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実数範囲の初等関数は、sinx, arctanx, e^x, lnxの4つの関数があれば あとは四則演算だけですべて計算することが出来ます。 すべての初等関数はどれかに帰着させられるということです。 （参考：http://blogs.yahoo.co.jp/fermiumbay2/39784448.html ） これは、複素数変数となっても変わりません。 複素数変数の初等関数を、実数変数の初等関数で表示出来れば、すべて計算可能となります。 ここでは複素数が変数となったsinz, arctanz, e^z, lnzをそれぞれ実数変数の関数で表示してみます。 実数xに対して、次のオイラーの公式が成り立ちます。ほとんど虚数乗の定義みたいなものです。 e^(ix)＝cosx＋isinx 複素数z, wについて次の指数法則がそれぞれ成り立ちます。 e^(z＋w)＝e^z・e^w e^(z−w)＝e^z／e^w 複素数z, wについて、一般の指数を次のように定義します。 z^w＝e^(wlnz) argzzを極形式に直す際に偏角argzが必要になりますが、これは実部・虚部の符号によって場合分けされます。 argzは、実数変数のarctanを計算出来れば使用可能です。 ここで、arctanは多価関数とします。偏角も多価関数です。 Re(z)＞0のとき argz＝arctan(Im(z)／Re(z)) Re(z)＜0, Im(z)≧0のとき argz＝arctan(Im(z)／Re(z))＋π Re(z)＜0, Im(z)＜0のとき argz＝arctan(Im(z)／Re(z))−π Re(z)＝0, Im(z)＞0のとき argz＝π／2＋2nπ（nは整数） Re(z)＝0, Im(z)＜0のとき argz＝−π／2＋2nπ（nは整数） z＝0のときは不定 sinz色々な表示があります。sinz＝(e^(iz)−e^(-iz))／(2i) を用いて計算するか、加法定理より ＝sin(Re(z)＋Im(z)i) ＝sin(Re(z))cos(Im(z)i)＋cos(Re(z))sin(Im(z)i) として、双曲線関数を用いて sin(ix)＝isinh(x) cos(ix)＝cosh(x) とそれぞれ表示出来ることを利用すれば ＝sin(Re(z))cosh(Im(z))＋icos(Re(z))sinh(Im(z)) となり、さらに sinh(x)＝(e^x−e^(-x))／2 cosh(x)＝(e^x＋e^(-x))／2 をそれぞれ用いると、 ＝sin(Re(z))(e^(Im(z))＋e^(−Im(z)))／2＋icos(Re(z))(e^(Im(z))−e^(−Im(z)))／2 となります。 arctanzarctanz＝wとするとz＝tanw＝{e^(wi)−e^(-wi)}／{i{e^(wi)＋e^(-wi)}} zi{e^(wi)＋e^(-wi)}＝e^(wi)−e^(-wi) zi{e^(2wi)＋1}＝e^(2wi)−1 zie^(2wi)＋zi＝e^(2wi)−1 e^(2wi)＝(1＋zi)／(1−zi) 2wi＝ln((1＋zi)／(1−zi)) w＝−i／2 ln((1＋zi)／(1−zi)) より arctanz＝−i／2 ln((1＋zi)／(1−zi)) となります。 以上で任意の複素数変数の初等関数が計算出来ます。
上記のどの関数も一般に多価関数になることに注意してください。 |
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p, qが互いに素な正の整数であったとき、整数a, bについて x≡a(mod p) x≡b(mod q) をともに満たす整数xは、pqを法としてただ一つ存在します。 これを中国の剰余定理と呼びます。 ではその実際の解は何なのかを、多元ベズー方程式の解の公式に従って求めてみます。 x≡a(mod p) より 整数nを用いて x＝pn＋a と表せます。 x≡b(mod q) より 整数mを用いて x＝qm＋b と表せます。 よって、x＝pn＋a＝qm＋b となります。 整理して pn−qm＝b−a とすれば、n, mを変数としたベズー方程式になりますね。 ここで、解が存在するためには、解の公式にも書いたように (b−a) mod gcd(p, −q)＝0 でなければなりません。 p, qが互いに素であればこれは常に満たしますから、 この方程式は必ず解を持つということが言えます。 実際の解を求めるわけですが、nだけ求めればxは求まりますので、 nについてのみ解いてみます。整数kを用いて n＝X(p, −q, b−a, k)＝(b−a)X0(p, −q)＋qk になります。 ただし、 X0(a, b)＝{1−bX0(b, a mod b)}／(a mod b)（b≠±1）, 0（b＝±1） a mod b＝a−b・floor(a／b)（floorは床関数） とします。これでnが求まりました。 実際にx＝pn＋aに代入してみると、 x＝p(b−a)X0(p, −q)＋a＋pqk になりますね。これが一般解となります。 長いので A＝p(b−a)X0(p, −q)＋a と置いておけば x＝A＋pqk と表されます。 このxに範囲があった場合を考えます。x^[-]≦x≦x^[+]だったとすると、 x^[-]≦A＋pqk≦x^[+] となるので、kについて解けば (x^[-]−A)／(pq)≦k≦(x^[+]−A)／(pq) となります。 整数の範囲にしたいので、床関数と天井関数（ceiling）を用いて ceiling((x^[-]−A)／(pq))≦k≦floor((x^[+]−A)／(pq)) と表すことができます。 最小のk＝ceiling((x^[-]−A)／(pq)) 最大のk＝floor((x^[+]−A)／(pq)) ということですね。これをxに代入すれば、 最小のx＝A＋pq・ceiling((x^[-]−A)／(pq)) 最大のx＝A＋pq・floor((x^[+]−A)／(pq)) をそれぞれ得ることができます。 a＝1, b＝5, p＝6, q＝11, x^[-]＝100, x^[+]＝999 をそれぞれ代入します。 A＝24X0(6, −11)＋1 X0(6, −11)＝{1＋11X0(−11, −5)}／(−5) ＝{1＋11{1＋5X0(−5, −1)}／(−1)}／(−5) ＝{1＋11{1＋0}／(−1)}／(−5) ＝{1−11}／(−5) ＝2 より A＝49 が得られます。 最小のx＝49＋66ceiling((100−49)／66) ＝49＋66ceiling(0.77…) ＝49＋66 ＝115 最大のx＝49＋66floor((999−49)／66) ＝49＋66floor(14.39…) ＝49＋66・14 ＝973 以上から、最小が115で、最大が973だと分かります。
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