自然数を作る

ZFC公理系は、数学の基礎のルールを決めるものでした。
ここで決めたのは集合に対するルールのみですが、このルールに基づいて自然数を作ることができます。
自然数はすべての数の基礎になります。早速作ってみましょう。さながら哲学のようで面白いですよ。

「無」が最初にあった・・・

「無」に４つの心みちたりし時
クリスタルは生まれ
世界は作られた

そうです。我々の心によって世界は作られたのです。
この何もない空間を「０」と名付けましょう。

このように。

こうして、何もない無の空間「０」が創造されました。

これじゃあどうやっても「０」しか作れませんね。
しかし、「０」を作ったことにより、我々は「０」を認知することができます。

「０」を認知した世界。そこに「０」があります。
な、なんと「０」があるではありませんか！
そうです。「０」を創造したその瞬間、無の世界は無でなくなったのです。
「０」が存在するこの世界を「１」と名付けましょう。

こうして、何もない世界「０」と、「０」が存在する世界「１」が生まれました。

何だか騙された気になるかもしれませんが、このようにして自然数が作られるのです。
すなわち空集合φ＝0とし、1＝{φ}というように、
空集合を要素に持つ集合として1を定義するのです。
φと{φ}は異なりますし、集合のルールに基づいて作られているので何も不思議はありません。

じゃあ今度は「２」を作りましょう。
「２」も、「１」があるではありませんか！で別にいいのですけれど、ちょっと不便なので
このようにするのが一般的です。

な、なんと「０」と「１」があるではありませんか！
このように、「０」と「１」が存在する世界を「２」と名付けます。
2＝{φ, {φ}}ということですね。
なんで2＝{{φ}}にしないかと言うと、こうすることで
数字の名前と要素数を一致させることができるのです。
0＝φですから、要素は0個。
1＝{φ}ですから、要素は1個。
2＝{φ, {φ}}ですから、要素はφと{φ}の2個になります。{{φ}}だと要素は1個ですよね。

一般に、自然数nの後者をsuc(n)と表し、suc(n)＝n∪{n}と定義します。
後者は、「次の数」のことです。0の後者は1、1の後者は2、……
すると、自然数はこのように表わすことができます。

1＝suc(0)＝0∪{0}＝φ∪{φ}＝{φ}
2＝suc(1)＝1∪{1}＝{φ}∪{{φ}}＝{φ, {φ}}

今までの流れだと3＝{φ, {φ}, {{φ}}}にでもなるのかな？と思われそうなのですが、
後者できちんと定義するとこのようになります。

3＝suc(2)＝2∪{2}＝{φ, {φ}}∪{{φ, {φ}}}＝{φ, {φ}, {φ, {φ}}}

なんでこんなまどろっこしいことするのかと言えば、こう書き換えれば一目瞭然ですね。
1＝{φ}＝{0}
2＝{φ, {φ}}＝{0, 1}
3＝{φ, {φ}, {φ, {φ}}}＝{0, 1, 2}
3は、0, 1, 2の3個の要素を持った集合、ということになります。

このように決めれば、集合の包含関係を利用することができるのです。
例えば2には、0と1があります。0⊂2, 1⊂2
3には、0, 1, 2があります。0⊂3, 1⊂3, 2⊂3
ということは、0⊂1⊂2⊂3⊂……となるのですね。これ何か別の記号に見えませんか。
そうです。大小関係になっているのです。0＜1＜2＜3＜……
集合の包含関係を用いて、大小関係まで定義できてしまう優れたルールなのです。

これを繰り返して、自然数をいくらでも定義出来ることが分かりました。
自然数全体を集めた集合をNとします。

ZFC公理系のときに無限公理という奇怪なルールがありましたが、
これを決めるためにあるようなものです。
自然数全部を集めた無限の要素を持つNも、集合です。

大学の数学ではよく「自然数n」のことを「n∈N」なんて書くことがありますが、
このように集合の概念にちなんでいるのですね。
集合Nの中のある要素n、ということです。

せっかくなので、足し算を定義して「1＋1＝2」の証明でもしてみましょう。
まず、写像を定義します。

写像とは、集合同士の要素の対応関係を表わします。○は○に、△は□に、□は△に。
ところが、○が△にも□にも対応してしまっては困ります。
そこで、一つの要素につきただ一つの要素が対応するものだけを写像と呼びます。
逆に、対応先は重複しても構いません。○が○に対応した後に、△が○に対応してもOKです。

写像はいわゆる関数のことですね。
関数は、写像のうち要素として数を主に扱ったもののことを言います。
それだけの違いなので、写像＝関数と捉えても問題ありません。

早速、足し算写像を定義します。
しかし足し算は二変数ですよね。2＋3の場合は、2と3が入力に必要です。
そこで、どっちか固定して一変数にした写像を考えます。

ここでは、2に何か足す写像「2＋」を考えます。変な書き方ですね。
「2＋」は次のように定義します。

2＋0＝2
2＋suc(n)＝suc(2＋n)

0に対しては2が対応し、
suc(n)に対してはsuc(2＋n)が対応するというものです。
これによれば例えば2＋1の場合は、1＝suc(0)なので、
2＋1＝2＋suc(0)＝suc(2＋0)＝suc(2)＝3より、2＋1＝3と決まるのです。

2＋3の場合は3段階設けまして、
2＋3＝2＋suc(2)＝suc(2＋2)＝suc(2＋suc(1))＝suc(suc(2＋1))
＝suc(suc(2＋suc(0)))＝suc(suc(suc(2＋0)))＝suc(suc(suc(2)))
＝suc(suc(3))＝suc(4)＝5 より、2＋3＝5となります。

このように、きちんと足し算が定義できていることが分かります。

この足し算写像を用いて1＋1＝2を示すことができます。もう2＋3とかやってますが……
1＋1＝1＋suc(0)＝suc(1＋0)＝suc(1)＝2

何だかあっけないので、集合主体にしてやってみましょう。

定義：suc(n)＝n∪{n}
定義：0＝φ
定義：1＝suc(0)＝0∪{0}＝φ∪{φ}＝{φ}
定義：2＝suc(1)＝1∪{1}＝{φ}∪{{φ}}
定義：x＋0＝x, x＋suc(y)＝suc(x＋y)

1＋1
＝{φ}＋{φ}
＝{φ}＋(φ∪{φ})
＝{φ}＋suc(φ)
＝suc({φ}＋φ)
＝suc({φ}＋0)
＝suc({φ})
＝{φ}∪{{φ}}
＝2

なぜか1＋1＝2が何でなんだろう……とよく疑問に持たれることがありますが、
このようにしてやれば実にあっけない、何でもないことだと分かりますね。
むしろこうなるように集合や足し算のルールを決めたと考えた方が良いかもしれません。

[dkf*z*03*0624]

≪…自然数を作は…≫は、図形と【数そのモノ】（言葉）の出会いで観ると、ライプニッツの理性に基づく自然と恩寵の原理の｟モナド｠を［止揚］する『｟モナド｠写像』が｟自然数｠を呈示する。

ｎ−1 → ｎ

『自然比矩形』が、『自然数製造機』と生る。