バナッハ・タルスキの定理を解釈

「集合の集まりがある。それぞれの集合から一つの要素を選択して新しい集合を作ることができる」という選択公理がある。

しかし、選択公理を公理として認めることで常識に反する定理が導かれる。その例がバナッハ・タルスキの定理だ。バナッハ・タルスキの定理はバナッハ・タルスキのパラドックスとも呼ばれる。バナッハ・タルスキの定理によると次のような不可思議な結論が導かれる。（　井出　薫　）

★球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができる。（ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない）

この定理は選択公理という公理を用いると証明出来るが、その内容が直観に反するため、パラドックスと言われる。

＊さらに、この定理から次のより強い形の系を導くことが出来る。

3次元ユークリッド空間の有界な部分集合で、内包が空でないもの(つまり、有限の拡がりを持ち、曲線や曲面ではないもの)を任意に二つ選んだとすると、それらは分割合同である。

言い換えると、ビー玉を有限個に分割して組み替えることで月を作ったり、電話を組み替えて睡蓮を作ったり出来る（当然のごとく材質は変えられない）、ということである。 この定理の証明で、点集合は選択公理を使ってつくられる選択集合で構成されており、各断片はルベーグ可測ではない。即ち、各断片は明確な境界や通常の意味での体積を持たない。物理的な分割では可測な集合しか作れないので、現実にはこのような分割は不可能である。 しかしながら、それらの幾何学的な形状に対してはこのような変換が可能なのである。（WIKI）★

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このバナッハ・タルスキの定理の成立を考察する。

まず、「集合の集まりがある。それぞれの集合から一つの要素を選択して新しい集合を作ることができる」という選択公理を次のように解釈する。

「集合と集合の間の変換可能性」及び「集合の集まりから、別の階層性（次元）を持つ集合への変換可能性」及び「ある階層（次元）と別の階層（次元）との変換可能性」



そして、バナッハ・タルスキの定理における＜分割・組み換え＞を次のように解釈する。

「バナッハ・タルスキの定理における＜分割・組み換え＞を異なる次元の間の＜変換操作＞と考える。」

なぜなら、「球を3次元空間内で、有限個の部分に分割して、ルベーグ可測でない（明確な境界や通常の意味での体積を持たない）各断片を作り、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えること」は、球という＜物質＞を＜純粋幾何学（純粋数式）＞に還元（変換）した場合のみに可能であり、「球という＜物質＞を＜純粋幾何学（純粋数式）＞に還元（変換）すること」は、即ち、物質の次元（3次元）から、純粋数式の次元（４次元）への変換と等価なのである。

＊要するに、球（物質）を3次元空間内で、純粋数式に還元（変換）して分割・組み換えすること、には必然的に次元間の変換が伴うのである。（＝実際には３次元物質世界内のみで分割・組み換えすることは不可能）


そして、次元間の変換（３次元・物質から４次元・数式への変換）を肯定すると、次のような不思議な現象が可能になる。（クリフォード・ピックオーバー参照）

＊４次元の世界では、テニスボールの中に入っているゴルフボールを、テニスボールを切り裂くことなく、取り出すことが出来る。（ゴルフボールが４番目の次元を通過することによって）

＊４次元の世界では、外と内の区別がないボールができる。（クラインの壺）

＊３次元世界の蟻を4次元世界に運び、再び3次元世界に連れ戻すと、ゾウと同じ大きさになることが出来る。

＊３次元世界の右手グローブを4次元世界に運び、再び3次元世界に戻すと、左手グローブになる場合がある。

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つまり、選択公理を公理として認めると（次元間の変換＝物質から数式への変換を認めると）、バナッハ・タルスキの定理における分割・組み換え（次元間の変換操作）が可能になり、バナッハ・タルスキのパラドクスが成立する。

しかし、現実には、物質を純粋数式に還元（変換）して分割・組み換えし、再び物質に戻すこと、は不可能なのである、人間には。

だから、バナッハ・タルスキのパラドクスは、純粋数式世界のみで成立すると言えよう。

 

 

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＊超球の間は隙間だらけ（高次元のパラドックス）
　
　人間の直観や勘は３次元までの世界では働きますが，４次元以上の高次元についてはあまり働かないのが普通です．次のような逆説をあげておきます．
　
　ｎ次元ユークリッド空間において，１辺の長さが１の立方体をｎ次元単位立方体といいます．その体積は１ですが，もっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さはｎ次元ユークリッド空間の距離の定義から
　　√１2＋１2＋・・・＋１2＝√ｎ
となります．したがって，次元ｎが大きくなると対角線の長さはどんどん大きくなり，ついには地球でさえ含むことができるようになります．それに対して，ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．
　
　辺の長さが４の正方形に４つの単位円板を詰めると，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．また，辺の長さが４の立方体の８つのカドに単位球を８個詰めると，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円，第９の球の半径はそれぞれ√２−１，√３−１だとわかります．
　
　これと同じことを４次元以上の空間で行うことができます．もはやイメージすることは不可能ですが，１辺の長さが４の４次元超立方体の１６個のカドに１６個の単位球を詰めると，中の隙間には半径√４−１＝１の４次元超球（すなわち単位球）が入ります．同様に，１辺の長さが４のｎ次元超立方体の２n個のカドに単位球を詰めると，中の隙間に半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．
　
　しかし，ここの驚きが潜んでいます．たとえば，ｎ＝９の場合，中に詰められるｎ次元超球の半径は√９−１＝２であり，この球は外側の立方体の表面に接してしまい，ｎ＞９だとはみ出してしまうのです．この驚くべき結論は，日常生活ではありえないだけに面食らってしまいます．
　
　球の詰め込みに関するこのはみ出し現象は，モーザーのパラドックスとして知られています．あるいは同じことですが，ｎ＝２，３，４では単位立方体（対角線の長さ√ｎ）は単位球体の中に含まれますが，ｎ≧５でははみ出る部分があり，次元とともにはみ出る部分が増えていきます．単位球体の直径は次元によらず２なのです．
　
　このように，高次元はいくつかのパラドックスの源泉になっていて，しばしばたちの悪い現象が起こるのですが，あとで，もっと衝撃的な現象を紹介することにします．

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/himo.htm

 

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１９２４年，バナッハとタルスキーは，球を有限個の小片に分割し，再結合させると元と同じ大きさの２つの球を作ることを示しました．したがって，元と同じ球体を好きな個数だけ作ることができることになります．


　このあまりにも奇妙な結論からパラドックスと呼ばれますが，れっきとした現代数学の定理です．数学が「無限」を扱うようになったために生ずる奇妙な定理なのですが，バナッハ・タルスキーの定理でいう球体とは物質としての球ではなく，空間中の点の集まり（集合）のことで，分割とは物質の分割ではなく，集合の分割のことです．


　また，球を円に代えて，平面でもバナッハ・タルスキーの定理と同じことがいえるかというとそれはできません．２次元と３次元では事情が異なっているのですが，この奇妙さの源は「体積」という概念にあるのです．


　デーンの定理やバナッハ・タルスキーのパラドックスは，平面幾何学の面積の理論には連続の公理を必要とはしないが，体積の理論を作るにはカヴァリエリの原理のような他の超越的な補助手段を採用しなければならないことを意味しています．


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［補］１９１４年，ハウスドルフは球面を有限個の（非可測な）断片に分割し再配列したとき，もとの球面と同じ面積をもつ２つの球面ができるようにすることが可能なことを示しました．１９２４年，バナッハとタルスキーはハウスドルフが考案した逆説を改良し，球を可算個の小片に分割し再結合させると元と同じ大きさの２つの球を作ることを示しました．したがって，元と同じ球体を好きな個数だけ作ることができることになります．


　バナッハ・タルスキーの可算分解合同定理を言い換えれば，空間において面積と体積は非可測な断片に分解することによって保存されないというものです．このあまりにも奇妙な結論からパラドックスと呼ばれますが，れっきとした現代数学の定理です．数学が「無限」を扱うようになったために生ずる奇妙な定理なのですが，バナッハ・タルスキーの定理は「選択公理」を仮定しないと証明できないのです．


［補］タルスキーの問題「円板を有限個の破片に分けて，集めて同じ面積の正方形にすることができるか」は，１９９０年になっておよそ１０^50個の破片を使って可能であることがラスコヴィッチによって証明された．ある意味，円積問題（円の面積に等しい正方形を作図する）は不可能ではなかったことになる．


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【http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/878_p4.htm

[tai*ut*uot*ko1*56]

【http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/878_p4.htm
間違いが沢山あります。

「ハウスドルフのパラドックス」1954年にシェルインスキが【ハウスドルフのパラドックス」を元に証明した定理と混同

バナッハ・タルスキのパラドックスで「可算個」とあるのは「有限個」で置き換えなければなりません。

ikuro_kotaro氏の場合、定義、証明をよまずに適当な記事を書く癖があるので、相当注意して読まねばなりません。
「可測」という意味も、自分で理解せずに使っている様です。

[tai*ut*uot*ko1*56]

Banach-Tarskiは
一次元以上で、「一つの球を、可算個の断片に分解し、組み立て直すと、元の球と異なる大きさの球になる」ことも証明しています。
これは、ハウスドルフのパラドックスからは、導出出来ません。
また、一般書籍でも紹介されていません。

ikuro_kotaro氏が、どの書籍を参照し、どう作文したのか不可解でなりません。

申し訳ないですが、専門家でないので判りません。