|
電気回路では、一部をブラックボックスとして 一つの大きな内部抵抗つき電源と見なすことが出来ます。 そのような回路に等価変換できることをテブナンの定理といいます。 それでは例のごとく、？部分の電流を求めてみましょう。 今回はテブナンの定理を使います。 このように、赤い四角で囲んだわけのわからない部分をブラックボックスとして 右の図のようにシンプルに、１個の抵抗、１個の電源、という回路に 置きかえてしまうことにします。そうすれば？部分の電流は簡単に求まりますね。 そのためには、抵抗と電源の値を求める必要があります。 抵抗は、上図のように電源を開放した状態の合成抵抗を求めればＯＫです。 単なる並列ですから、これは(2×1)／(2＋1)＝2／3 Ωですね。 電圧は上図の回路における、端子間電圧を求めることになります。 分圧により、1Ωに掛かる電圧を求めてみましょう。 このループ全体の電源は4＋3＝7Ｖですから、 1Ωに掛かる電圧は1／(1＋2)×7＝7／3 Ｖとなります。 よって、端子間電圧は4−7／3＝5／3 Ｖとなります。 以上から、このような等価回路を作ることができます。 これなら？部分の電流を求めるのは簡単ですね。 (5／3)／(1＋2／3)＝(5／3)／(5／3)＝1Ａと求めることができます。 テブナンの定理は複雑な回路をシンプルに表現できるメリットがあります。
等価回路を作るのはちょっとめんどくさいですが、 シンプルな回路を作ることができるので、考えることが少なくて済むかもしれません。 |
└電気回路
[ リスト | 詳細 ]
全1ページ
[1]
コメント（0）
|
電気回路の記事は相当久しぶりの投稿になりますけど、 内容自体は以下の記事の続き（？）です。 同じ回路のある経路での電流を求める色んな方法の紹介です。 ？部分は何Ａでしょう？ 今回は重ね合わせの理を使って求めてみます。 電気回路ではこのように、電源が複数ある場合は 電源が1個ずつの回路に分解して考えることができます。 それぞれで求めた電流を足し合わせると、なんと電源が複数ある場合の電流と 一致するという性質があります。これを重ね合わせの理といいます。 電源が1個しかない回路の電流を求めるのは簡単ですよね。 合成抵抗を求めたら、オームの法則を活用すれば求めることができます。 今回はこれを使って電流を求めてみましょう。 まず一つ目の、3Ｖの電源しかない回路です。合成抵抗から求めましょう。 まずは右側の1Ωの並列ですから、和分の積で(1×1)／(1＋1)＝1／2 Ω ちなみに同じ抵抗の並列であれば、単純に割り算するだけでも求まります。 例えば10Ωが5つ並列してたら、全体の抵抗は10÷5＝2Ωになります。 この場合は1Ωが2つ並列してるから、1÷2＝1／2 Ωということですね。 次に2Ωとの直列なので、合成抵抗は2＋1／2＝5／2 Ωです。 すると全電流は3／(5／2)＝6／5 Ａとなりますね。 後は？部分の電流を求めればいいわけですが、これは分流で求まります。 aΩとbΩの抵抗が並列しているとき、aΩ側に流れる電流は、 全電流をIＡとするとbI／(a＋b) Ａとなります。 求めたい部分の反対側の抵抗を掛けるのが分流でしたね。 なので、今回は1×(6／5)／(1＋1)＝3／5 Ａとなり、 向きが逆なので−3／5 Ａとなります。 この場合は同じ抵抗の並列ですから、単純に6／5が半分になって3／5 ＡでもＯＫです。 次に二つ目の、4Ｖの電源しかない回路です。これも同様にして求められます。 2Ωと1Ωの並列なので、(2×1)／(2＋1)＝2／3 Ω さらに1Ωとの直列なので、合成抵抗は1＋2／3＝5／3 Ωです。 全電流は4／(5／3)＝12／5 Ａとなりますね。 後は？の部分の電流を分流で求めると、2×(12／5)／(2＋1)＝8／5 Ａになります。 重ね合わせの理より、もとの回路の電流は−3／5＋8／5＝1Ａとなりました。 二つの回路の解析をしなきゃいけないので面倒ではありますけど、シンプルなやり方ですよね。
複雑な回路を解析するのがイヤだぞという場合には重宝します。 |
|
久我山無双できたけれど……東方と同等かそれ以上に難しくなっちゃったかもしれない。 まあ、ネタがメインなのでゲームの難易度はどうだっていいです＾＾ ネタとして人のために、ゲームとして自分のために、です。 ホワイトボードがファンゴさんによってNanさんだらけにされてしまい、 とても奇妙なものになってしまっていました……なんだこれは。 ログの超微分の公式が読めない、分からない＾＾ xlogxの下にイモとか書いてあります。どうしてこうなったんだろう…… さて、ホワイトボードにあった回路も Nanさんの実名でいっぱいになってしまっていますが＾＾；電気回路の続きを書きます。 ↑まず、ループを考えます。２つできます。 ループ１に流れる電流をＩ1、 ループ２に流れる電流をＩ2、とします。 前回と違うのは、枝路それぞれに電流を決めるのではなく、 ループに流れる電流を決めます。 こうすると、求めたい電流はループ２を流れている電流なので、 Ｉ2になりますね。 あとは枝路電流法と同じように、キルヒホッフの法則で式を立て、 連立方程式を作って解くだけです。 枝路電流法と違って文字が１つ少ないのが利点です。 ループ１での方程式を考えると、こうなります。 ３＋４−（Ｉ1＋Ｉ2）−２Ｉ1＝０ 真ん中の線路では２つのループが重なっているので、 それぞれ足したもの（向きが逆なら引いたもの）が、流れる電流になります。 これを整理すると…… ３Ｉ1＋Ｉ2＝７ になります。これが一本目の式です。 ループ２での方程式を考えると、こうなります。 ４−（Ｉ1＋Ｉ2）−Ｉ2＝０ これを整理すると…… Ｉ1＋２Ｉ2＝４ になります。これが二本目の式です。 この２本の連立方程式を解けばいいので、 この場合は網目電流法の方が簡単になります。 ３Ｉ1＋Ｉ2＝７ Ｉ1＋２Ｉ2＝４ 求めたいのはＩ2だけなので、Ｉ2だけ求めます。 クラメルの公式で解いてもいいですが、なんかこの場合は ふつうの加減法とかでできそうですね。 Ｉ1を消去します。 ３Ｉ1＋Ｉ2＝７ −）３Ｉ1＋６Ｉ2＝１２ ￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ −５Ｉ2＝−５ Ｉ2＝１ すぐでてきてしまいました。答えは１Ａになります。 あっけなかったですが……まあ、たしかに
このような回路の場合、網目電流法で解くとラクになります。 また次も違う方式で解いてみます。 |
|
なんと訪問者様が15000人を超えました。 毎度見ていただきありがとうございます。 久しぶりに電気回路を書きます。 オームの法則Ｖ＝ＲＩを利用すれば、 ここに流れている電流がいくらか、というのを知ることが出来ます。 ↑この回路図の右側にある「１Ω」に流れる電流を求めましょう。Ｉ[Ａ]とします。 解法は実は色々あって、状況に応じて使い分けることになります。 いずれにせよオームの法則を利用します。 まずは代表的な、キルヒホッフの法則から紹介します。 ＜キルヒホッフの電流則＞ 入ってくる電流を正、出て行く電流を負とすると、 一点に入ってくる電流の総和は０になる。 ＜キルヒホッフの電圧則＞ 起電力を正、電圧降下を負とすると、 そのループの始まりと終わりの電位差は０になる。 言い換えると、電流則とはこういうことです。 ↑この点に入ってくる電流は１Ａと２Ａと３Ａとすると、全部で６Ａ 流れてくることになります。 なので出て行く電流の和も当然６Ａで、 この場合は４Ａと２Ａが出て行っています。 途中で電流が勝手に増えたり減ったりしないということです。 また、電圧則とはこういうことです。 ↑右下の点をスタートとして、一回りします。 これをループとか閉回路とか呼んでいます。 このループの合成抵抗は、直列なのでただの足し算。 ３Ω＋２Ω＋１Ω＝６Ωです。 電池（起電力）は４Ｖ＋２Ｖ＝６Ｖなので、 オームの法則より、Ｉ＝Ｖ／Ｒ＝６／６＝１Ａの電流が このループに流れていることになります。 では出発してみましょう。 スタート時点の電位は０Ｖです。 まずは４Ｖの電池があるので、４Ｖ上がって＋４Ｖになります。 次に３Ωの抵抗があります。オームの法則より、３Ω×１Ａ＝３Ｖ ３Ｖ下がって＋１Ｖになります。 次に２Ωの抵抗があります。オームの法則より、２Ω×１Ａ＝２Ｖ ２Ｖ下がって−１Ｖになります。 次に１Ωの抵抗があります。オームの法則より、１Ω×１Ａ＝１Ｖ １Ｖ下がって−２Ｖになります。 最後に２Ｖの電池で回復し、２Ｖ上がって０Ｖになってゴールします。 スタートとゴールはどちらも０Ｖになっているということです。 まあ、当然といえば当然です。 さっきの問題を枝路（しろ）電流法で解いてみます。 ↑上の一点に注目します。 左側から入ってくる電流をＩ1、下側から入ってくる電流をＩ2とし、 右側へ出て行く電流をＩ（この問題の答え）とします。 向きは実は好きな向きでいいのです。 間違った向きだったとしても、答えがマイナスとして出てくるだけなので、 何も障害はありません。 キルヒホッフの電流則から、 Ｉ1＋Ｉ2＝Ｉ が成り立ちます。 入ってくる電流の和と出て行く電流の和は当然同じです。 次にキルヒホッフの電圧則を使います。 未知数Ｉ1、Ｉ2、Ｉの３つなので、方程式が３つないと解けません。 ループを２つ決めることになります。 これもなんでもいいです。ノリで決めてください。 例ではとりあえず、ループ１、ループ２を↑のように決めました。 ループ１での方程式を考えましょう。 ３Ｖからスタートし、次に４Ｖがあるので、更に増えます。 次に１Ωの抵抗が見当たります。 電位がいくら落ちるかというのは電流が分からなきゃいけません。 ここに流れる電流はさっきＩ2と仮定したので、 オームの法則より、１[Ω]×Ｉ2[Ａ]＝Ｉ2[Ｖ]落ちます。 次に２Ωの抵抗が見当たります。 ここに流れる電流はさっきＩ1と仮定しましたが、向きが逆です。 なので、マイナスを付けて、 オームの法則より、２[Ω]×（−Ｉ1[Ａ]）＝−２Ｉ1[Ｖ]落ちます。 マイナス落ちる、ということは増えるということです。 この答えが０になるのですから、式にすると、 ３＋４−Ｉ2＋２Ｉ1＝０ ということになります。 ループ２での方程式も同じように考えます。 まずは４Ｖからスタート。 次にある１Ωの事情はさっきと同じで、Ｉ2[Ｖ]落ちることになります。 次は右側の１Ωへ行きます。ここに流れる電流はＩ[Ａ]と仮定したので、 オームの法則より、１[Ω]×Ｉ[Ａ]＝Ｉ[Ｖ]落ちます。 よって式にすると、 ４−Ｉ2−Ｉ＝０ ということになります。 これで３本の式が揃いました。３元連立方程式です。 Ｉ1＋Ｉ2＝Ｉ ３＋４−Ｉ2＋２Ｉ1＝０ ４−Ｉ2−Ｉ＝０ 求めたいのはＩだけなので、Ｉ1、Ｉ2をわざわざ出す必要がありません。 色んな解き方がありますが、クラメルの公式が簡単だと思います。 ↑まずは文字と定数項に分けます。 そうすると、このような行列にすることができます。 数字だけの３次行列は、係数だけとったものです。 文字がない部分は０にすれば良いです。 このときＩだけ求めたい場合は、このようになります。 分母はさっきの３次行列を行列式にしたもの。 分子も似ていますが、３列目だけ定数項の行列になっていますね。 Ｉがあったのが３番目なので、３列目が定数項の行列になります。 この行列式を展開すれば完成です。 行列式というのは、行列だと外側（）で覆っていたものを｜｜にしたものです。 これは展開することによって普通の数字にすることが可能です。 ３次の行列式の展開方法です。 図のように右下へななめに掛け算して、 行き止まりになったら図のようにジャンプします。３つずつ掛け算します。 それを足していきます。 次に左下へななめに掛け算します。こちらは引き算します。 なので↑この場合は４５＋９６＋８４−１０５−４８−７２＝０となります。 では問題の方も解いてみましょう。 慣れると簡単ですが、慣れるまでは面倒だし大変だと思います。 まずは分母から。 ０があるとラクですね。 −１＋（−２）＋０−０−０−２＝−５ 次は分子 −４＋０＋０−０−（−７）−８＝−５ ということで、 Ｉ＝（−５）／（−５）＝１と出てきます。 答えは１Ａでした。 ３元連立方程式を解く時点で大変だったと思います。 慣れちゃえばそうでもないのですが……＾＾； 同様の方法で、Ｉ1とＩ2も出せます。
Ｉ1＝−２Ａ Ｉ2＝３Ａ となれば成功です。Ｉ1がマイナスということは、 仮定した向きの反対が正解だったということですね。 |
全1ページ
[1]
