├数学（一般）
[ リスト | 詳細 ]
高校以上で頻繁に登場する内容は扱いません。
そのようなものを理解しなくとも分かる内容を載せます。
そのようなものを理解しなくとも分かる内容を載せます。
![[11]](https://s.yimg.jp/i/jp/blog/p3/images/paging_for2.gif){kind=small}
コメント（0）
|
年月日を聞かれたときに、その曜日を一瞬で求められたらスゴイですよね。 まだサマーウォーズ見てないのですけど、数学ができる主人公が それを一瞬でやってみせるというシーンがあると聞いています。 これには次のツェラーの公式を使っています： 西暦の千、百の位をc、十、一の位をyとして、m月d日の曜日が hに数値として出てきます。h＝0が土曜日で、1, 2, 3, … になると 日, 月, 火, … c／4とかy／4を覆っているかっこは、小数点以下切り捨ての記号で、 mod 7 は、7で割ったあまりを計算しなさい、という演算子です。 ただし1月, 2月の場合のみ例外で、前の年の13月, 14月として計算しなければなりません。 作中ではこれを用いて暗算で一瞬で求めているそうですが、 なんでもコレのことをモジュロ演算と呼んでいるらしいですね。 モジュロ演算ってたぶん最後の「mod 7」の計算のことを言ってるんでしょうけど モジュロ演算といえば何故か曜日計算が出てきます。曜日計算をする演算の名前ではないですよ。 彼は天才なので、上のような長い数式でも一瞬で計算出来てしまうのかもしれないですが 我々でもパッと計算してみたい願望があります。 そこで今回は、上のツェラーの公式をとことん凝縮し、 １９００年〜２０９９年の年月日に対するすべての曜日を暗算で当てる方法を書きます。 高速曜日計算です。でもこれには暗記と多少の訓練が必要です。 まず、次の数列を暗記しておきます。 これらは月に対する数字で、例えば４月の数字は４番目の６、というようなものです。 覚え方は様々だと思います。前回はなんとなくの位置でスペースを置いて １４３６ １４６ ２５０３５ としていましたが、利便性を考えて４文字区切りにして １４３６ １４６２ ５０３５ とかにしてみてもいいかもしれません。 あとは、数値とそれに対応する曜日を知っていればOKです。 0が土曜日ということを知っておけば、あとは順番とわかれば良いでしょう。 以上を暗記して、あとは練習です。 下図では1967年2月10日の曜日を求めています。 まず、1月か2月の場合は年だけ1年前にずらします。そうでなければ不要です。 年→月→日の順に処理していくとよく忘れてしまうので、最初は月を見て この判定をするのを忘れないように注意しましょう。 この場合は2月なので、1967年から1年戻して1966年として考えます。 1900年代であれば1、2000年代であれば0を採用します。 今回は1900年代なので「1」を覚えておきます。 西暦の下2桁の計算に一番時間が掛かります。 ここでは66ですが、66÷4の小数切り捨てと、66をそれぞれ足す必要があります。 数字が小さければそのままできますが、大きいと暗算が難しくなります。 実はここでの計算で用いる値は28を足し引きしても全体に影響がないので 大きい場合は28で引いていき、小さくしていくことを考えます。30引いて2足せば良いですね。 66−30＝36、36＋2＝38 38−30＝8、8＋2＝10 ということで、66は10として扱っても良いことになります。これなら暗算でできますね＾＾ 10÷4の小数切り捨ては2ですから、2＋10＝12ですね。 計算の最後に7で割った余りの計算があるのですが、この操作はいつ行ってもいいので この時点で7引いておきましょう。12−7＝「5」にしておきます。 これと、さっき覚えておいた1を足して「6」にします。 この「6」が1966年の年定数です。1966年なら常に「6」になります。 以上の計算が比較的長いので、例えば今年の分だけ計算できればいいのであれば 今年の年定数をあらかじめ計算しておいてそれを覚えておけば、計算が速くなります。 例えば2017年だったら「0」です。（同じ2017年でも1, 2月は2016年として扱うのに注意です） 次に月定数を足します。2月なので、2番目の数字である「4」ですね。 さっき覚えておいた6と足して、6＋4＝10になり、7以上なので7引いて、10−7＝「3」です。 最後に日にちを足します。10日なので、3＋10＝13で、13−7＝「6」となります。 「6」は金曜日でしたから、1967年2月10日は金曜日です。 手順は長いのですけど、計算がすべて簡単なことから、
ツェラーの公式をそのまま計算するよりも暗算がずっとしやすいものと思います。 何度か練習していけばきっと、一瞬は無理でも高速に求められるようになるでしょう。 現状私は20秒ぐらいです。年定数が分かっているもの（今年とか）ならすぐできるのですが やはり年定数の計算に時間が掛かりますね。 |
|
次元について、よく誤解されることがあるのでちょっとまとめてみます。 大体ドラえもん等の影響だと思いますが、４次元は時間だ！と考える方は多いです。 １次元：直線の世界。 ２次元：平面の世界。漫画やアニメは平面上に描かれるので、そういう世界の比喩でもある。 ３次元：立体の世界。現実は３次元なので、現実を指す。 ４次元：時間。ここでは時間を自由に動かすことができる。タイムマシンかな？ こんなイメージじゃないでしょうか。 これでも確かに間違っているとは言い切れないのですが、次元ってもうちょっと広い意味なので 上記の認識でいると、あれ？？と思うようなことに遭遇します。 たとえば四次元ポケットの４次元は、上記のような時間の４次元ではありません。 時間だと考えるとわけのわからないことになります。 四次元ポケットの４次元は４次元空間を表わしており、 そこでは３次元空間の物体がいくらでも入るので、無限に収納できるという理屈なのです。 そもそも次元とは、ある物事を説明するために最低でも必要な数の個数を意味します。 これが次元の定義です。ややこしいですね。少し空間に絞って考えてみましょう。 地図上で位置を示すとき、どんな数字があれば特定できるでしょう。もちろん緯度と経度ですね。 緯度と経度をしっかりと決めれば、地球上のどこだって正確に表わすことができます。 （正確には地球は完全な球体ではないので微妙ですが、細かい反論は置いといてね＾＾；） ということは、地図上の位置は２つの数があれば説明することが出来るのです。１つでは特定できません。 従って、地表は２次元なのです。２次元の球面なので、２次元球面とも言います。 平面が２次元なのは縦・横の２つの数で位置を決められるからですが、このように曲がった平面であっても 同様に２次元として考えることができるのは、次元の定義が変数の個数だからなのです。 日常レベルでは緯度・経度だけあれば十分ですが、飛行機に乗って、 高さも含めて位置を特定するには新たに高度が必要です。 緯度・経度・高度の３つの数があれば、空間全体の位置を特定出来ることになります。 このことから、この世界は３次元と言われているのです。現実が３次元だというのはこのためです。 では４次元は何だ、というと、位置を特定するために緯度・経度・高度以外の新しい変数が必要となる空間です。 現実は３つの数で足りてますから、４つも必要にならないので、この世界は４次元ではないなと分かるのです。 だから４次元世界はもっと複雑で、我々の考えることの出来ないような 不思議な空間だというイメージが持たれます。 ぐにゃぐにゃした異次元空間のイメージがよくありますが、これは４次元とか５次元とか、そういう 高次元世界を頭の中でイメージしたものと考えるとよいでしょう。想像の出来ない世界です。 でも、実は現実世界でも４個の数がないと位置を説明できないことがあるのです。 例えばこの図書館の２階で待ち合わせね、と言ったとします。 図書館の位置は緯度・経度で説明でき、２階だという情報は高度から分かります。 ３つの数があれば待ち合わせ場所は特定可能ですね。 ところが、これだけでは待ち合わせが出来ません。時間が決められていないからです。 待ち合わせ場所にたどりついたとしても、そこに当人がいなければ待ち合わせは成立しませんから、 これでは完全に「位置を特定した」とは言えないのです。（空間上の座標という意味では位置ですが） ここに１５時に待ち合わせだと追加で情報を加えることにより、待ち合わせが成立します。 このように、緯度・経度・高度・時間の４個の数を必要とする場面があるわけです。 だから４次元は時間とよく言われるのです。空間３次元にさらに時間１次元を加えて考えるのです。 ４次元ってただそれだけのことなのですよ。別に時間を自由に移動できるわけでもないですし、 ましてやそういう空間に行けばタイムマシンを開発できる、 とかいうわけでは決してありません。夢が壊れますね。 ３次元空間と１次元時間を足して、４次元時空と呼ばれることがあります。 時空とは、時間と空間、という意味です。時空ってカッコイイ言葉ですけど、そう聞くと何だかショボイですね。 ４個目の数が空間の尺度を表わすなら、四次元ポケットのように何だかわからない世界になりますし、 時間を表わすなら、単に我々の現実の世界をより詳しく説明しただけのことになります。 なんてことはありません。次元なんて、かっこよさもへったくれもない言葉だったのです。 空間や時間以外を例にして次元を使ったってもちろん構いません。 リニアモーターカーなんてのがありますが、あれは超電導という性質を利用しています。 超電導磁石は温度によって電気抵抗が変化して、めちゃくちゃ温度が下がると抵抗が０になり、 磁力が巨大になって車体が浮くという原理で動いています。 このリニアモーターカーの進行距離は、これまでに与えた１秒毎の温度の和と、 発車してからの時間で決まるということですね。 だから、温度と時間の２次元として表現することができます。温度も尺度になれるのです。 これからは胸を張って、様々なものに対して次元を当てはめてみてくださいね＾＾
|
|
中学校で出てくる普通の、2元連立方程式 ax＋by＝c … �� dx＋ey＝f … �� を解くための解の公式を作ってみましょう。 a〜fは任意の定数とします。こうすると場合分けが多岐にわたって複雑ですよ。 まず、�，�d倍、�△�a倍します。 adx＋bdy＝cd adx＋aey＝af 両辺引き算して、 (ae−bd)y＝af−cd … �� ここで、ae≠bdであるなら y＝(af−cd)／(ae−bd) が導かれます。 同様に、�，�e倍、�△�b倍してやれば (ae−bd)x＝ce−bf … �� ae≠bdであるなら x＝(ce−bf)／(ae−bd) が導かれます。 まず、��にae＝bdを代入してみると 0＝af−cd となりますので、af＝cd となります。 つまり、af＝cdにならないのなら矛盾した二式となり、解は存在しません。 同様に、�い�ae＝bdを代入してみると ce＝bf となりますから、そうならない場合は解なしです。 af＝cd かつ ce＝bf であるなら、 �，�f倍、�△�c倍することにより afx＋bfy＝cf … �� cdx＋cey＝cf … �� が得られて、�イ�af＝cd、bf＝ceを代入すると cdx＋cey＝cf となって、�Δ帆瓦�同じになります。 すなわち ax＋by＝c と dx＋ey＝f は まったく同じ式になることになります。 式が一本しかありませんから、実質 ax＋by＝c しかないことになります。 yについて解いてみると、b≠0ならば y＝(c−ax)／b が得られますから、x＝t（tは任意定数）とすると x＝t y＝(c−at)／b が導かれます。 同様に、xについて解いてみると、a≠0ならば x＝(c−by)／a が得られますから、y＝tとすると x＝(c−bt)／a y＝t が導かれます。 b＝0のときはax＝cになりますから、a≠0ならば x＝c／a となって、yは任意の数となります。 同様にa＝0のときはby＝cになるので、b≠0ならば y＝c／bとなって、xは任意の数となります。 a＝0かつb＝0のときは0＝cとなるので、 c＝0ならx, yは任意の数、c≠0なら解なしとなります。 非常にめんどくさい分岐ですね。まとめるとこうなります。 (1) ae≠bdのとき
x＝(ce−bf)／(ae−bd) y＝(af−cd)／(ae−bd) (2) ae＝bd かつ (af≠cd または ce≠bf) のとき 解なし (3) ae＝bd かつ af＝cd かつ ce＝bf かつ a≠0 かつ b≠0 のとき 任意定数tを用いて x＝t y＝(c−at)／b または x＝(c−bt)／a y＝t (4) ae＝bd かつ af＝cd かつ ce＝bf かつ a＝0 かつ b≠0 のとき 任意定数tを用いて x＝t y＝c／b (5) ae＝bd かつ af＝cd かつ ce＝bf かつ a≠0 かつ b＝0 のとき 任意定数tを用いて x＝c／a y＝t (6) ae＝bd かつ af＝cd かつ ce＝bf かつ a＝0 かつ b＝0 かつ c≠0 のとき 解なし (7) ae＝bd かつ af＝cd かつ ce＝bf かつ a＝0 かつ b＝0 かつ c＝0 のとき 任意定数t, uを用いて x＝t y＝u |
