├中学数学講座
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小学１年〜中学３年までの義務教育数学を記録した記事群です。
但し、新カリキュラムによる追加分は中学３年の内容しか扱っていません。
これは、その教科書を私が持っていないので
正しい内容を伝えられない可能性があるためです。
ご了承下さい。
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但し、新カリキュラムによる追加分は中学３年の内容しか扱っていません。
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コメント（2）
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数ページだけの短い章ですが、これが中学数学の最後の章です。 私はこれは習ったことがありません＾＾； タイミングを逃したか。 しかし、何も難しいものではありませんから、ご安心下さい。 ここに赤い丸、青い丸、緑の丸がてきとうに置かれています。 どの丸が一番多いでしょう？ 全部数えればいい話ですが、いちいち数えてられますか。 この数だったらいいかもしれませんが、これが１０００個とか１００００個とかあったら失神します。 そういうときは、てきとうにいくつか取り出してそれだけ調べればいいのです。 そうすると確実な個数は分かりませんが、おおよそどれが多めとかは分かります。 偏ってなさそうな所を取り出して…… 取り出した部分だけを数えます。これなら数えられるでしょう＾＾； 赤は４個 緑は２個 青は７個 あります。ということは、青の方が多そうです。 逆に緑は少ないということが分かります。 実際、全体を数えてみると、 赤が２２個 緑が１４個 青が３６個 あり、青が一番多く、緑が一番少ないです。 なるべく偏りがないように取り出すと、全部を調べなくても分かってしまうのです。 この方法を標本調査というのです。 逆に、全部を調べることは、全数調査といいます。 標本調査という名前の通り、取り出したもののことは標本といいます。 取り出すもとになった全体の集団は母集団といいます。 標本は、偏りがないように取り出さなければなりません。 偏りがあると、偏った答えになってしまうのです。 そういうときはよく「乱数さい」とか「乱数表」を使うのですが、最近はパソコンや関数電卓で 疑似乱数を使えるので、それを使った方が楽でしょう。 推測つくとは思いますが、標本が大きいほど（多く取り出すほど）、正確になります。 標本調査は次のようなことを調べるのに向いています。 ↑目がちかちかしますでしょう。 これは中学３年生１２００人の身長[cm]の表です（値はランダムですが＾＾；）。 この平均身長を出そうと企てても、そう簡単に求まりそうにありません。 全員分足して１２００で割れば確かに平均身長になりますが…… ということで、標本調査をしてみます。てきとうに取り出します。 とりあえず、２０人取り出しました。これぐらいならきっとできるでしょう＾＾ 電卓を携えて…… 165＋144＋137＋159＋148＋168＋174＋152＋157＋133＋135＋184＋170＋184＋189＋176＋155＋174＋155＋173 ＝3232 ですから、２０で割って、161.6cmとなります。これが標本調査して出てきた平均身長です。 １２００人分の実際の平均身長は実は160.03cmです。けっこう近いではありませんか。 このように、とりあえず母集団の傾向だけ知りたいときは、 標本調査すると非常にラクに求めることができます。日常でも何かに活用できるかもしれませんよ。 問題といいますか、試してみてください＾＾ ちょっと外れてるかも…… 電卓あると良いと思います。 下の表は、攻撃力68のベイ助君が、ミノタウロスに対して 通常攻撃を行ったときのダメージを１００回分記録したものです。 （１）標本調査を利用してダメージの平均値を求めてください。 （２）ダメージの平均値は（攻撃力÷２）−（防御力÷４）で与えられます。ミノタウロスの防御力は何でしょう？ 標本の取り方によって色んな答えになりますが、一定の範囲内であれば全部正解ですので、ご安心下さい。
全部数えるのはやめてください＾＾； |
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遂に第２０回まで来ました。以前まではこの章が中学校最後の章でしたが、 新しくなったことでもう１つ章が追加されました。 ということで、この次が最後になります。 三平方の定理、またはピタゴラスの定理というのは、 直角三角形でのみ成り立つ重要な性質です。 高校では頻繁に利用し、更に直角三角形以外でも成り立つ公式を習ったりするので、 しっかりと理解しておきましょう。あんまり難しくはないです。 直角三角形の斜辺をｃとしたとき、↑ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2が成り立つというものです。 直角三角形であれば必ず成り立ちます。 この定理を用いて、具体的に次の２つを見てみましょう。 一つ目のこの三角形は、直角二等辺三角形といいます。三角定規の一つにあります。 このときの斜辺ｘを求めてみましょう。 三平方の定理より、 １^2＋１^2＝ｘ^2 が成り立つことになります。ｘについて解きます。 １＋１＝ｘ^2 ｘ^2＝２ ｘ＞０なので、ｘ＝√２ となります。 求めるのは長さなので、必ず正になりますから、答えは√２です。 直角二等辺三角形の３辺の比は、１：１：√２ ということは是非とも覚えておきましょう。 即ち、正方形の対角線は一辺の√２倍の長さになることも意味しています。 二つ目はこの三角形です。特に名前はなさそうですが…… 角がそれぞれ30°、60°、90°になっている直角三角形です。これも三角定規にあります。 斜辺は２だと分かっていますから、縦のｙを求めてみます。 三平方の定理より、 １^2＋ｙ^2＝２^2 が成り立つことになります。 注意しましょう。右辺に来るのは斜辺の二乗ですよ。ｙについて解くと、 １＋ｙ^2＝４ ｙ^2＝３ ｙ＞０なので、ｙ＝√３ となります。 こちらも当然、正なので、答えは√３です。 この角になる直角三角形の３辺の比は、１：２：√３ となります。２は斜辺ですからね！ 間違えないようにしましょう…… 角度が45°、45°、90°であれば、自動的に１：１：√２の関係だと分かりますし、 角度が30°、60°、90°であれば、自動的に１：２：√３の関係だと分かります。 活用しましょう。 三平方の定理はもちろん、逆も言うことができます。 三平方の定理の逆といいます。つまり、 ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2が成り立つような三角形は、直角三角形になるのです。 例えば↑ここに２つの三角形があります。 直角三角形かどうか調べてみましょう。 確かめるときは、ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の左辺と右辺をそれぞれ計算して、 等しいかどうか確かめます。等しかったら直角三角形です。 等しいかどうか分からないのですから、「＝」で結んで確かめるのはやめてください。 例えば３cm、４cm、５cmの三角形が直角三角形かどうか調べるには、 ３^2＋４^2＝９＋１６＝２５ ５^2＝２５ 等しいから直角三角形、とやります。なのでいきなり、 ３^2＋４^2＝５^2 ９＋１６＝２５ ２５＝２５ ↑このようにして書くのは正しくありません。注意しましょう。 まずは左の三角形、６cm、８cm、１０cmが直角三角形かどうか調べます。 ６^2＋８^2＝３６＋６４＝１００ １０^2＝１００ 等しいから、これは直角三角形です。 次に右の三角形、５cm、６cm、８cmが直角三角形かどうか調べます。 ５^2＋６^2＝２５＋３６＝６１ ８^2＝６４ 等しくないので、これは直角三角形ではありません。 どうしても ５^2＋６^2＝８^2 ２５＋３６＝６４ ６１＝６４ みたいにやりたくなりますが、ダメですよ。 等式は左辺と右辺が必ず等しくなければなりませんからね。 三平方の定理は非常に役に立ちます。 てきとうに直角三角形を作ってやれば、未知の長さが分かってしまうからです。 ↑この正三角形の面積を求めてみましょう。 一辺の長さは４cmです。 三角形の面積を求めるには高さが必要ですが、どこにも書かれていません。 高さを求める必要があります。高さｈとおきます。 ここで切ってやると、直角三角形ができますね。 下の辺の長さは４cmの半分で２cmです。 三平方の定理より、 ２^2＋ｈ^2＝４^2 ４＋ｈ^2＝１６ ｈ^2＝１２ ｈ＞０なので、ｈ＝√１２＝２√３ もしくは、見ると正三角形の１つの角は60°なので、 この直角三角形は30°、60°、90°になっています。つまり、 ３辺の長さの比は１：２：√３になりますから、 １：２：√３＝２：４：ｈ より、ｈ＝２√３、とやってもいいです。というかむしろ、こっちの方が速いです。 高さが２√３だと分かりましたから、もう面積は出せますね＾＾ １／２×底辺×高さなので、 １／２×４×２√３＝４√３ よって４√３c��になります。 最後にこんなのも考えてみます。 考えたことのある方もいらっしゃるかもしれませんが、 円錐の高さなんて現実的に測るのは無理ですよね。 そこで、底面の半径と、母線の長さだけで体積を求める方法を考えてみます。 ↑もう図には高さｈと置いています。どうすればｈを求められるかというと、同じですね。 三平方の定理より、 ３^2＋ｈ^2＝１０^2 ９＋ｈ^2＝１００ ｈ^2＝９３ ｈ＞０より、ｈ＝√９３ よって体積は、１／３×π×３^2×√９３＝３√９３ πc��となります。 実際、全部だいたいこんな感じで求めていきます。 慣れれば大したことはないはず＾＾ 問題やってみてくださいな。 問１ 次の長さを持つ三角形は、直角三角形でしょうか？ （１）０．３ｍ、０．５ｍ、０．６ｍ （２）２０cm、２１cm、２９cm 問２ 下図のグラフで、点Ａ（２，１）、点Ｂ（６，４）のとき、点ＡＢ間の距離を求めてください 直角三角形では、斜辺が必ず長くなるのは当然です。
なので、どれが斜辺か分からないときは一番長い辺だと思ってください。 |
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追加された短い章です。 ２年生で習うはずだったものが繰り上げて３年生で習うようになったものが内容に含まれますので、 新しく出てくる内容は僅かです。 円周角と中心角についてはこちらを参照してください↓ 【第１２回】三角形と四角形 （http://blogs.yahoo.co.jp/fermiumbay2/36858392.html ） １つの弧に対する円周角の大きさはえその弧に対する中心角の半分の大きさであり、 同じ弧に対する円周角の大きさはどこでも等しくなります。 この２つを円周角の定理と呼びます。 円周角の定理から、中心角１８０°のとき円周角は９０°ということになりますので、 半円の弧に対する円周角は直角になることもやりました。 ここで新しく登場するのは、 円周角と弧に関する定理と、 円周角の定理の逆です。 どっちも覚えてしまえば何でもない定理です。 同じ弧に対する円周角の大きさは等しいというのがありましたが、 同じ弧にいなくても、弧の長ささえ等しければ円周角は等しくなります。 これは中心角が等しいことから証明できます。 ↑つまりこういうことです。 等しい弧に対する円周角は等しいのです。もちろんその逆も言えます。 同じ弧に対する円周角の大きさは等しいというのは、 弧が等しいというのは弦が等しいということなので、 次のような定理も考えられます。 ↑線分ＡＢがありますが、このとき青い角は等しいとすると、 このように、４つの点は１つの円周上にあるということになります。 これを円周角の定理の逆といいます。 図のような線分から出てる２つの角が等しいとわかれば、 ただちに４つの点が１つの円周上にあると分かります。 なんだか図を見ていて思いつきましたが、合同な三角形の一辺重ねてみると、 でっぱってる４点が必ず１つの円周上にあるということですよね。 合同でなくてももちろん成り立ちますが、合同な三角形のときはすぐ見分けがつけられそうです。 問題を通して学んでみましょう＾＾（ずるい？） 問１ 図１の∠ｘ、∠ｙを求めてください 問２ 図２で、ある４点は１つの円周上にあります。どの４点でしょう？ |
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新カリキュラムによって更に長い章になってしまったので、 とりあえず具体例とともにさらっとおさらいしてみたいと思います。 三角形の相似条件は以下の通りです。 （１）３組の辺の比がすべて等しい
（２）２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい （３）２組の角がそれぞれ等しい ３番目に注意しましょう。２組の角さえ分かっていれば、相似と言えます。 相似は拡大、縮小することによって合同になる図形のことをいいます。 対応する線分の長さの比は、相似比といい、 例えば△ＡＢＣを４倍に拡大したものが△ＤＥＦになっていたとき、 △ＡＢＣ∽△ＤＥＦと表し、相似比１：４（１／４も可）とかきます。 また、なんとなく分かるでしょうが、合同であれば相似でもあります。 △ＡＢＣ∽△ＤＥＦだとして、相似比が１：１だった場合は、合同になります。 相似な図形の場合、 対応する線分の長さの比はすべて等しく、対応する角の大きさはそれぞれ等しくなります。 相似を利用して、長さを求めてみましょう。 いつかの円錐台の記事の画像使い回しています。 この図形で、辺ＢＣ、辺ＢＦ、辺ＣＥの長さは既に分かっているとします。 辺ＢＣ＝１０ｃｍ 辺ＢＦ＝５ｃｍ 辺ＣＥ＝７ｃｍ としたとき、辺ＡＢの長さを求めてみましょう。 全く想像できませんが、相似を利用すると求まるのです。 △ＡＢＦと、△ＦＤＥが、なんだか似ているように見えます。 ということで、この２つの三角形が相似であることを確かめてみましょう。 直角から、ＢＦ//ＣＥであることが分かります。 赤くなっている角は同位角ですが、平行なとき同位角は等しいのでしたから、 ∠ＢＡＦ＝∠ＤＦＥです。 また、直角で等しいので、∠ＡＢＦ＝∠ＦＤＥです。 ２組の角がそれぞれ等しいので、△ＡＢＦ∽△ＦＤＥとなります。 ここで、対応する線分の長さの比は等しいのでしたから、 ＡＢ：ＦＤ＝ＢＦ：ＤＥ というのが成り立つことになります。 辺ＡＢの長さをｘｃｍとすると、 辺ＡＢ＝ｘｃｍ 辺ＦＤ＝辺ＢＣ＝１０ｃｍ 辺ＢＦ＝５ｃｍ 辺ＤＥ＝辺ＣＥ−辺ＣＤ＝辺ＣＥ−辺ＢＦ＝（７−５）ｃｍ＝２ｃｍ ということは、 ｘ：１０＝５：２ ということなので、 ２ｘ＝５０ ｘ＝２５ よって、辺ＡＢの長さは２５ｃｍとなります。 ちなみに△ＡＢＦと△ＦＤＥの相似比は５：２ということになりますね。 次に、三角形と比の公式をまとめておきます。 ↑この図で、ＢＥ//ＣＤであれば、 （１）ＡＢ：ＡＣ＝ＡＥ：ＡＤ＝ＢＥ：ＣＤ
（２）ＡＢ：ＢＣ＝ＡＥ：ＥＤ という関係が成り立ちます。もちろん、その逆も成り立ちます。 （それぞれの辺の比が等しいと分かれば、ＢＥ//ＣＤ） また、ＡＢ：ＢＣ＝ＡＥ：ＥＤですが、１：１になるときも等しいことになります。 ＡＢ：ＢＣ＝１：１ということは、辺ＡＢ＝辺ＢＣなので、点Ｂは辺ＡＣの中点になります。 つまり、三角形の２辺のそれぞれの中点を結ぶと、もう１辺と平行になるということです。 更に、辺ＢＥの長さは、辺ＣＤの長さの半分になります。 これは、中点連結定理という定理です。 けっこう便利な定理で、例えばめもりつきの定規が１本あれば平行な線を引けるということになります。 また、こんなのもありました。 ＡＤ//ＢＥ//ＣＦならば、 ＡＢ：ＢＣ＝ＤＥ：ＥＦになります。 平行線があれば、交差するようにてきとうに線を引いてやると、 それぞれの長さの比が等しくなってくれるのです。 これらのことを知っていれば、同じような図形に出くわしたときに 条件さえ確認すれば長さをすぐに出せるので、便利です。 最後に補助教材分です。 相似な平面の相似比がＡ：Ｂのとき、面積の比はＡ^2：Ｂ^2になります。 相似な立体の相似比がＡ：Ｂのとき、体積の比はＡ^3：Ｂ^3になります。 また、表面積の比はＡ^2：Ｂ^2になります。 これも知っていると便利ですよ＾＾ 例えば半径５ｃｍの円があったとします。 これの面積はπ×５^2＝２５πｃ��ですね。 次に、半径１０ｃｍの円があったとします。 すると相似比は５：１０＝１：２ですから、 面積比は１^2：２^2＝１：４になるということです。 つまり、半径１０ｃｍの円の面積は２５πの４倍で、１００πｃ��になるはずです。 確かに、π×１０^2＝１００πになっています。面白いことです。 問題を実際にやってみると身に付くのが早くなります。 複雑な問題はありません。余裕があれば、是非取り組んでみてください。 問１ 図１は△ＡＢＣ∽△ＤＥＦとなっています （１）ｘを求めてください （２）ｙを求めてください （３）相似比はなんでしょう？ 問２ 図２でｘを求めてください 問３ 次の問いに答えてください（図３参考） 空の立方体の容器Ａがあります。 一辺の長さがそれぞれ半分の小さな立方体の容器Ｂにいっぱいに水を入れ、 容器Ａに移す、ということを繰り返します。 何回繰り返せば、容器Ａは水でいっぱいになるでしょう？ |
