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前稿レオポルドの増４度で示したレオポルドの差音聴き取り練習のための重音列の楽譜で一番最後の重音はFis/DでD-durのトニック和音で終わりますが、そのひとつ前の重音G/Cis の差音はAと示されております。前稿では増４度の差音は下の音の短１０度下でしたが、この例は下の音の短７度下です。何か一貫性がありません。 最初にこれを見たとき私はミスプリと思い、１年間見過ごしてきましたが、最近再考しているうちにあるアイデアが浮かんだのです。それは差音は一つでは無く、複数存在するということです。即ち倍音間の差音、差音間の差音、など２次、３次の差音が存在しうるということです。それで、高次の差音を考慮して、増４度音程で短１０度下、短７度下を与える周波数比を探したところ、７：１０という比がそれに当たることを見つけました。 差音を計算します（暗算ですのでご安心を）。 Cis: １０ G:７ １０と７の差音は３ですね。 ７と３の差音は４です。 １０と４の差音は６です。 ６と４、７と６の差音はそれぞれ２と１です。 ７と２の差音は５です。 このようにして１，２，３，４，５，６全ての差音が揃います。これらの音程は同じ数字の倍音と置き換えられるのです。たとえばCisは基音の第１０倍音、Gは基音の第７倍音なのです。 音をあてはめますと、 １０、Cis６ ７、 G5 ６ E５ ５ Cis５ ４ A４ ３ E４ ２ A３ １ A2 ここで７（G5）は４（A4）の自然７度で、通常の純正律のGよりかなり低い音程で7-limit 純正律と呼びます。それ以外は通常の純正律（5-limit 純正律）です。 音程、セント値は 増四度 G5-Cis6 : 10/7 = 617.5 cent 平均律より18セント広いです。 自然7度 A4-G5 : 7/4 = 968.8 cent 平均律より３１セント狭いです。 これらを楽譜に示したのが冒頭の写真です。V7とIを交互に繰り返し弾くと良いです。V7の増四度は下にA４を足して3重音（指は下から１，３，２）、又、Iの短６度は開放弦Dを足して3重音（指は下から０，２，３）にすると差音を認識しやすいと思います。 バッハのシャコンヌ第９６小節、１０２小節、２０５小節、２１６小節に出てくる増４度＋短７度の３重音の例をその下に貼りました。演奏中に差音が聴こえるようになると楽器の響きが良くなります。一度お試し下さい。 尚、減５度の差音も7-limit 純正律で捉えることができます。4:5:6:7がベースになります。バッハは増４度より減５度の方を多く使っていますので、その話は別稿に掲載予定です。 （本記事の写真および内容の一部または全部の無断転載をお断りします）
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弦楽器の音律・物理
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独り言です。主に音律関係の話。
コメント（7）
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バッハの無伴奏ヴァイオリンソナタ・パルティータには増４度や減５度を含む重音が頻繁に出てきます。３度、４度、５度、６度は差音を拠り所に音程を取れば良いのですが、増４度や減５度は、当時どのように音程を取っていたのだろうかというのが長年の疑問です。 タルティーニが１７１４年に最初に差音を発見したと言われており、１７５４年にその理論が発表されているそうです。（原書も訳本も持ち合わせておりません） Trattato di Musica secondo la vera scienza dell'Armonia (Padua, 1754) , Giuseppe Tartini 最近の書籍やnet 上では増４度、減五度に関して、純正律、ピュタゴラス律など、音程（セント値）については色々な値が示されていますが、その根拠や差音についての議論は無く、定説は無いように思います。 ところで、レオポルド・モーツァルトは１７５６年にヴァイオリン教師向けの教科書を残しています。下の写真がそれです。原書はもちろんドイツ語ですがこれは英訳本です。もう５０年以上も前の出版ですので載せて差し支えないかと思いました。その165頁(写真右頁)で彼は重音の正しい音程を取るために差音を聴くように教えています。よく見ると増４度があります。見にくい方は画像をクリックして拡大下さい。 手書きで囲んだ部分の左側は増４度重音Fis/ C、右側は短６度重音G/ Hです。G-durの��7(属７和音)から��(トニック和音)へ解決している部分です。 Fis/ Cの差音はA、G/ Hの差音はGと示されて居り、この差音が聴こえるように音程をとるよう教えたわけです。 ほんとうにそうなのか例のG-tuneで分析してみました。 まずG/Hの重音を私のヴァイオリンで弾いたときのスペクトラムです。(07/05/11訂正) G2 G3 D4 G4 H4 D5 G5 写真の下のアルファベットはスペクトルの山の部分の音名です。数字はオクターブ。 次にFis/C の重音を私のヴァイオリンで弾いたときのスペクトラムです。(07/05/11訂正) D2 D3 A3 D4 Fis4 A4 C5 Fis5 確かにレオポルドが示した差音はありますが、そのほかにも沢山差音のあることが分かります。これを楽譜上に示したのがトップの写真の中の手書き譜です。ふたつの音を同時に鳴らしただけで弦楽４重奏のようにその和音（��7 と�機砲砲圓辰燭蠅虜慌擦�鳴っている事がわかります。 みなさんも一度トライしてみませんか？ほんとうに差音が聴こえるかどうか。やり方の一例を示しましょう。まずG/Hですが純正短６度を取りなれておられる方は簡単に下のGの差音が聴こえるでしょう。E線のG（２指）は開放弦のGに合わせます。A線のH（�技悄砲�音階でとる位置よりも少し低めにします。それで左耳を楽器に近づけると聴こえてくるはずです。その時にD線の共振が感じられたらそれがレオポルドの指定した音程です。 次にFis/ C、これは難しいですよ。今弾いた２の指を同じ高さでA線へ移します。E線のFis（�技悄砲郎�A線で弾いた位置よりかなり高く、２の指の後ろに潜り込ませる位に高くします。指の太い人はちょっと不利かも知れません。AかDの差音がボーっと聴こえてきませんか？楽器によって聴こえ方に差があります。良くなる楽器では良く聴こえると思います。弦が古いと倍音は出にくいので差音も出にくくなります。 トライされた結果のコメントいただければ有り難いです。その間、私は数字で解明していこうと思います。
（本記事と写真の無断転載はお断りいたします。） |
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たとえば第１ポジションA線の３指のDとE線１指のFisの重音を純正 長３度で弾くにはどうすれば良いでしょう。結論から言いますと、Dは平均律より２セント低め、Fisは平均律より１６セント低めにとると純正長３度になります。 純正 長３度は周波数比４：５で音程３８６セントです。３指DはD線開放弦の１オクターブ上ですので−２セント（Aから完全四度４９８セント）、４９８＋３８６＝８８４セントは平均律９００セントから１６セント低くなります。 純正 長３度の差音はどうなるのでしょうか？周波数比４：５（D:Fis）ですから単に引き算すれば差音の周波数が得られます。即ち５−４＝１ですから差音とDは１：４即ち３指Dの２オクターブ下ということになります。そこでこの差音がほんとうに楽器から発せられているかどうかをスペクトルアナライザーで確認して見ましょう。（これを確認し、web上で公開したのは私が最初だと思います・・・もし既出サイト、文献あればご一報下さい。） まず３指DのG-tune写真。 G-tune写真の見方はここを見てください。ピッチはD5で５８９Hz、基準のAは４４２Hzにしましたので５８９÷４４２＝１．３３＝３：４完全四度ですね。セント値は０をさしていますから、純正より少し高めです。（この程度は大勢に影響ありません） 次は１指FisのG-tune写真。 ピッチはF♯5で７３６Hz、セント値の針は大略−１６です。 いよいよ差音のG-tune写真。ピッチはD3 １４８HzでD4の２オクターブ下ですね。５８９÷１４８＝３．９８ほぼ４です。セント値は＋１４セントを指していますがこれは次の理由に拠ります。１４８Hzはスペクトルの赤×印の位置の周波数ですが、波形がD,Fisに較べてかなりブロード（周波数に対して広がりがある）なのでピーク位置の誤差として出てきます。また測定はD,Fis、差音を３つ同時にできませんから、差音測定時に少しでも指がずれると差音の誤差につながります。 ちょっと難しかったですか？でも長３度を重音で弾いたとき、差音が下の音の２オクターブ下で鳴ればそれは純正長３度で音程がとれたということです。マイクで差音が拾えるということは実際に楽器がその音波を発しているということですね。 差音のG-tune写真を良く見ますと基音D、Fisの差音以外にそれら倍音の差音も表示されているのが分かります。f1=736, f2= 589としますと f1-f2=147Hz・・・D3 下の音D5の２オクターブ下 2f1-2f2=294Hz・・・D4 下の音D5の１オクターブ下 2f2-f1=442Hz・・・基準音A 横軸のそのあたりにピークが見えますね。いわゆるハモっている状態です。 奏者はこれらの差音を総合的に聴いて、純正 長3度を判断するわけです。 差音の正体を掴みましたが、参考になりましたか？
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ヴァイオリンからは倍音がかなりの強さで出ていることをスペクトルアナライザーで確認しましたが、前回の差音、実は倍音もからんでくるのです。音が心地よく響きあう（ハモル）ということはどういうことなのでしょうか？私は二つの音の倍音が複雑に絡んでいると思うのです。 AとEの調弦の例、 A：４４０Hz （A線開放弦） E：６６０Hz （E線開放弦）完全5度 比3/2, 702 セント 差音：６６０−４４０＝２２０Hz・・・・１オクターブ下のAの 基音A,E,差音の倍音を並べて見ます（倍音列）。 基音 第２倍音 第３倍音 第４倍音・・・・ A： ４４０ ８８０ １３２０ ・・・・・・・・ E： ６６０ １３２０ １９８０ ・・・・・・・・ 差音： ２２０ ４４０ ６６０ ８８０ １１００ １３２０ ・・・・ この３つ倍音列には共通の数字が沢山出現することがわかります。 実は倍音同士の差音もあるのです。 第２倍音同士を見ますと、 １３２０−８８０＝４４０ 差音が基音Aに一致しております。 第３倍音同士 １９８０−１３２０＝６６０ 差音が基音Eに一致しております。 このように響きあうということは倍音、差音にどれだけ共通の数字が並ぶかということに関連しています。 もし調弦が狂ったら・・・ ハモらなくなります。これを倍音を用いて説明します。A線が１Hz下がったとしましょう（約４セントです）。その時の倍音列は A線： ４３９ ８７８ １３１７ ・・・・ E線： ６６０ １３２０ １９８０ ・・・・ 差音は ６６０−４３９＝２２１ この差音の倍音列は 差音： ２２１ ４４２ ６６３ ８８４ １１０５ １３２６ この３つの倍音列には同じ数字は一度も出現しません（永遠に）。でも近い数字はありますね。例えば４３９と４４２、６６０と６６３などです。差は３Hzです。これは１秒間に３回のうなりが生ずることを示しています。これで調弦が狂ってきたということが認識されます。１３２６と１３１７の差は９ですがこれはうなりというよりビリビリという感じですね。 以上のように調弦のときに合った合わないは、実は差音と倍音で判断しているのです。調弦は耳を傾けて倍音の響きを聴くようするとやり易いですよ。そっと鳴らして響きを聴くだけでも調弦はできるのです。調弦を自然フラジオの響きで確認する方も多いです。 Missing fundamental ・・・失われた基音ちょっと横道にそれます。実際に基音が鳴っていないのに、脳がその倍音列から脳内プロセスとしてその基音が聞こえるように錯覚するというのが音響心理学で言うMissing fundamental現象です。この現象は小型のスピーカーや音響機器の開発に応用されているそうです。本来再生できるはずのない重低音が小さなスピーカーから聞こえてくる訳ですね。（私は当業者ではありません）ふたつの音を聴いたときに、両者の倍音列に存在する共通の周波数を脳内プロセスによって仮想の倍音列として認識します。その仮想倍音列の基音もMissing fundamentalといえます。４４０Hzと６６０Hzの上の例では４４０ ６６０ ８８０ １３２０ が両者の倍音列に存在する共通の周波数ですが（１１００は除く）、脳がこの倍音列の基音２２０Hz（Missing fundamental）を脳内プロセスで錯覚するということです。 ２２０Hzはこの場合、差音に一致しますがMissing fundamentalでもある訳です。差音が脳内現象か、あるいは実際に楽器からその音波を発しているか、は録音してスペクトラム分析をすれば分かる訳ですが、そのような実験レポートは見たことがありません。 上記内容に誤解があればご指摘下さい。ご意見ご質問も歓迎します。
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釈迦に説法、何を今さら、っておっしゃるかた多いと思いますが、たかが調弦されど調弦、初級の方もご来訪いただいてますので。 まず、基準音の音源Aを鳴らします。調子笛（古っ）、音叉、ピアノ、電子チューナーなど。音源とA線を同時に鳴らし、うなり（beat 音のうねり）を聴きます。うねりが無くなるまでアジャスターで調節します。別の表現をしますとピタっと合うと音が吸い込まれるような感覚を覚えます。よしこれで合ったと思ったら電子チューナで確認してみて下さい。慎重にやって±２セント以内に入っていれば合格です。慣れないと意外と難しいですよ。1度や8度の重音の音取りもこの方法が適用されます。 次にAとDの開放弦でDを耳で合わせに行きます。両弦がハモるトコロを探す訳ですね。合ったと思ったら電子チューナーで確認して見てください。電子チューナーは平均律ですから（音律を設定できるのもありますが）Dの−２セントと表示されればぴったりです。ここでも±２セント以内なら合格でしょう。合わせられない方は後述の「差音」を聴く訓練が出来ていないと思います。 D線とG線、A線とE線で同じように合わせます（普通、もう1度この調弦サイクルを繰り返します）。どうですか？調弦はきちっと合っていることがアンサンブルの大前提ですし、音取りの基本でもあります。ソリストは別にして狂った調弦の解放弦の音がアンサンブルで聞こえてくるとついついそちらに目が行ってしまいます。 老婆心ながら、電子チューナーの針を見ながら調弦するのはお勧めできません。音程は目で見るものではなく耳で聴くものです。調弦も耳の訓練のひとつですから。独り言ですので一つのやり方とご理解下さい。 差音についてはネット上あちこちに転がっていますのでそちらを見ていただきたいですが、プロのヴァイオリニストの 説明 が最もピンとくるでしょう。差音(difference tone)はふたつの音を同時に鳴らしたときに聞こえる別の音で結合音(combination tone)とも言います。ふたつの音の周波数の差の音が聞こえることから差音と呼ばれます。例えば完全5度の関係にあるAとEを同時に鳴らしますと１オクターブ下の差音Aが聞かれるのです。 A：４４０Hz （A線開放弦） E：６６０Hz （E線開放弦）完全5度 比3/2, 702 セント 差音：６６０−４４０＝２２０Hz・・・・１オクターブ下のAの音 試して見てください。低い音ですが聞こえますか？左耳を傾けて楽器に出来るだけ近づけると聞こえますよ。弦が古いと倍音が出にくくなるのでダメかも知れません。2−3年替えていないという方がおられたらこの機会にどうぞ。 A線、E線、差音のA、これら３つの音は良く協和し（ハモリ）ます。調弦のときは差音が１オクターブ下に聞こえようになるまでアジャスターを調節するわけですね。 差音を聴くことは音取り（正しい音程で弾くこと）の基本だと思います。訓練ができますと楽器が良く鳴るようになりますし、3度、6度、10度などの重音の音程もとりやすくなります。 次回はスペクトルアナライザーで差音の正体を見たいと思います。
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