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中編からです。 組み合わせを用いて組分けを考えてみます。 ライ太、ベイ太、レイベ、レーラ、セーア、ポン太の６人を ２人、４人の２組に分けるときの組み合わせはいくらかといえば、 ２人に分けるのは6Ｃ2＝（６×５）／（２×１）＝１５通り。 ということで１５通りです。 こっちを決めれば４人の組は自動的に決まるので、計算は不要です。 念のため計算してみると、6Ｃ4＝6Ｃ2＝１５通りとなります。 次に、３人ずつの２組に分けるときの組み合わせを求めます。 これには注意が必要です。 6Ｃ3＝（６×５×４）／（３×２×１）＝２０通りと 出てきますが、これでは多すぎます。 さっきと違うのは人数が同じということです。 初めの組に１組、次の組に２組と名付けると、こうなります。 １組：ライ太・ベイ太・レイベ ２組：レーラ・セーア・ポン太 １組：レーラ・セーア・ポン太 ２組：ライ太・ベイ太・レイベ これら２つは組が違うので異なりますが、 問題では組がどうとか書かれていないので、この２つは 同じものと考えなければなりません。 よって、２！で割らないと正確な答えにならないのです。 ２０／２！＝１０通りが正解です。 同じものを含む順列という概念があります。 忘れやすいもので間違えそうな内容です。 「たいこたたいた」を並べ替えてできる文字が何通りか調べましょう。 ただの順列なので、7Ｐ7＝７！＝５０４０通り、としてしまいそうですが、 実際には違います。重複しているものがあります。 「た」が４つ、「い」が２つ、「こ」が１つあります。 まずは７文字から「た」を取る場合の数は、 順列ではなく組み合わせとなります。「た」は順番関係ないからです。 7Ｃ4＝7Ｃ3＝（７×６×５）／（３×２×１）＝３５通りです。 次に残りの３文字から「い」を取る場合の数は、 3Ｃ2＝3Ｃ1＝３／１＝３通りです。 残ったのは「こ」だけですから、 1Ｃ1＝１通り。 これらを積の法則から掛け算すると、３５×３×１＝１０５通りとなります。 ５０４０なんて全然違う値だったことが分かります。 文字が重複しているときは、重複を避ける必要があります。 問題の答えは 7Ｃ4×3Ｃ2×1Ｃ1でしたが、階乗を使って表すと、 ７！／４！３！×３！／２！１！×１ ＝７！／４！２！１！ となります。 なんだかかなり分かりやすい式になっていませんでしょうか。 分子は全体の文字数の階乗、 分母はそれぞれ重複する文字の個数の階乗の積です。 これはこんな問題に応用できます。 （８月４日に画像修正） Ｓ点からＧ点へ最短経路で行く進み方は何通りあるでしょう。 普通に考えるとつらいものがありますが、 右へ進むのをｘ、下を進むのをｙとしてみましょう。 すると「ｘｘｘｘｘｙｙｙｙ」と進めばゴールします。 この「ｘｘｘｘｘｙｙｙｙ」を同じものを含む順列として、場合の数を計算すれば良いのです。 意外と簡単でしょう。全部で９文字あるので…… ９！／５！４！ ＝（９×８×７×６×５×４×３×２×１）／（５×４×３×２×１×４×３×２×１） ＝（９×８×７×６）／（４×３×２） ＝９×２×７ ＝１２６通り となります。これらの計算は効率的に約分をしてやると楽でしょう。 組み合わせの計算方法を得たことにより、二項定理も理解できます。 （ａ＋ｂ）^1＝１ａ＋１ｂ （ａ＋ｂ）^2＝１ａ^2＋２ａｂ＋１ｂ^2 （ａ＋ｂ）^3＝１ａ^3＋３ａ^2ｂ＋３ａｂ^2＋１ｂ^3 （ａ＋ｂ）^4＝１ａ^4＋４ａ^3ｂ＋６ａ^2ｂ^2＋４ａｂ^3＋１ｂ^4 （ａ＋ｂ）^5＝１ａ^5＋５ａ^4ｂ＋１０ａ^3ｂ^2＋１０ａ^2ｂ^3＋５ａｂ^4＋１ｂ^5 （ａ＋ｂ）^6＝１ａ^6＋６ａ^5ｂ＋１５ａ^4ｂ^2＋２０ａ^3ｂ^3＋１５ａ^2ｂ^4＋６ａｂ^5＋１ｂ^6 （ａ＋ｂ）^7＝１ａ^7＋７ａ^6ｂ＋２１ａ^5ｂ^2＋３５ａ^4ｂ^3＋３５ａ^3ｂ^4＋２１ａ^2ｂ^5＋７ａｂ^6＋１ｂ^7 のように、２つの項の塊を展開するとこのようになります。 ａとｂの累乗だけ見れば、 ａは一番高い次数から始まって下がっていき、 ｂは一番低い次数から始まって上がっていきます。 しかし係数はどうなっているかというと、このような図で確認できます。 パスカルの三角形といいます。左上と右上の数の和を直下に書くと、 このような三角形ができあがります。端は全部１にします。 これを利用すれば色んな次数の展開式を容易に求められます。 実際どうやってこの係数が決まるか計算で出してみることにします。 （ａ＋ｂ）^3＝１ａ^3＋３ａ^2ｂ＋３ａｂ^2＋１ｂ^3 が決まる様子を見てみましょう。 （ａ＋ｂ）^3＝（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ） です。 この展開では、 ａａａ ａａｂ ａｂａ ａｂｂ ｂａａ ｂａｂ ｂｂａ ｂｂｂ の順に掛け算しています。 そのうちａ^2ｂの係数を知りたいとしましょう。ｂを１回取るようなものは、 ａａｂ ａｂａ ｂａａ の３通りです。ａやｂは何回目で取るとかは関係なく、 とにかくａが２つ、ｂが１つ取れればいいだけなので、順番関係ありません。 組み合わせになります。 ３個から１個を取り出す組み合わせなので、ａ^2ｂの係数は3Ｃ1です。 同様にすれば、 ａ^3の係数 → 3Ｃ0 ａ^2ｂの係数 → 3Ｃ1 ａｂ^2の係数 → 3Ｃ2 ｂ^3の係数 → 3Ｃ3 となって、なんだか法則性があるような形をしていることが分かります。 これが二項定理です。 （ａ＋ｂ）^n ＝nＣ0ａ^n ＋nＣ1ａ^(n-1)ｂ ＋nＣ2ａ^(n-2)ｂ^2 ＋nＣ3ａ^(n-3)ｂ^3 ＋…… ＋nＣrａ^(n-r)ｂ^r ＋…… ＋nＣnｂ^n というものです。 この一般項はnＣrａ^(n-r)ｂ^rになります。 このときのnＣrは二項係数といいます。 これを使えばわざわざ展開しなくても、好きな係数を取り出せます。 （ａ＋ｂ）^7の、ａ^2ｂ^5の係数だけを知ることもできます。 一般項はnＣrａ^(n-r)ｂ^rだったので、ｎ＝７、ｒ＝５のパターンです。 よって二項係数は7Ｃ5＝7Ｃ2＝（７×６）／（２×１）＝２１となります。 確かに（ａ＋ｂ）^7を展開すると、２１ａ^2ｂ^5という項が出てきます。 次に、 （２ｘ＋３ｙ）^7の、ｘ^2ｙ^5の係数だけを知ることにします。 ２ｘをａ、３ｙをｂとして、 一般項nＣrａ^(n-r)ｂ^rを見てみることにします。 ａ＝２ｘ、ｂ＝３ｙを代入すると、 nＣr（２ｘ）^(n-r)（３ｙ）^rで、さっきと同様にｎ＝７、ｒ＝５の場合なので、 7Ｃ5（２ｘ）^(7-5)（３ｙ）^5 ＝7Ｃ5（２ｘ）^2（３ｙ）^5 ＝7Ｃ5×２^2×ｘ^2×３^5×ｙ^5 ＝7Ｃ5×４×ｘ^2×２４３×ｙ^5 7Ｃ5＝２１だったので、 ＝２０４１２×ｘ^2×ｙ^5 ＝２０４１２ｘ^2ｙ^5 となり、係数は２０４１２だったことが分かります。かなり大きいです。 とても範囲が広く思いますが、とりあえず問題を用意しました。 問１ 次の場合の数を求めてみてください （１）７人から、１位、２位、３位までの３人を決める場合の数？ （２）７人から、実行委員会３人を決める場合の数？ （３）男の子２人、女の子３人で一列に並ぶとき、女の子３人が隣り合う場合の数？ 問２ （３ａ−ｂ）^4を展開したとき、ａ^2ｂ^2の係数はどうなるでしょう？ 問３ ↓Ｓ点からＧ点へ最短経路で行く進み方は何通りあるでしょう？ お好きな問題だけやるというのも手です＾＾
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場合の数ではまず次の２つの法則が存在します。 ＜和の法則＞ 事柄Ａ、Ｂが同時には起こらないとき、 Ａの起こり方がａ通り、 Ｂの起こり方がｂ通り、 であれば、ＡまたはＢが起こる場合の数はａ＋ｂ通り これは簡単だと思います。 Ｗｉｉのゲームソフトが５つで、 ３ＤＳのゲームソフトが４つなら、 Ｗｉｉまたは３ＤＳのどれかソフトを選ぶ場合の数は 当然、５＋４＝９通りです。 もう一つの法則はよく使います。 ＜積の法則＞ 事柄Ａ、Ｂがあって、 Ａの起こり方がａ通り、 Ｂの起こり方がｂ通り、 であれば、Ａ、Ｂが同時に起こる場合の数はａ×ｂ通り Ｗｉｉのゲームソフトが５つで、 ３ＤＳのゲームソフトが４つのとき、 両方のゲームソフトを１つずつ選ぶとします。 その場合の数は５×４＝２０通りになります。 これらの法則はべつに２つの事柄じゃなくても成り立ちます。 では順列、組み合わせに向かいます。 「Ａ」「Ｂ」「Ｃ」「Ｄ」「Ｅ」の５枚から３枚取り出し、並べるとします。 その場合の数について考えてみましょう。 まず１枚目はＡ〜Ｅの５枚のうちどれかなので、場合の数は５つ。 ２枚目は、さっきの５枚から１枚引かれた４枚のうちのどれかです。 なので、場合の数は４つになります。 ３枚目は更に１枚引かれたので、３枚のうちのどれかになります。 なので、場合の数は３つになります。 これらが同時に起こる場合の数は、積の法則より ５×４×３＝６０通りとなります。 取っていって並べると、引く枚数は減っていくわけです。 ５枚から３枚取った順列といって、5Ｐ3という記号で表します。 計算方法はシンプルに、左下の数から初めて右下の数分掛け算すればＯＫです。 7Ｐ1＝７ 7Ｐ2＝７×６ 7Ｐ3＝７×６×５ 7Ｐ4＝７×６×５×４ 7Ｐ5＝７×６×５×４×３ 7Ｐ6＝７×６×５×４×３×２ 7Ｐ7＝７×６×５×４×３×２×１ となります。最後の7Ｐ7だけは特別に、７！という記号で表せます。 これは７の階乗と呼びます。７から１までの積を表します。 階乗の記号を使って順列を表すことも可能です（ちょっと強引ですが）。 例えば階乗のみを利用して、7Ｐ4を表してみましょう。 7Ｐ4＝７×６×５×４ どうすれば表せそうでしょう。 ７から順番に行っているので、まず ７！＝７×６×５×４×３×２×１ を利用しますよね。 しかし３×２×１が余計です。割ってしまえばいいのです。 ３×２×１＝３！なので、 7Ｐ4＝７！／３！ と表すことができます。 分母は（ｎ−ｒ）！なのに注意しましょう。ｒ！ではありませんよ。 この式において、ｎ＝ｒとしてみましょう。すると、左辺はnＰn＝ｎ！となります。 一方、右辺の分子がｎ！なので、分母が１であれば成立します。 ということは、（ｎ−ｎ）！＝１ つまり、０！＝１が成り立ちます。忘れやすいので覚えておきましょう。 ０！は０じゃなくて１になりますよ。 ついでに、ｒ＝０としてみます。 すると左辺はnＰ0で、右辺はｎ！／（ｎ−０）！＝１となります。 ということはnＰ0＝１というのも成り立ちます。 例えば7Ｐ0＝１です。 ２の０乗が１みたいなノリです。掛け算の世界では基本は１なのです。 順列は取っていけば行くほど次の数が減るものでした。 ５×４×３みたいに減っていくのが常例ですが、 減っていかずに５×５×５となっていく順列もあります。 これを重複順列といいます。 これは、前回の結果に次の結果が関係ない場合や、同時に起こる場合などに使われます。 例えばじゃんけんとかそうです。 ４人でじゃんけんするとなると、 １人につきグー、チョキ、パーの３通りがありますから、 ４人のその出し方が何通りあるかどうかというのは、 ３×３×３×３＝８１通りとなります。 ｎ個からｒ個とる重複順列は、ｎ^r通りとなります。 当たり前といえば当たり前のことです。 また、順列でも端がなくて円の形をしたものの順列の場合、 この個数から１つ減らしたもので考える必要があります。 円形ならば、どこか一つを基点にすれば他を並べ替えればいいだけなので、 １つ減らした階乗で済みます。 このような順列は円順列といいます。 ｎ個のものでの円順列は、（ｎ−１）！通りです。 では実践問題です。 ベイ助君とライ太君とベイ太君とポン太君とレイベ君が手を繋いで輪を作りました。 ライ太君とポン太君とは仲が悪いのですが、 この２人が隣り合う場合の数はいくらでしょう？ ライ太君とポン太君とが隣り合うものだけ考えればいいのです。 ということで、２人をくっつけて１人にしてしまいます。 まずは円順列として考えるので、 ４人いるから３！＝３×２×１＝６通り。 くっつけた２人ですが、その２人の順列も考えなきゃいけませんから、 これは２！＝２通りとなります。 この２つの事柄が同時に起こる必要があるので、 積の法則より、６×２＝１２通りとなります。 次は組み合わせです。 順列と違い、今度は順番は関係ないとします。 「Ａ」「Ｂ」「Ｃ」「Ｄ」から２つ選ぶ順列は 4Ｐ2＝４×３＝１２通りでした。 「Ａ」「Ｂ」 「Ａ」「Ｃ」 「Ａ」「Ｄ」 「Ｂ」「Ａ」 「Ｂ」「Ｃ」 「Ｂ」「Ｄ」 「Ｃ」「Ａ」 「Ｃ」「Ｂ」 「Ｃ」「Ｄ」 「Ｄ」「Ａ」 「Ｄ」「Ｂ」 「Ｄ」「Ｃ」 の１２通りです。しかしこの中で、順番を変えてみれば かぶっているもの、というのはいくつかあります。 例えば「Ａ」「Ｂ」と「Ｂ」「Ａ」というのは順番が違うだけで 同じものではあります。 組み合わせでは、これらは同じものと判断します。 「Ａ」「Ｂ」 「Ａ」「Ｃ」 「Ａ」「Ｄ」 「Ｂ」「Ａ」（「Ａ」「Ｂ」とかぶり） 「Ｂ」「Ｃ」 「Ｂ」「Ｄ」 「Ｃ」「Ａ」（「Ａ」「Ｃ」とかぶり） 「Ｃ」「Ｂ」（「Ｂ」「Ｃ」とかぶり） 「Ｃ」「Ｄ」 「Ｄ」「Ａ」（「Ａ」「Ｄ」とかぶり） 「Ｄ」「Ｂ」（「Ｂ」「Ｄ」とかぶり） 「Ｄ」「Ｃ」（「Ｃ」「Ｄ」とかぶり） 意外とかぶっている数が多いです。 かぶってないものだけ数えれば、６通りしかありません。 ４個から２個とった組み合わせを4Ｃ2と表します。 計算方法ですが、順列でとった数からいくつか減らすことになります。 「Ａ」「Ｂ」と「Ｂ」「Ａ」という２！通りあるのを組み合わせでは考えない。 即ち、組み合わせでは順列で得た数から２！割ればいいということになります。 このような計算方法です。 nＣr＝nＰr／ｒ！となります。覚えておきましょう。 nＰr＝ｎ！／（ｎ−ｒ）！だったので、これを代入してみると nＣr＝ｎ！／ｒ！（ｎ−ｒ）！ というとてもびっくりする式が出てきます。 この式から分かるのは、分母にあるｒとｎ−ｒは入れ替えても 成り立ちそうということです。実は成り立ちます。 7Ｃ2＝（７×６）／（２×１）＝２１ですが、 7Ｃ5＝（７×６×５×４×３）／（５×４×３×２×１）＝２１です。 ５は７−２なので、２と５は入れ替えても同じ数になります。 nＣr＝nＣ(n-r) が成り立ちます。 nＣn＝ｎ！／ｎ！（ｎ−ｎ）！＝１なので、 nＣ0＝nＣn＝１ということが分かります。nＣ0＝１です。 後編に続きます。
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集合と場合の数について書かれている章のようです。 前半と後半じゃ済まなかったので、３つに分けています。 とりあえず集合から行きます。 ある条件を満たすもの全体の集まりのことを集合といいます。 「３の倍数」という条件の集合は、「３，６，９，１２，……」ということになります。 この３とか６とか、集合に属しているもののことを要素といいます。 集合Ａ＝｛３，６，９，……｝とするとき、 ３が集合Ａに属していることを、３∈Ａという記号で表します。不思議な形の記号です。 また、集合は色々な書き方があります。 「３の倍数全体の集合Ａ」を表すには、さっきのように、 Ａ＝｛３，６，９，……｝と、要素を並べるか、 Ａ＝｛ｘ｜ｘは３の倍数｝というように書きます。仕切りの左がある要素で、 その要素の条件が仕切りの右に来ます。 「素数全体の集合Ｂ」の場合は、 Ｂ＝｛２，３，５，７，１１，１３，……｝とか、 Ｂ＝｛ｘ｜ｘは素数｝とか書きます。この場合は後者の方が分かりやすいですね。 集合Ｃ＝｛ｙ｜ｙ^2＝１６｝などというようにあった場合、これの要素は ｙ^2＝１６を満たすｙのことなので、４と−４ということになります。 つまりＣ＝｛−４，４｝。 要素が集合に属することはこれで良いと思いますが、 集合が集合に含まれることもあります。 （要素は集合に属する。集合は集合に含まれる。） 例えば、 集合Ａ＝｛ｘ｜ｘは４の倍数｝ 集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘは１２の倍数｝ とあった場合、１２の倍数というのは４の倍数でもあるので、 集合Ｂは集合Ａに含まれます。これを記号でＢ⊂Ａと表します。 このときのＢを、Ａの部分集合といいます。 ⊂や∈は不等号の記号のように、開いている方が大きい、 というイメージで覚えるといいと思います。 また、集合Ａと集合Ｂの要素が全く同じになっているとき、 Ａ、Ｂは等しいといって、Ａ＝Ｂと表します。 集合は含む含まれるだけではなく、交わることもあります。 集合Ａ＝｛ｘ｜ｘは２の倍数｝ 集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘは３の倍数｝ としたとき、このような図になります。 Ａの条件（２の倍数）もＢの条件（３の倍数）も満たしている場合、 ＡとＢの間の交わった部分に要素が入ることになります。 この場合、６の倍数は２の倍数でも３の倍数でもあるので、 ６の倍数が交わった部分に入ります。 この部分をＡとＢの共通部分といいます。Ａ∩Ｂという記号で表します。 つまり、Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜ｘは６の倍数｝。 そして、ＡかＢか、少なくともどっちか一方に属する要素の集合を和集合といいます。 和集合はＡ∪Ｂという記号で表します。 つまり、Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜ｘは２か３の倍数｝。 Ａ∪ＢはＡ∩Ｂを含むことになりますね。 具体的に表すと、 Ａ＝｛ｘ｜ｘは２の倍数｝＝｛２，４，６，８，１０，１２，……｝ Ｂ＝｛ｘ｜ｘは３の倍数｝＝｛３，６，９，１２，１５，１８，……｝ Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜ｘは６の倍数｝＝｛６，１２，１８，……｝ Ａ∪Ｂ＝｛ｘ｜ｘは２か３の倍数｝＝｛２，３，４，６，８，９，１０，１２，１５，１８，……｝ また、次のような集合も考えられます。 集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ＝ｘ＋１｝ ｘ＝ｘ＋１を満たすｘは存在しないので、Ａの要素は一つもないことになります。 要素がない集合のことを空集合（くうしゅうごう）といいます。 Ａ＝｛｝と表したり、Ａ＝φと表したりします。φは空集合の記号です。 例えば、 集合Ａ＝｛１，３｝ 集合Ｂ＝｛２，４｝ のとき、ＡとＢで共通な要素はないので、Ａ∩Ｂ＝φとなります。 全体集合というものを定めておくこともできます。 これは、考えるすべての集合は全体集合の部分集合である、と考えるときに使います。 全体集合Ｕ＝｛ｘ｜ｘは自然数｝としておけば、 集合Ａ＝｛ｘ｜ｘは２の倍数｝ 集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘは３の倍数｝ のとき、Ｕ⊃Ａだし、Ｕ⊃Ｂですよね。 全体集合Ｕ＝｛ｘ｜ｘは自然数｝ 集合Ａ＝｛ｘ｜ｘは４の倍数｝ のとき、次のような図になります。 Ａ＝｛４，８，１２，１６，……｝となるわけですが、 Ａじゃない部分を指すときは、 Ａの上に横線を引いたものです。これをＡの補集合といいます。 Ｕのうち、Ａを除いたものとなっています。 Ａ∩ 共通する要素などあるわけありません。よって、Ａ∩ Ａ∪ これは全体集合の要素と等しいですね。よって、Ａ∪ また分かると思いますが、 この補集合を使った重要な法則がこちらです。 ド・モルガンの法則といいます。本当に成り立っているかちょっと試してみましょう。 全体集合Ｕ＝｛ｘ｜ｘは１０以下の自然数｝ 集合Ａ＝｛ｘ｜ｘは１０以下の正の２の倍数｝ 集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘは１０以下の正の３の倍数｝ とすると、要素は Ｕ＝｛１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０｝ Ａ＝｛２，４，６，８，１０｝ Ｂ＝｛３，６，９｝ ということになりますね。 Ａ∪Ｂ＝｛２，３，４，６，８，９，１０｝となります（ＡとＢの全種類の要素を取り出したもの）。 これの補集合はＵからこれを除いたものになるので、｛１，５，７｝となります。 一方、 ですから、 なんと、どちらも｛１，５，７｝となっているので、法則が成り立っていることが分かります。 次に集合の個数について考えてみます。 例えば集合Ａの個数は、ｎ（Ａ）という記号で表します。 ｎ（）で覆うと個数になります。 集合Ａ＝｛２，４，６，８，１０｝であれば、 ｎ（Ａ）＝５となります。 また、Ａ＝φなら、ｎ（Ａ）＝０です。けっこう単純です。 さっきの図です。ｎ（Ａ∪Ｂ）を求めてみましょう。 Ａ∪ＢというのはＡの集合とＢの集合を合わせたものと考えられます。 ただし、そのまま両方足してしまうと共通部分が二重になってしまうので、 共通部分を１回だけ引く必要があります。 よって、 ｎ（Ａ∪Ｂ）＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）−ｎ（Ａ∩Ｂ） です。 また、全体集合Ｕを考えているときは、 ｎ（ Ａに属しない要素を集めたのが 全体からＡの要素を引いたものとなります。 これらの式を試してみましょう。 ベイ助君は石拾いをして、石を４２個拾いました。
そのうち３１個は緑色で、２３個は球形でした。 緑色でしかも球形な石は１７個でした。 では、緑色でも球形でもない、普通の石は何個あったでしょう？ Ｕ＝｛ｘ｜ｘは石｝ Ａ＝｛ｘ｜ｘは緑色の石｝ Ｂ＝｛ｘ｜ｘは球形の石｝ とします。問題文から、 ｎ（Ｕ）＝４２、ｎ（Ａ）＝３１、ｎ（Ｂ）＝２３、ｎ（Ａ∩Ｂ）＝１７ ということが分かります。 緑色でも球形でもない普通の石というのは これはド・モルガンの法則より、Ａ∪Ｂの補集合と等しいです。 ということで、まずはＡ∪Ｂの個数を求めます。さっきの式から、 ｎ（Ａ∪Ｂ）＝ｎ（Ａ）＋ｎ（Ｂ）−ｎ（Ａ∩Ｂ） ＝３１＋２３−１７＝３７ これの補集合は、これもさっきの式からｎ（Ｕ）−ｎ（Ａ∪Ｂ）＝４２−３７＝５と求まります。 これが 平凡な石は５個しかなかった。 ということで一旦ここで切ります。 よかったら問題をどうぞ。 問１ □に当てはまるものはなんでしょう？ （１）集合Ａ＝｛ｘ｜ｘは４の倍数｝ 集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘは５の倍数｝ のとき、Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜ｘは□□の倍数｝ （２）全体集合Ｕ＝｛１，３，５，７，９｝のとき、 Ｂ＝｛ｘ｜ｘは１０未満の３の倍数｝ならば、 ｎ（□）＝３ 問２ 次に答えてください。 バナナが１００１本あります。 緑色に変色したものが５５５本、腐ったものが７７７本あります。 変色していて更に腐っている最悪のバナナが３３３本あるとき、 変色もなく腐ってもいないおいしいバナナは何本ありますか？ 答えに Ａ￣とか、Ａバーとか、Ａの補集合とか、そんな感じでＯＫです＾＾ 中編に続きます。
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↑半径が１の円を単位円といいます。 この半径の線は当然長さ１となるわけです。 θは図の角度とします。このとき、円周上の点Ｐの座標をｘ、ｙとします。 すると、 sinθ＝ｙ／１＝ｙ cosθ＝ｘ／１＝ｘ tanθ＝ｙ／ｘ ということになりますね。これを改めて定義として扱います。 こう定義すると、θが鈍角でも成り立ちますね。 つまり、θが大きくなったときでも構わず求められます。 θが90°以上のときは点Ｐのｙ座標が正なので、 sinθは正となります。 一方、ｘ座標は負になっているので、 cosθは90°〜180°だと負になります。 また、θ＝90°のときｘ＝０なので、 tan90°は計算ができなくなってしまいます。 なので、冒頭の三角比の表では×と表しています。 実際、このように定義すると１８０°以上でも求められそうですが、 とりあえずこの章では０°〜１８０°のみ取り扱います。 120°のときの三角比を求めてみましょう。 ということなので、鋭角６０°の直角三角形が左に現れます。 これを利用すると、点Ｐのｘ座標は−１／２、ｙ座標は√３／２となるので、 sin120°＝√３／２ cos120°＝−１／２ tan120°＝（√３／２）／（−１／２）＝−√３ と求められます。 今度はsinθ＝１／２となるθを求めてみます。 ０°≦θ≦１８０°とします。 サインはｙ座標なので、ｙ座標が１／２となる所に注目すると、 １／２の所で横線を引けばいいですね。 そうなるときの角度は３０°と１５０°となります。 なので、θ＝３０°，１５０°と求めます。 また、三角比の関係式は９０°〜１８０°でももちろん成り立ちます。 sinθ＝１／２のとき、cosθとtanθを求めてみましょう。 ９０°≦θ≦１８０°とします。ここだけさっきと違う点です。 sin^2（θ）＋cos^2（θ）＝１ より、 （１／２）^2＋cos^2（θ）＝１ １／４＋cos^2（θ）＝１ cos^2（θ）＝３／４ ９０°≦θ≦１８０°なので、コサインは負です。 cosθ＝−√３／２ となります。更に、 sinθ／cosθ＝tanθ より、 （１／２）／（−√３／２）＝tanθ tanθ＝−１／√３ となります。 θの範囲によって符号は変わりますので、注意しましょう。 ９０°≦θ≦１８０°のときは、 サインは正、コサインとタンジェントは負になります。 単位円での図のイメージができると、三角比がどんどん分かるようになります。 図をみてみると、90°を過ぎるとだんだんｙ座標は減っていきます。 サインはｙ座標のことですから、 sin0°〜sin90°とsin90°〜sin180°は増えるか減るかの違いだけで、とってもよく似ていますね。 一般に次が成り立ちます。 sin（180°−θ）＝sinθ また、ｘ座標は90°を過ぎても下がり続けます。 下がり方も似ていて、一般に次が成り立ちます。 cos（180°−θ）＝−cosθ ということはタンジェントは割り算で求められるので、 tan（180°−θ）＝−tanθ が成り立ちます。これらの式を使えば90°以上でも、45°以下に直すことができます。 cos120°の場合、 cos120°＝cos（180°−60°）なので、 ＝−cos60° −cos60°＝−cos（90°−30°）なので、 ＝−sin30°となります。 すると、sin30°は１／２なので、 cos120°＝−１／２ と求めることもできます。 三角比の表は冒頭にあげたものさえ知っていれば、 他の角度はたいてい出せるというわけです。 正弦定理、余弦定理というものが存在します。 特に余弦定理はよく使うので、覚えておくと便利です。 正弦定理 余弦定理 正弦定理のＲとは外接円の半径です。 ＡＢＣは角、ａｂｃは辺の長さです。 また、余弦定理は言わば三平方の定理の一般化したものです。 直角三角形以外のときでも成り立ちます。 仮に角Ｃ＝90°としてみましょう。直角です。すると、 ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂcos90° cos90°＝０なので、 ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2 となり、三平方の定理と同じになります。 他にも、三角比を利用するとこんなふうに 三角形の面積を出すこともできます。 三角形の公式といえば底辺×高さ÷２のイメージが強いですが、 辺１×辺２×sin（その間の角）÷２でも面積が出せる、というわけです。 その間の角＝90°、すなわち直角ですと、辺２が高さと同じになります。 Ｓ＝１／２×ａｂsin90° sin90°＝１なので、 Ｓ＝ａｂ／２となります。底辺×高さ÷２の式が出てきました。 このように、三角比を使えばいろんな公式の一般化ができるのです。 最後に球の公式について確認しておきます。 三角比とは関係ないですが、なぜか章に含まれていたので…… 体積Ｖ＝４πｒ^3／３ 表面積Ｓ＝４πｒ^2 となります。 問題がいろいろあります。ぜひどうぞ＾＾ 問１ ９０°≦θ≦１８０°でtanθ＝−１のとき、次の値を求めてください （１）cosθ＝？ （２）sinθ＝？ （３）θ＝？ 問２ tan150°を求めます （１）45°以下に直してください （２）tan150°を求めてください 問３ 次の値を求めてください（πはそのままでＯＫです） （１）半径３ｃｍの球の表面積？ （２）半径３ｃｍの球の体積？ （３）一辺の長さ５ｃｍの正三角形の面積？ 問４ 下図について…… （１）長さｘを求めてください （２）外接円の半径はいくらでしょう？ 正三角形の面積を求める問題は、 正三角形の角の大きさが60°であることを利用します。 最後の問題は正弦定理と余弦定理を使いましょう＾＾ ちょっと問題が多くなってしまったような気もします。 すべての問題に答える必要はありません。 問４の答えが悲惨なことになってしまっていたので、長さの値を５→３√２に変更しました。（6／26）
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一つの章が長すぎます……また前編と後編に分けました。 分かれるのデフォルトになりそう…… とりあえず、数学�戯埜紊両呂砲覆辰討い泙后� ここで登場する三角比というのは、後に三角関数としてよく使用することになります。 三角比では覚えることがおおくて大変に思います。 ある程度の公式は覚えなくても導出できることが多いので、 三角比という概念に慣れることが大事でしょう。 直角三角形の合同条件に 「斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しい」というのがありました。 ということは、その２つが分かれば他の長さは必ず一つに決まるのです。 たとえば、鋭角が30°で斜辺が２ｃｍですと、底辺は√３ｃｍになります。 鋭角が30°のとき、底辺の長さは斜辺の長さの√３／２倍と必ず決まっているのです。 この比のことを三角比といいます。 三角形の比は、 ａ／ｃとなるものをsinθと表し、サインとか正弦とかいいます。 ｂ／ｃとなるものをcosθと表し、コサインとか余弦とかいいます。 ａ／ｂとなるものをtanθと表し、タンジェントとか正接とかいいます。 たとえばさっきの例ですと、 θ＝30°のとき底辺の長さ（ｂ）は斜辺の長さ（ｃ）の√３／２倍でした。 つまり、ｂ／ｃ＝√３／２ということです。 ｂ／ｃとはコサインのことなので、これはcos30°と等しいです。 よって、cos30°＝√３／２。 辺の長さがどうであっても、角の大きさが同じなら必ず三角比は同じになります。 よくある三角比の値はこちら。 ０°とか９０°については後で説明します。 とにかく、この比はこう決まっているので、利用することが可能です。 例えば、次の長さを求めたいとします。 底辺は10ｃｍとわかっています。また、鋭角が30°と分かっているので、 残りのｘとｙの長さも求めることができます。 まず、cos30°＝１０／ｘですから、ｘ＝１０／cos30°となります。 cos30°は√３／２なので、ｘ＝１０／（√３／２）＝２０／√３＝２０√３／３ よって、ｘｃｍ＝２０√３／３ｃｍとなります。 また、tan30°＝ｙ／１０ですから、ｙ＝１０tan30°となります。 tan30°は１／√３なので、ｙ＝１０／√３＝１０√３／３ よって、ｙｃｍ＝１０√３／３ｃｍとなります。 ちなみにsin30°はｙ／ｘなので、試しに代入してみます。 （１０√３／３）／（２０√３／３） ＝１０／２０＝１／２ 上の表を確認してみると、確かにsin30°＝１／２となっています。 他の角度の三角比を調べるには、三角比の表がどこかにあるので、 それを利用すると良いでしょう。 それでは三角比について詳しく調べてみることとします。 ａ／ｃ＝sinθ ｂ／ｃ＝cosθ ａ／ｂ＝tanθ となっていました。 試しにsinθ／cosθを計算してみます。 sinθ／cosθ＝（ａ／ｃ）／（ｂ／ｃ）＝ａ／ｂ となります。これはタンジェントと等しいですから、 sinθ／cosθ＝tanθ という関係式が導かれます。これは大事な式です。 また、↑図をみると直角三角形なので、 三平方の定理を使えます。ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2でした。 両辺をｃ^2で割ってみると、 （ａ／ｃ）^2＋（ｂ／ｃ）^2＝１となります。 ａ／ｃ＝sinθで、ｂ／ｃ＝cosθなので、 （sinθ）^2＋（cosθ）^2＝１ となります。（sinθ）^2とかは、sin^2（θ）と普通あらわします。 すなわち、 sin^2（θ）＋cos^2（θ）＝１ となります。これもよく使う、大事な関係式です。 また、更に両辺をcos^2（θ）で割ると、 sin^2（θ）／cos^2（θ）＋１＝１／cos^2（θ） tan^2（θ）＋１＝１／cos^2（θ） という式もでてきます。これもそのうちよくでてきます。 よって、３つの関係式がでてきました。 それでは、これらの関係式を利用してみます。 sinθ＝１／２のとき、cosθとtanθを求めてみましょう。 θは鋭角とします。 ２本目の式を利用してみます。 sin^2（θ）＋cos^2（θ）＝１ より、 （１／２）^2＋cos^2（θ）＝１ １／４＋cos^2（θ）＝１ cos^2（θ）＝３／４ θが鋭角なので、これはもちろん正です。よって、 cosθ＝√３／２ となります。更に、１本目の式を利用すると、 sinθ／cosθ＝tanθ より、 （１／２）／（√３／２）＝tanθ tanθ＝１／√３ となります。 関係式を使うと、１つ分かっていればあと全部出せるのです。 また、三角比の表を見るとなんとなく想像できるとおり、 sinとcosはなんか逆の関係にあるように見えます。 実は、θが鋭角ですと sin（90°−θ）＝cosθ という関係が成り立ちます。同じように、 cos（90°−θ）＝sinθ という関係も成り立ちます。なんとなく、表からイメージできると思います。 タンジェントはないかというと、あります。導出できますよ。 tan（90°−θ） ＝sin（90°−θ）／cos（90°−θ） ＝cosθ／sinθ ＝１／tanθ tan（90°−θ）＝１／tanθ という関係になります。なるべく覚える式は少なくしたいものです。 これらの式は覚えなくても、導出の仕方がわかればすぐ出せるようになれますので、ご安心を。 例えばsin71°のときは、 sin71°＝sin（90°−19°）ですから、 ＝cos19°と改めることができます。 大きな角度でも、45°以下に直すことができるのです。 後編に続きます。
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