数学の項目

数学の項目はメインコンテンツでは決してないですが、
私の書く数学の内容は偏ってはいても範囲が広くなってしまいますから、
書庫を３つに分けています。
これらの内容はほとんど私の自己満足で出来ていますから、
数学に少しも興味のない方にとっては非常につまらないと思います。
メインコンテンツじゃないのに気分で多く書きすぎてしまうことをあらかじめご了承ください＾＾；

内容は、できる限り分かりやすく書いているつもりです。
そのためひとつの記事が長文になってしまう傾向があります。

数学（通常）

（旧名：中学数学、普通の数学、一般の数学）
一般向けの内容はこの書庫だけです。
中学校に在学中か、それ以上の方なら理解できるような内容です。
中にはほかの記事の発展、拡張をして難しい内容も盛り込んでいます。
興味がある方は是非読んでみてください＾＾

数学（通常以上）

（旧名：高専の数学）
高校を卒業寸前ぐらいの方なら理解できると思われる内容です。
微分とか積分が多発します。あまり書きません。

数学（趣味）

（旧名：独学の数学、趣味の数学）
私が趣味でやっている内容です。ほとんど覚え書きのように使っているようなもので、
私みたいな方ならきっとお楽しみ頂けるでしょう＾＾

メインコンテンツはツクールとか、ゲームの内容です。
しかし記事の数は数学の方が上になってしまっているような＾＾；

グラハム数

（2019/8/2追記）
本記事の内容は新ブログに転載済みです：
https://fermiumbay13.hatenablog.com/entry/2019/03/11/005955

今週は忙しいです……いろんな意味でですが。
やっと金曜日だぜえ。
申し訳ないですが、記事投稿直後に立ち退かねばなりませんので、
１５時間後ぐらいに戻ってくると思います。ご了承下さい。

タワー表記でものすごく大きな数が表せることを示しました。
これを使って表した巨大数は、桁数ですら言い切れないほどの大きさになってしまいます。
そこで、ギネスに載っている最も大きな自然数を紹介します。
グラハム数です。
知っている方いらっしゃるかもしれません。

Wikipediaに書いてあることを引用しますが……

n 次元超立方体の 2n 個の頂点のそれぞれを互いに全て線で結ぶ。次に2つの色を用いて連結した線をいずれかの色に塗り分ける。
このとき n が十分大きければ、どんな塗り方をしても、同一平面上にある四点でそれらを結ぶ線が全て同一の色であるものが存在する。

という問題があるとき、

n がいくらより大きければ、この関係は常に成立するか

という解の上限がグラハム数になります。
具体的な解は現在も分かっていないそうです。

まあ、定義はイメージが難しいので、グラハム数の大きさのことだけ書きます。

タワー表記で、矢印の右上に小さく数字を書くことで、
矢印の個数を示すこととします。
ＰＣではどう書けば……３↑^4 ３＝３↑↑↑↑３　とかでいいでしょうか。見づらいか……
すでにこれだけでも物凄い巨大数だということは分かると思います。

しかし、３↑↑↑↑３など、グラハム数から見ればカス以下も同然です。
いつか書いたグーゴルプレックスですらそうです。

グラハム数はもはや指数でも書けず、桁数も書けないので、
特別な表記をします。

まず、関数G(x)を次のように定めます。

G(x)＝３↑^x ３

つまり、G(7)＝３↑↑↑↑↑↑↑３。
xに入った数が矢印の個数になります。
既にすごい数ということはお分かり頂けますでしょう。

G(1)＝３↑３＝２７
G(2)＝３↑↑３＝３↑３↑３＝７６２５５９７４８４９８７
G(3)＝３↑↑↑３＝３↑↑３↑↑３＝３↑↑７６２５５９７４８４９８７

G(3)ですら計算不能なほどの巨大数です。
また、

G(G(1))＝G(３↑３)＝G(27)＝３↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑３
となりますね。
二重にすると、１でもこんなことになります。

そうしたとき、グラハム数とはこうなります。

G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(4))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))＝グラハム数

もういじめとしか思えない……
巨大数なんてもんじゃないぐらい巨大だということは一目瞭然でしょう。
これがグラハム数です。

この数から見れば、他の数が見えないぐらい小さいでしょう。
ギネスに載るのも無理はありません。
（しかし、もっと大きな数を考案した方もいらっしゃいます）

グラハム数はもはや関数を作らないと表記できないぐらい大きい数です。

ですが、数学というのは面白いもので、ちょっと変えると意外な答えが出てきます。
グラハム数とは関係なくなりますが、

G(x)＝３↑^x ３

だったのを、

G(x)＝２↑^x ２

にしてみましょう。３から２に落ちただけで答えがはっきり出て来るのです。

G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(G(4))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))＝４

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タワー表記

４＋４＋４＝４×３

４×４×４＝４＾３

足し算の拡張が掛け算、
掛け算の拡張が累乗でした。
じゃあ累乗も拡張できるんじゃないかと思ったことないでしょうか。
実はちゃんと用意されています。

４＾４＾４＝４↑↑３

このように書くのが一般的です。タワー表記（クヌースの矢印表記）での表し方です。
計算方法は、右から計算します。つまり、
４＾（４＾４）
＝４＾２５６
＝1.34078079×10^154
すごい数になります。グーゴルより大きいです。
このように、累乗の拡張は
あまりに巨大な数になってしまう上、あんまり実用性はないので、発展してません。

タワー表記のルールに従えば、累乗の拡張の拡張とかも容易に考えられます。
矢印の個数を増やしていけば拡張していけます。
つまり、
４↑↑４↑↑４＝４↑↑↑３
と定義すればいいのです。更に、
４↑↑↑４↑↑↑４＝４↑↑↑↑３
これだけでものすごく大きな数を表すことができるのが分かるでしょう。

計算をするには、バラバラにすればいいですね。

２↑↑↑３
＝２↑↑２↑↑２

右から計算します。

＝２↑↑（２↑２）

ここで、矢印が１個の場合はただの累乗と同じになります。２の２乗です。
なので、

＝２↑↑４
＝２↑２↑２↑２
＝２↑２↑４
＝２↑１６
＝６５５３６

となります。

もともと累乗をＰＣで表すのは困難だったのですが、
このような表記を使えば表現できますね。
２の３乗を書くとき、２の右上に小さく３を書くというのは入力が難しいです。
そこで、タワー表記を使って
２↑３
みたいに書いたのですが、
「↑」は全角文字で使いづらいこともあったので、「＾」で代用することにしたのです。
なので、２の３乗は
２＾３
と表すのが一般的な累乗の記法です。

「↑↑」などのタワー表記で書かれた数字はどれも巨大です。
たとえば、

３↑↑４
＝３↑３↑３↑３
＝３↑３↑２７
＝３↑７６２５５９７４８４９８７

３の７６２５５９７４８４９８７乗がどれだけ巨大か分かりますよね＾＾；
3638334640025桁の数字です。

タワー表記で書いたときは「３↑↑４」とだけで済んでいたのに、
実際に計算してみるととんでもない巨大数であることが分かります。

このような巨大数を容易に記せる方法として使われているそうです。
そんな数日常の何に使うんだろう……

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sin何度で2になる？

ｘ^2＝－１

２乗してマイナスになる数は存在しないので、
これは解なしとするのですが、
高校で複素数を習うとこれの解を求めることができてしまいます。
√(－１)＝ｉとして、
ｘ＝±ｉ
とするのが正解です。

２^x＝３

２を何乗したら３になるかといっても、
２の１乗が２、２の２乗が４なので、明らかに解なしのようですが、
対数を習うことにより、ｘ＝log2(３)と解を与えることができます。

このように、初めは解けないかと思われていた問題が、
大体あとに習う様々な定義や公式で解くことが可能になるのです。
明らかに矛盾があって解けないような問題もありますが……（解なしの連立方程式とか）

それでは、対数をやったときに妙な疑問を抱いた方はいらっしゃらないでしょうか。
真数の中はかならず正の数でなければならないという条件が付きまといます。真数条件といいます。
しかし、それでもｘ^2＝－１が解けるのだから、
きっと真数がマイナスでも解けるだろうと思うことでしょう。解けますよ。
真数条件は底が１より大きいときに解が実数になるための条件みたいなものですから、（違うか？？）
真数がマイナスになると当然複素数で答えが出てきます。
やってみましょう。

log2(－１)

２を何乗したら－１になるのか？
そんなのありませんよね。２を－∞乗すると０にはなりますが、マイナスまでは届きません。
ということで、実数に解は存在しないことになります。

ここで、オイラーの公式というものを使います。

ｅ^(ix)＝cosｘ＋ｉsinｘ

こんな素晴らしい公式はめったにお目にかかれませんよ。
この式のｘにπを入れると、

ｅ^(πi)＋１＝０

という、かの有名な博士の愛した数式が出現します。
これを計算に使うのです。

ｅ^(πi)＝－１
なのですから、ｅを何乗したら－１になるかというと、πiですよね。
よって、log(－１)＝πiです。
つまり、
log2(－１)
＝log(－１)／log(２)
＝π／log(２)　ｉ

google電卓で『2^(π*i／ln2)』とか打ってみると、
ちゃんと－１という答えがでてきます。
２を4.53ｉ乗ぐらいすると－１になることが導かれました。

オイラーの公式を使うと、不可解に思える問題が簡単に解けるので、
もし良かったら活用してみてください。
それでは本題に参ります。

sinｘ＝２　を解け

即ち、sin何度で２になるか、ということです。
しかしサインの値域は－１≦sinｘ≦１なので、明らかに解が存在しません。
グラフに描いてみると一目瞭然です。

↑ｙ＝sinｘのグラフ。
　－１から１の間を行ったり来たりしているので、
　２に辿り着くことなどあり得ない。

しかし、オイラーの公式を使えば解けることが分かりました。
やり方は様々なのかも知れませんが、私のやり方を記します。

ｅ^(ix)＝cosｘ＋ｉsinｘ
ｅ^(-ix)＝cosｘ－ｉsinｘ

縦に引き算すると、
ｅ^(ix)－ｅ^(-ix)＝２ｉsinｘ
sinｘ＝(ｅ^(ix)－ｅ^(-ix))／２ｉ

つまり、三角関数を指数関数の引き算割り算で表すことができるのです。
これを利用します。

sinｘ＝２
(ｅ^(ix)－ｅ^(-ix))／２ｉ＝２
ｅ^(ix)－ｅ^(-ix)＝４ｉ
ｅ^(2ix)－４ｉｅ^(ix)－１＝０
２次方程式になってますから、解の公式を使って、
ｅ^(ix)＝２ｉ±√(－４＋１)
ｅ^(ix)＝(２±√３)ｉ
よって、
ｉｘ＝log{(２±√３)ｉ}
ｘ＝－ｉlog{(２±√３)ｉ}

もう何度っていう感覚じゃなくなっていますが……
sin[－ｉlog{(２±√３)ｉ}]が２になるということです。

……合ってるのかなあ？
googleで検算すると合ってるみたいです。（sinじゃ計算できないので、e^***にした方で）

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中３数学Ⅰ

中３で何やってたか振り返ってみることに。
最初は因数分解とかだったのですね。

初めてこの辺を学んだとき、展開に違和感を持った覚えがあります。

(ｘ＋３)(ｙ＋２)＝ｘｙ＋２ｘ＋３ｙ＋６

左辺はこんなにすっきりしているのに
どうして展開するとこんなに複雑になるんだろうと思っていました。
しかし図で見ると明らかです。

横(ｘ＋３)、縦(ｙ＋２)の図形の面積は(ｘ＋３)(ｙ＋２)に決まっていて、
それはそれぞれの長方形を足し合わせたものに等しいのですから、
この式が成り立つのは当然になります。

これを基本にして公式を作るのですね。

(１) (ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)

＝ｘ²＋ｂｘ＋ａｘ＋ａｂ
＝ｘ²＋ａｘ＋ｂｘ＋ａｂ
＝ｘ²＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ

ｘの係数はａ＋ｂ
定数項はａｂと、
それぞれ和と積で表すことができるのが特徴でしょう。

(２) (ｘ＋ａ)²

＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ａ)
＝ｘ²＋ａｘ＋ａｘ＋ａ²
＝ｘ²＋２ａｘ＋ａ²

前と後ろはそれぞれの二乗ですが、
２ａｘというのが余計にくっつきます。

(３) (ｘ－ａ)²

＝(ｘ－ａ)(ｘ－ａ)
＝ｘ²－ａｘ－ａｘ＋ａ²
＝ｘ²－２ａｘ＋ａ²

ａ²にはマイナスは付きません。二乗しているからです。
２ａｘの所にだけ二乗が付きます。

(４) (ｘ＋ａ)(ｘ－ａ)

＝ｘ²－ａｘ＋ａｘ－ａ²
＝ｘ²－ａ²

これは素晴らしいですね。さっきまで余計だったａｘが
プラスとマイナスで打ち消し合って消えます。
同じ数の二乗ではないので、後ろは－ａ²になってます。

この４つの式さえあれば展開はクリアです。

(１) (ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ²＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ
(２) (ｘ＋ａ)²＝ｘ²＋２ａｘ＋ａ²
(３) (ｘ－ａ)²＝ｘ²－２ａｘ＋ａ²
(４) (ｘ＋ａ)(ｘ－ａ)＝ｘ²－ａ²

ですが、実はこれらは全部
(ａ＋ｂ)(ｃ＋ｄ)＝ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ
から来ていることは覚えておきましょう。
そのうち
(ａ＋ｂ)(ｃ＋ｄ＋ｅ)
とかでてきて、どうしたらいいんだということになってしまいます。

因数分解は展開の逆ですから、展開の式を覚えていればできます。
ｘ²－１５ｘ＋５４
このような２次式が出た場合は、
２数を足すとｘの係数、
２数を掛けると定数項
になる２数を探せばいいことになります。
まずは符号は考えず、定数項を見て考えましょう。
掛けて５４になるものといえば、
１×５４
２×２７
３×１８
６×９
これで、足すと１５、又は引いて１５になるようなものを探します。
６＋９＝１５なので、６と９が候補になります。
あとは、どうやったら－１５になるかを考えます。
掛けて５４(プラス)なので、同符号です。
足すと－１５なので、両方マイナスであればいいですね。
よって、
(ｘ－６)(ｘ－９)
何度もやって慣れましょう。

別の例として、
(１) ｘ²－５ｘ＋６
(２) ｘ²－５ｘ－６
定数項の符号が違うだけなのですが、答えは大きく違います。

(１) ｘ²－５ｘ＋６
定数項が６なので、
１×６
２×３
のどちらかです。
６－１＝５でもあり、２＋３＝５でもあるので、
どちらか考える必要があります。
掛けて６ということは同符号ですから、
２＋３＝５が同符号ですね。
足して－５ということは両方マイナスです。
ということは、－２－３＝－５が正解です。
よって、(ｘ－２)(ｘ－３)

(２) ｘ²－５ｘ－６
定数項が－６なので、
１×６
２×３
のどちらかなのですが、
マイナスなので異符号である必要があります。
すると、６－１＝５がいいですね。
よって、(ｘ＋６)(ｘ－１)

因数分解が出たので、素因数分解が出てきます。
素因数分解は順番に割っていく方法しかいまは見つかっていません。
なので、いかに早く正確に割っていけるかが勝負です。

６０を素因数分解してみましょう。

偶数なので２で割れます。
６０÷２＝３０。

３０も偶数なので更に２で割れます。
３０÷２＝１５。

１５は５の倍数なので５で割れます。
１５÷５＝３。

よって、６０＝２²×３×５。

割り算の筆算を反対にしてやる方法もあるようです。

偶数は２で割れます。
下１桁が５か０なら５で割れます。
すべての桁の数を足したものが３の倍数なら３で割れます。

例えば１８２７は、
１＋８＋２＋７＝１８
１８は３の倍数なので、割り切れます。
１８２７÷３＝６０９。

日	月	火	水	木	金	土
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
24	25	26	27	28	29	30

偏った数学

数学（通常）

数学（通常以上）

数学（趣味）

G(x)＝３↑^x ３

４＋４＋４＝４×３

４×４×４＝４＾３

４＾４＾４＝４↑↑３

ｘ^2＝－１

２^x＝３

log2(－１)

ｅ^(ix)＝cosｘ＋ｉsinｘ

ｅ^(πi)＋１＝０

sinｘ＝２ を解け

(ｘ＋３)(ｙ＋２)＝ｘｙ＋２ｘ＋３ｙ＋６

(１) (ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)

(２) (ｘ＋ａ)²

(３) (ｘ－ａ)²

(４) (ｘ＋ａ)(ｘ－ａ)

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