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「弓は駒の弧に沿って運ぶ」という表現を複数の先生方から聞いたことがあります。禅問答のようですが一体どういう意味なのでしょうか？私は滑らかに弾くための移弦のコツについて教えているのだと思います。 |
弦楽器の音律・物理
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独り言です。主に音律関係の話。
コメント（2）
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ブリテン(Benjamin Britten, 1913-1976) 作曲のチェロソナタ ハ長調 Op.65のある箇所では通常の短７度より低い自然７度が使われています。 私は以前の 記事 でレオポルド・モーツァルトがヴァイオリン教育の実践で自然７度の重音を使用していたという仮説を立てましたが、それに関して玉●宏樹氏と議論したところ、ブリテンも自然７度をチェロソナタで使っているということを伺いました。 １楽章の最後７小節です。 C線の開放弦に始まり、第２倍音から第８倍音まで自然フラジオで弾くように指定しています。即ち全部Ｃ線上で弾きます。７つ目の音が第７倍音でＣに対する自然７度の関係にあります。 基音C線開放： ２C 第２倍音： ３C 第３倍音： ３G 第４倍音： ４C 第５倍音： ４E 第６倍音： ４G 第７倍音： ４B♭ 第８倍音： ５C 自然フラジオ４C、４E、４G、４B♭の音程比は４：５：６：７になります。自然７度のB♭は平均律より半音の1/3ほど低いです。これが純正律のF-durの属７和音(7-limit)の構成音になります。C線開放弦を弾くとその倍音列のなかでF-durの属７和音が聴こえているということです。 そして最後から１小節前３拍目の和音は、ピアノがC,E,Gそしてチェロが自然７度のB♭ですのでこの響きは基音Ｃの上に並ぶ自然倍音のみで構成された純正律F-durの属７(7-limit)です。古典調律のピアノと合わせると平均律では得がたい澄んだ属７和音となります。ブリテンはその効果を狙って作曲した可能性があります。 そして最後の和音はC-durのトニック和音ですから Ｆ��7 → Ｃ�気箸覆蝓△舛腓辰班垰弋弔紛舛�の終止となっています。どなたか和声学に詳しい方、この終止形に関しご解説頂ければありがたいです。 チェロを弾かれる方一度トライしてみて下さい。最後の方、第７倍音はちょうど指板の切れ目のところ、第８倍音Ｃは指板の無いところを左指で触れることになります。 玉●氏との議論の詳細は 玉●宏樹氏のサイト の掲示板 記事番号3980近辺を参照下さい。
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今回は純正律３和音、４和音です。またはコードchordと言います。純正律でコードの音程をとると楽器が良く響きます。 純正律３和音がなぜハモルのかは基本的、根源的なことで長３和音については大抵の和声学の本の最初に書かれていることなのですが、平均律の蔓延でつい忘れられ勝ちなことです。 長３和音長３和音は周波数比４：５：６です。ご承知のように基音１の自然倍音列から第４、第５、第６倍音を抜き出したものです。開放弦Aを弾くと２オクターヴ上にA,Cis,Eのイ長調トニック和音が鳴り響いていることになりますが、お気づきでしょうか？長３和音の倍音列を書き出します。 ４： ８、１２、１６、２０、２４、２８、３２、３６、・・・ ５：１０、１５、２０、２５、３０、３５、・・・ ６：１２、１８、２４、３０、３６、・・・ 上記のように多くの共通倍音が存在します。これが純正調長３和音が美しく響く理由なのです。 短３和音短３和音は長３和音の逆数の比で１/６:１/５:１/４とあらわせます。通分しますと１０：１２：１５１０：２０、３０、４０、５０、６０、７０、８０、９０・・・ １２：２４、３６、４８、６０、７２、８４、・・・ １５：３０、４５、６０、７５、９０、・・・ 長短３和音の共通倍音を見ますと、長３和音の方が共通倍音が多いことに気がつくと思います。第１音と第５音は両者とも完全５度で協和度は変わりませんが、第３音に違いがあります。長３和音では第３音は第４、第６、第８・・・倍音と偶数倍音が第１音と第５音の倍音に交互に混ざります。それに対し短３和音では第３音は第５、第１０、第１５・・・倍音と回数が少なくなります。このことが長３和音 と短３和音の性格の差を説明しています。 属７和音属７の和音ソ・シ・レ・ファの比を調べてみます。ソ・シ・レは長３和音ですが、レ・ファの短３度が小全音＋半音の不純な３度です。５：６ではなく２７：３２なのです（ 純正律（２） を参照）即ち ソ・シ・レ ・ファ ４：５：６ ２７：３２ または ３６：４５：５４：６４ です。 無理やり割り算をしますと、 ソ・シ・レ ・ファ ４：５：６：7.11111 ということになります。これは水に油を注ぐようなもので混ざりません。 単純に木に竹を接ぐように純正短３度を加えますと ソ・シ・レ・ファ ４：５：６ ５：６ または ２０：２５：３０：３６ または ４：５：６：7.2 ということで混ざりません。 倍音列を調べます ２０：４０、６０，８０、１００、１２０、１４０、１６０、１８０、・・・ ２５：５０、７５、１００、１２５、１５０、１７５、２００、・・・ ３０：６０、９０、１２０、１５０、１８０、２１０、２４０ ３６：７２、１０８、１４４、１８０、２１６、２５２、２８８、３２４，３６０・・・ 第７音周波数３６の音の協和度が低いことがわかります。 長短３和音が自然倍音列上の組み合わせであるのに対し、属７和音は音楽的に長短３和音を組み合わせた言わば人為的な和音なのです。音楽上は次に続くトニック和音の前に置き、緊張度の高い鋭い和音としての役割を持ちます。 7limit純正律 属７和音上記より柔らかく響きの良い属７和音があります。それはソ・シ・レ・ファ ４：５：６：７ です。これも純正律の１種ですが素数７を含むため 7-limiの純正律と呼ばれます。 開放弦Aを弾くと２オクターヴ上にA,Cis,E,Gの二長調属７和音が鳴り響いていることになります。 へマン著 「弦楽器のイントネーション」 １４ページ（下図に引用）脚注からの孫引きですが、グスタフ・ギュルデンシュタイン著「調性理論」という本に次の記述があるそうです。 「（もちろん低すぎる）７度が上音の３和音の響きを、主和音への解決を求める属７の和音へとかえてしまいます。つまり、ただ一つの音の中に古典派の主要な終止形�后櫚気遼┣蠅�既にあるのです。」 S.Gustav Guldenstein(1888-1972), "Theorie der Tonart" Klett, Stuttgart., Schwabe, Basel, 1983 文学的邦訳で難解ですが、理系の私が補足すると、この一文は自然７度を使った属７和音を示唆しているのです。低すぎる７度とは第７倍音の自然７度のことです。この音が長３和音（４：５：６）の上に加わることによって、属７の和音（４：５：６：７）ができる。「ただ一つの音」例えば開放弦Aを弾くと、その自然倍音の中に古典音楽理論のカデンツ�后複粥В機В供В掘泡��機複粥В機В供砲�既に芽生えているいうことなのです。つまり7-limit属７和音は人為的でない、音楽的な ゼロビート の和音であることを言いたかったのでしょう。 （下記画像を見にくい場合は画像をクリックして拡大して下さい。） 図の真ん中の譜面で基音Cの２オクターヴ上のトニック和音C,E,Gが第４、５、６倍音であること、それに括弧の中に入った第７倍音（低すぎる７度の）B♭を加えるとC,E,G,B♭のF-durの属７和音が構成されることを示唆しています。 倍音列を見ますと、 ４： ８、１２、１６、２０、２４、２８、３２、３６、・・・ ５：１０、１５、２０、２５、３０、３５、・・・ ６：１２、１８、２４、３０、３６、４０、４２・・・ ７：１４、２１、２８、３５、４２、４９、５６、 周波数７の倍音が長３和音に良く溶け込む様子が分かり、２０：２５：３０：３６の属７和音より協和度が高いことがわかります。さらに原理的に差音の全てが周波数１の上の自然倍音に重なりますので、協和度を更に補強することとなります。 純正律と平均律の和音の響きの比較はThe Justintonation Networkの サイト で聞くことができます。「百聞は一聴に如かず」です。是非聞いてみて下さい。 MP3は こちら です。長３和音、短３和音、属７和音などをそれぞれ純正律と平均律で順番に比較して聞くことができます。それに対応するの楽譜（PDF）は こちら です。図中JUSTは純正律、TEMPEREDは平均律を意味します。 長３和音は Major Triad 短３和音は Minor Triad 属７和音は Dominant-seventh を聴いてください。 分散和音で聞くと気がつきませんが、平均律の和音が如何に濁っているか、純正律の和音が如何に澄んでいるかがお分かりになると思います。
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今回は、減５度、増４度です。7-limit純正律を導入します。 通常の純正律(5-limit)の減５度は濁った和音ですので、7-lmit純正律の減５度を紹介します。7-limitの属７和音４：５：６：７の５：７の部分が減５度です。倍音列を書き出します。 ７：１４、２１、２８、３５・・・ ５：１０、１５、２０、２５、３０、３５・・・ ５と７の最小公倍数３５およびその整数倍の周波数に共通倍音が出現します。 又、差音は ７：１４、２１、２８、３５・・・ ５：１０、１５、２０、２５・・・ ―――――――――――――――――――――――― ２： ４、 ６、 ８、１０・・・ 倍音間の差音（１５−１４）に周波数１がありますので、差音は下の音の長３度下の２オクターブ下です。 尚、基音と倍音列のなかに４，５，６，７が出現しますので、減５度重音の響きは４：５：６：７の属７和音の響きの中に含まれることになります。通常の純正律(5-limit)ではそのような響きは得られません。 通常の純正律(5-limit)の増４度も濁った和音ですので、7-lmit純正律の増４度は7-limitの属７和音４：５：６：７の転回４：６：７：１０の７：１０の部分です。 倍音列は １０：２０、３０、４０、５０、６０、７０、・・・ ７：１４、２１、２８、３５・・・７０・・・ 最小公倍数７０およびその整数倍の周波数に共通倍音が出現します。又、差音は １０：２０、３０、４０、５０、６０、 ７：１４、２１、２８、３５・・・ ―――――――――――――――――――――――― ３： ６、 ９、１２、１５・・・ 倍音間の差音に周波数１がありますので、差音は上の音の長３度下の音の３オクターブ下です。または下の音の自然７度下の２オクターブ下です。楽器やポジションによっては差音３が共鳴して響くこともあります。その場合は下の音の短３度（６：７の狭い３度）下が聞えます。詳細は下図参照下さい。 レオポルド・モーツァルトが ヴァイオリン教本 の中でG-Cisの増４度の差音をAと指定しておりますが、上記の理論により、これは7-lmit純正律の増４度というのが私の仮説です。私はこれを「レオポルドの増４度」と名づけ、 過去の記事 にて紹介しました。バッハの無伴奏ソナタ・パルティータには増４度・減５度は頻出しますが、7-lmit純正律を適用すると緊張感を維持した 「ゼロビート」 の豊かな響きが得られます。 ヴァイオリンに適用できる純正律について８回に亘って書きました。協和音がゼロビートを意味するのであれば、平均律の和音は全て不協和音なのです。和声学上で不協和音に分類されている２度も純正律では協和度が低いというだけの意味しかりません。また、７度や増４度、減５度も7-limit純正律を適用すれば、ゼロビートでの演奏が可能なのです。 このような純正律の実践は鋭敏な耳とかなりの経験と技術を要します。私の師は I.Galamian などの薫陶を受けた方で、その音感の鋭さは指導者も一目置いていたようです。師の単音スケールは正確無比のピュタゴラス（時には平均律に近いかもしれません）で、重音も美しく響かせます。重音スケールの練習の仕方は指は上下押さえたままで弓は上だけ、または下だけ弾いて練習し最後に両方重音で弾くように指導されます。そしては重音は差音を聴いて微調整するそうです。 重音に関して、耳で聴いて合わせる微調整が間に合わない、速いパッセージでは両方ピュタゴラスで取るようです。ロングトーンでは差音を聴きますが、あくまで上下別々に音を確認することが大事です。差音だけで合わせようとすると両方とも高い（または低い）場合がありますし、音程は広がりを持っているため多少ずれても差音が聴こえることがあるからです。 （本記事の写真および内容の一部または全部の無断転載をお断りします）
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今回は７度、１０度。 長、短７度長７度は短２度の転回で周波数比１５：８です。短７度は長２度の転回で周波数比が９：５（小全音の転回）と１６：９（大全音の転回）の２種あります。いずれも長、短２度と同じく協和性は薄く鋭い和音になります。差音は存在しますが基音との音楽的音度関係が薄く、また経過音的扱いの場合は縦よりも横の前後関係を重視し、成り行きや予備的に音程をとる場合が多いと思います。参考までに差音を示しておきます。 長７度の差音は １５：３０、４５、６０、・・・ ８：１６、２４、３２・・ ―――――――――――――――――――――― ７：１４、２１、２８、・・・・ 差音は７で基音との間に音楽的に有意な音度関係にはありません。また倍音の差音に１があるため下の音の３オクターブ下が差音として認識される場合もあります。 短７度（小全音）の差音は ９：１８、２７、３６、・・・ ５：１０、１５、２０・・ ―――――――――――――――――――――― ４： ４、 ８、１６、・・・・ 差音４は下の音の長３度下ですが、倍音の差音に１があるためその２オクターブ下が差音として認識されます。 短７度（大全音）の差音は １６：３２、４８、６４、・・・ ９：１８、２７、３６、・・・ ―――――――――――――――――――――― ７：１４、２１、２８、・・・・ 差音７はですが、基音との間に音楽的に有意な音度関係にはありません。倍音の差音に２があるため上の音の３オクターブ下が差音として認識されることもあります。 自然７度ロングトーンの短７度重音は自然７度、即ち周波数比が７：４の関係に取ると響きが良くなります。基音とその第７倍音との関係が自然７度となります。例えばＡ線開放弦の第７倍音はＧよりも半音の1/3程低い音です。Ａ開放弦の２オクターブ上とこの低いＧが作る音度が自然７度です。倍音列を書き出して見ます。 ７：１４、２１、２８、３５、４２、４９、５６・・・ ４： ８、１２、１６、２０、２４、２８、・・・５６、・・・ 上の音の４、８，１２，・・・次倍音と下の音の７，１４、・・・倍音が重なります。 差音・結合音 上の音の倍音から下の音の倍音を引くと、新しい倍音列が出来ます。 ７：１４、２１、２８、３５、４２、・・・ ４： ８、１２、１６、２０、２４、・・・ ―――――――――――――――――――――――― ３： ６、 ９、１２、１５、１８、・・・ 下の音の完全４度下が差音ですが、上の基音と下の第２倍音の差１ですので下の音の２オクターブ下が差音として認識されます。 このように自然７度は他の短７度に比べ比較的協和性の高い響きになります。自然７度は英語では Harmonic 7th ですのでこちらの方が和音の性格を良く表しています。素数７が出てきますので7-limit純正律の範疇です。別途、減５度・増４度の項で説明しますが、属７の和音の中で自然７度を使うと柔らかな和音を得る事ができます。 長１０度短３度４：５の上の音がオクターブ上がった形で４：１０即ち２：５です。５：１０、１５、２０、２５、・・・ ２： ４、 ６、 ８、１０、・・・２０'''、・・・ 上の音の第２，４，６倍音と下の音の第５，１０、・・倍音が重なります。 基音同士の差音は３ですが、倍音との差音に１があるため下の音の１オクターブ下の音が差音のピッチとして認識されます。 短１０度長３度３：４の上の音がオクターブ上がった形３：８です。８：１６、２４、３２、４０、４８、・・・ ３： ６、 ９、１２、１５、１８、２１、２４、・・・ 上の音の第３，６，倍音と下の音の第８，１６、・・倍音が重なります。 基音同士の差音は５ですが、倍音との差音に１があるため下の音の５度下の１オクターブ下の音が差音のピッチとして認識されます。 増４度、減５度については次回の予定です。
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