表されるための必要十分条件です．ガウスの定理ともルジャンドルの定理とも呼ばれますが，ルジャンドルは２次形式ａｘ^2＋ｂｙ^2＋ｃｚ^2の研究を通して，より一般的な３元２次形式論としてこの結果を得ています．
［参］フェルマー・オイラーの定理（２平方和定理）
　ｍ＝４ｋ＋３の形をした数は２つの平方数の和になりません．ｍの素因数分解におけるｐ＝４ｋ＋３の形のすべての素因数の指数が偶数であるときに限り，２つの平方数の和の形に表すことができるのです．」

と同値なる図幾何学的証明になってますよね ?…^^v

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