弦楽器の音律・物理
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独り言です。主に音律関係の話。
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前回 は１，４，５，８度の純正和音でしたが、今回は少し複雑な３、６度の純正和音です。 長３度周波数比が４：５の関係です。倍音列を書き出して見ます。５：１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０・・・ ４：８，１２，１６，２０，２４，２８，３２、３６、４０ 上の音の４，８，１２・・・次倍音と下の音の５，１０、１５・・・倍音が重なります。 差音・結合音 上の音の倍音から下の音の倍音を引くと、新しい倍音列が出来ます。 ５：１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０、４５ ４： ８，１２，１６，２０，２４，２８，３２、３６ ―――――――――――――――――――――――― １： ２，３、 ４、 ５、 ６、 ７、 ８、 ９・・・ 差音は周波数１の音で下の音の２オクターブ下の音が聞こえます。 短３度周波数比が５：６の関係です。倍音列を書き出して見ます。６：１２、１８、２４、３０、３６、４２、４８、５４、６０・・・ ５：１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０、４５、５０、５５、６０・・・ 上の音の５，１０，１５・・・次倍音と下の音の６，１２、１８・・・倍音が重なります。 差音・結合音 上の音の倍音から下の音の倍音を引くと、新しい倍音列が出来ます。 ６：１２、１８、２４、３０、３６、４２、４８、５４、 ５：１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０、４５ ―――――――――――――――――――――――― １： ２，３、 ４、 ５、 ６、 ７、 ８、 ９・・・ 差音は周波数１の音で下の音の２オクターブ下の長３度下音が聞こえます。弾いた音と合わせると４：５：６の長３和音を構成します。 上の音の３，６，９・・・次倍音と下の音の５，１０、１５・・・倍音が重なります。 差音・結合音 上の音の倍音から下の音の倍音を引くと、新しい倍音列が出来ます。 ５：１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０、４５ ３： ６、 ９、１２、１５、１８、２１、２４、２７、３０ ―――――――――――――――――――――――― ２： ４、 ６、 ８、１０、１２、１４、１６、１８・・・ 基音同士の差音は周波数２の音で下の音の完全５度下の音となりますが、実際にはその１オクターブ下の音が聞こえます。上の差音の倍音列は同一次数の倍音の差を並べたもので、実際には異なる次数の倍音の差音も存在します。たとえば、 上の音の基音５と下の音の第２倍音６の差音は１です。また、 上の音の第２倍音１０と下の音の第３倍音９の差音も１です。 従って差音列の基音は周波数１、すなわち下の音の１オクターブ下の完全５度下の音ということになります。 上の音の５，１０，１５・・・次倍音と下の音の８，１６、２４・・・倍音が重なります。 差音・結合音 上の音の倍音から下の音の倍音を引くと、新しい倍音列が出来ます。 ８：１６、２４、３２、４０、４８、５６、６４、７２・・・ ５：１０、１５、２０、２５、３０、３５、４０、４５ ―――――――――――――――――――――――― ３： ６、 ９、１２、１５、１８、２１、２４、２７・・・ 基音同士の差音は周波数３の音で下の音の長６度下の音となりますが、実際には上の音の第２倍音１６と下の音の第３倍音１５の差音１が存在しますので、この音が差音の基音になり、上の音の３オクターブ下の音が差音として認識されます。物理の理論書は倍音を含まないサイン波を前提にする場合が多いので差音は長６度下と書いている場合があります。しかし楽音では必ず倍音を含むので倍音の差音を考慮する必要があります。ヴァイオリンの実践書（たとえばクリスティーヌ・ヘマン著 「弦楽器のイントネーション」 ）では長６度下の音ではなく、上の音の３オクターブ下の音と解説されているのはこのためです。 楽器によって各倍音成分の強度が異なりますし、特有の共鳴もありますので差音は基音よりもその倍音の音程を認識することもあります。上記短６度の場合、たとえばA線１指HとE線２指Gですと、差音の基音はE線２指の３オクターブ下のG（開放弦Gの１オクターブ下）なのですが、倍音列に含まれる開放弦Gや開放弦Dが楽器の共鳴によって聴こえることもあります。倍音列をスペクトルアナライザで可視化しておりますので こちら を参照下さい。 ３度、６度重音の取り方はケース・バイ・ケースでしょう。私の師は重音は差音を聴くように指導しますが、スケールの練習はまず上・下別々に音程をとり、その後微調整するように言われます。上下別々にと言う意味はピュタゴラス律で取ること意味し（多くの巨匠も上下別々に練習するように指導しています）、微調整するということは純正律の響きを持たせることを意味します。従って速いパッセージはピュタゴラス律で重音が旋律的に捉えられ、長い音やゆっくりした響き重視のパーセージでは純正律に微調整すると私は理解しています。
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ヴァイオリンで純正律の音階又は旋律を弾くことは困難であり、またピュタゴラス律や平均律の旋律に慣れた現代人の耳で聞くと純正律の音階は違和感があるということを 前回 までに説明しました。これは純正律には全音が２種類ある事と、ピュタゴラス律や平均律に比べて半音が広いという事に由来します。今回は純正和音のとり方について説明します。 純正和音とはハモル和音の事です。ハモルということは和音を構成する各音の自然倍音が混ざり合う、共通の自然倍音が多く存在する事と関係しています。 １度隣り合う弦で同じ音を出します。２つの音が完全に溶け合うポイントがあり、これをゼロビートと呼びましょう。少しでもずれますと唸り（ワーンワーンという音）やビート（ビリビリという音）が出ますので分かります。オクターブ ８度周波数比が１：２の関係です。便宜上、下の音の周波数を１（１００Hzでも良い）、上の音の周波数を２（２００Hzでもよい）とします。これらを基音と呼びます。楽器の音は基音の上に自然倍音を多く含み、倍音の構成やその強度が楽音の音色に関係します。自然倍音は基音に対して２倍、３倍、４倍、５倍・・・・・と整数倍で無限に続きます。周波数１と２の自然倍音の周波数を並べて見ます。周波数２の自然倍音：４，６，８，１０・・・ 周波数１の自然倍音：２，３，４，５，６，７，８，９，１０、・・・ 上の音の自然倍音が下の音の偶数次倍音に全て重なります。太字で示しています。ピッタリ合うと上の音が下の音に溶け込みます。ビートや唸りが無くなるまで根気良く合わせる必要があります。 完全５度周波数比が２：３の関係です。倍音列を書き出して見ます。３：６，９，１２，１５，１８，２１，２４，２７、・・・ ２：４，６，８，１０，１２，１４，１６，１８、・・・・ 上の音の偶数次倍音が下の音の倍音に３個おきに重なります。 差音・結合音 上の音の倍音から下の音の倍音を引くと、新しい倍音列が出来ます。これを差音列と呼びます。 ３：６，９，１２，１５，１８，２１，２４，２７・・・ ２：４，６， ８，１０，１２，１４，１６、１８・・・ ―――――――――――――――――――――――― １：２，３、 ４、 ５、 ６、 ７、 ８、 ９・・・ 周波数１の音は周波数２の音のオクターブ下の音です。これが差音・結合音と呼ばれる音で、弾いた音に加わって聞こえて来ます。差音は 調弦の項 でも説明しております。 完全４度周波数比が３：４の関係です。倍音列を書き出して見ます。４：８，１２，１６，２０，２４、２８、３２、３６、・・・・ ３：６，９，１２，１５，１８，２１，２４，２７、３０、３３、３６、・・・ 上の音の３，６，９、・・・次倍音と下の音の４，８，１２・・・倍音が重なります。 差音・結合音 上の音の倍音から下の音の倍音を引くと、新しい倍音列が出来ます。 ４：８，１２，１６，２０，２４，２８，３２、３６ ３：６， ９，１２，１５，１８，２１，２４，２７・・・ ―――――――――――――――――――――――― １：２， ３、 ４、 ５、 ６、 ７、 ８、 ９・・・ 差音は周波数１の音で上の音の２オクターブ下、または下の音のオクターブ下の５度下の音が聞こえます。 上に述べた１度、８度、５度、４度は純正音程の基本になるもので、純正律でもピュタゴラス律でも同じ音程であり、曲の中で頻繁に出てきますし、少しでもずれるとうなりやビートが聴こえますので素人でも分かります。うなりやビートが無くなり（いわゆるゼロビート）しかも正しい差音が聴こえて初めて純正和音の音程が取れたということになります。重音といえば３，６，１０度のスケールをさらう訳ですが、こちらも差音を用いて微調整しますので、まずは５度、４度で差音を聞き取れるよう耳の訓練をします。 ハモルということは２つの音の倍音列に共通の倍音が多ければ多いほど調和度は良いと考えられます。共通の倍音は２つの音の周波数比の分母・分子の最小公倍数の倍数となりますので、分母・分子（素数）が大きくなると可聴域での重なりが少なくなるため調和度は下がると考えられます。 平均律に調律されたピアノではオクターブを除くどの２つの音をとっても倍音列に共通の倍音が全く出現しませんので調和度はゼロといえます。また人間の聴覚上、高い音は可聴域内の倍音成分が少ないので低めに聴こえ、低い音は逆に高めに聴こえる特性があるとして、オクターブを広めに調律するようですので、オクターブでもうなりが聞こえる場合があります。 次回はやや複雑な純正３度、６度の予定です。
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今回は数字を使います。 just intonation 純正律に対応する英語はjust intonationです。 Wikipedia によりますと、just intonation は「音階中の２つの音の周波数比における分母・分子の因数が比較的小さな素数のみで構成される音律。又は全ての音が倍音列に基づく音律。」と定義されています。素数とは1,2,3,5,7,11,13,17...等、それ以上因数分解できない整数のことです。 5-limit と3-limit 日本語の「純正律」は厳密には 5-limit just intonation です。5-limitというのは素数５まで、即ち周波数比の因数には素数1,2,3,5しか含まれません。例えば純正律の完全５度の周波数比は3/2、長３度は5/4、短３度は6/5、長２度は10/9, 9/8等です。一方「ピュタゴラス律」は 3-limit just intonation なのです。周波数比の素数は1,2,3のみです。例えば、完全５度の周波数比は3/2、長３度は81/64、短３度は32/27、長２度は9/8等です。即ち「ピュタゴラス（ピタゴラス）律」も広義「純正律」の一種です。 協和音とは 美しくハモル和音は協和音と呼ばれます。例えば完全５度や純正長３度などです。協和音はその周波数比の分母・分子が比較的小さな整数で構成されています。例えば3/2,5/4など。「純正律」の音階でできる和音には協和音が多いのでその音楽は美しくハモリます。一方不協和音は分母分子の整数が大きくなります。例えば属７和音（ソシレファ）の中の減５度（シ・ファ）は64/45で因数は2x2x2x2x2x2/3x3x5で2,3のみですが分母子が大きく、綺麗にはハモラず緊張感のある和音になります。また、ピュタゴラス律における長３度(81/64)などもハモラず、鋭い響きの３度となります。 ハモリの正体 協和音がなぜハモルのか、その正体は倍音構造にあります。 楽音は必ず自然倍音を伴います。自然倍音とは弾いた音の周波数の整数倍の音のことで、2倍,3倍,4倍,5倍,6倍と続き自然倍音列を構成します。自然倍音の構造と強度が楽音の音色を決めます。 完全５度例えばE(660Hz)とA(440Hz)の比は3:2ですが、その自然倍音列を比較しますと（簡単化のため比だけ示します） 3: 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,... 2: 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20... ２つの倍音列のなかに共通の周波数の倍音が出現します。これがハモリの正体なのです。 一方、減５度（シ・ファ）64/45を見てみますと、 64: 64,128,192,256,320,384, 448, 512, 576, 640...2880 45: 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315, 360, 405, ...2880 はるか上のほう、４５倍音と６４倍音で初めて共通の周波数が出現しますがこれは可聴周波数の上限を遥かに超えています。即ち、聞こえる範囲では共通の倍音が無い、美しくハモらない訳です。基音の数字が大きいとハモらないのはこの理由によります。 ピュタゴラス律と純正律の音程の比較 ここでピュタゴラス律と純正律の音程の比較をしてみたいと思います。次の４つの略号を用いますがこれらでピュタゴラス律と純正律の全ての音程が説明できます。 大全音 T 9/8 小全音 t 10/9 半音（純正律）S 16/15 半音（ピュタゴラス律）s 256/243 ( )内は周波数比 ピュタゴラス律 純正律(5-limit) オクターブ TxTxTxTxTxsxs(2) TxTxTxtxtxSxS(2) 長７度 TxTxTxTxTxs(243/128) TxTxTxtxtxS(15/8) 短７度 TxTxTxTxsxs(16/9) TxTxtxtxSxS, TxTxTxtxSxS(16/9,9/5) 長６度 TxTxTxTxs(27/16) TxTxtxtxS, TxTxTxtxS(5/3,27/16) 短６度 TxTxTxsxs(128/81) TxTxtxSxS(8/5) 完全５度 TxTxTxs(3/2) TxTxtxS, TxtxtxS(3/2,40/27) 減５度 TxTxsxs(1024/729) TxtxSxS(64/45) 増４度 TxTxT(729/512) TxTxt(45/32) 完全４度 TxTxs(4/3) TxtxS, TxTxS(4/3,27/20) 長３度 TXT(81/64) Txt(5/4) 短３度 Txs(32/27) TxS,txS(6/5,32/27) 長２度 T(9/8) T,t(9/8,10/9) 短２度 s(256/243) S(16/15) 純正律は万能では無い純正律を用いると全ての音がハモると思われがちですが、そうではありません。上で見たように純正律にもハモらない「協和音」が出てくるのです。狭い短３度32/27、広い４度27/20、狭い５度40/27、広い長６度27/16等です。ピュタゴラス律には同じ狭い短３度32/27、広い長６度27/16が出現し、長３度81/64も不純ですが、４度と５度は全部純正なのです。（属７和音の増・減音程は除く）また、純正律音階に大全音と小全音を含みドーソ、ソーレの音階構造が相似形でないために転調によって同じ音でも複数の音高が必要になります。 ではどうしてこれらを避けるのか。鍵盤楽器では古典調律、一つの音高に複数の鍵盤を持たせる（分割鍵盤など）、電子音楽でのピッチ・ベンドなどがあります。弦楽器では純正律の耳を持つ奏者であれば純正律での演奏は可能でしょうが、解放弦は固定されているので全部の調が弾け全ての転調が可能なわけではないと思います。 純正「律」と純正「和音」の違いヴァイオリンの純正「律」による演奏は出来なくても純正「和音」による演奏は少しの訓練で可能になると思います。純正「和音」による演奏というのは旋律をピュタゴラス律で弾き、和声付けを純正な和音でとるという意味です。和音で重音は純正和音、分散和音はピュタゴラス律でという選択も可能です。アンサンブルで主旋律の1st ヴァイオリンと対旋律のチェロはピュタゴラス律で歌い、2ndヴァイオリンとヴィオラは純正和音で和声付けという具合です。純正和音による演奏は差音・結合音を聴く訓練によって可能になります。（差音・結合音は ここ でも述べましたが別途詳述予定）クリスティーヌ・ヘマン著 「弦楽器のイントネーション」 ４９ページには次のように記されています。「ブカレストとプラハの音楽院出身の音楽家達は次のことをはっきり認めています。つまり、両音楽院では結合音を学びますが、音楽院ばかりでなく、これらの地方では一般民衆や素人音楽家の間でも純正度に対する感覚の鋭さが私達の地方とは全く異なるということを認めています」このことがチェコの弦楽アンサンブルの透明な響きの根源なのかも知れません。 |
