ブールピタゴラス数問題 ( その他自然科学 ) - 風の迷路

ブールピタゴラス数問題

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ろくに更新してないですけど、ホントありがとうございます。

ブールピタゴラス数の問題というのがつい最近解かれたそうです。
ただ、これは四色問題のときのようなヘイトを受けそうですね……

【ブールピタゴラス数問題】
すべての整数を赤か青の2通りで色づけしていく。
ただし、ピタゴラス数のすべてが同じ色になってはならない。
そのような配色の仕方は常に存在するか？

ピタゴラス数っていうのは、
a^2＋b^2＝c^2
を満たすような自然数の組(a, b, c)のことです。
3^2＋4^2＝5^2 なので(3, 4, 5)はピタゴラス数
5^2＋12^2＝13^2 なので(5, 12, 13)はピタゴラス数

例えば3を赤と決めたら、4か5のどっちかは青にならなきゃいけません。
そこで試しに4を赤、5を青と決めると、5はもう青になったので
(5, 12, 13)を考えると12か13のどっちかが赤にならなきゃいけません。
ピタゴラス数の組が常に上昇する一方なのであれば単調に色分けしていけば
なんだか全部配色できそうな気がしますけれど、間に
(9, 12, 15)とか(6, 8, 10)とかも混ざっているので、
配色をうまくやらないと全部赤ばっかり、青ばっかりになってしまいます。

そこで、すべての整数に配色してピタゴラス数すべてが
違う色になるように出来るのか？？　というのがこの問題です。
問題自体はそんなに複雑ではありませんね。

ホントに出来るなら配色の仕方を示す必要があり、
絶対出来ないような組み合わせがあるなら反例を出す必要があります。

こういう問題って未解決だったとしても、何だか正しいんじゃないかって思いますよね。
フェルマーの最終定理は、整数n≧3のとき
a^n＋b^n＝c^n を満たすような自然数a, b, cは存在しない
という問題でしたが、ずいぶん長い間未解決だったにも関わらず、
まあ、そうなんだろう、と予想されていました。現に正しかったですものね。

だからこのブールピタゴラス数問題だって正しいだろうというように思うのですけど、
最近解かれた答えによると、配色が不可能な場合があるという結論になったようです。
つまり反例があったので、予想は間違いですよ、というのが答えです。

ありゃりゃ！！　そんなことあるんですね！

上の図は、1から7824までの整数に限定したときの配色です（白は赤でも青でもどっちでもいい）。
とりあえず7824までは配色の答えがあったようですが、
1から7825までの整数を調べると、全通り調べても配色出来なかったとのことです。
全通りって、単純計算すると2^7825≒10^2356通りですよね。
このとんでもない組み合わせを、スパコン使ってひたすら調べ続けたそうです。
解けたことで賞金１万円程度もらったそうですが、１万円って……
何だか微妙な結末を迎えた問題でしたね。

四色問題が解かれたときも、そんな感じだったのでしょうかね。
四色問題の解決も当時最高級のコンピュータを使って膨大な数の場合分けを
すべて試したとのことでしたので、証明が美しくないと批判されたようです。

四色問題もブールピタゴラス数問題も、いつか美しい証明が見つかるのでしょうか……

個人的にはコラッツの問題も早く解けないかなと思ってます。
すごい単純な割にまだ解けていない（反例が見つからない）問題です。
でもこっちも賞金は安いみたいですね。確かに、解けたからどうしたと言われかねません。