種市算数研究所

５つの□をかける手品

１．算数手品で帰納的な考えを
手品を見ると、ほとんどの人は「どうして？」と手品のタネを考え始める。
子どもであればなおさらである。この自然な反応を算数授業の導入に取り入れたらどうだろうか。
算数・数学で扱われるきまりや法則を手品のタネできることから、帰納的な考えを育てることにつながると考える。
今までこのような手法の先行事例がたくさんあった。
これらを「算数手品」と呼ぶことにする。
今回は、階乗することによって表れる数列を教材化した。

２．「次は私に手品させて！」
まず「５つの□をかける手品」と板書し、□に数字を入れると積の一の位がぱっと分かることを伝えた。
目の前の子に□に入れる数字カードを選んでもらう。
「５だったら…、一の位は５になるなあ。一緒に計算してみようか。」
と計算の途中を確かめながら右のように板書した。
「あ、合ってる！」
という声が挙がった。
次の子に数字カードを選んでもらう。
「６だったら…、一の位は６になるなあ。」
と言い終わらないうちに、子どもたちは計算を始めた。
計算の途中を確かめてながら板書していると、
「…やっぱり！タネが分かっちゃった。」
と５〜６人が手を挙げて、手品のタネを説明したいと言いだした。
不自然な板書だったが、一の位が同じになっていることに気付いたに違いない。
「選んだ数と同じ数になるんだよ。」
「それに付け足し。どの途中の計算の積も一の位が数字カードと同じになる。」
この話を聞いて、ほとんどの子が、
「次は私に手品させて！」
と一の位の予想をしたいと言い出した。

２．「でも、２にならないかも…」
次の数字カードは２である。
「先生、２！」
とたくさんのつぶやきが挙がった。
しかし、その中に、
「でも、２にならないかも…」
というＡさんの声があった。
この声を待っていたのである。Ａさんに詳しく説明させる。
「今まではどの計算も一の位が同じだったけど、今回は違うから…」
この説明を聞いたＢさんから、
「本当だ！４・８・６…ってなるぞ。」
と同感する声が挙がった。
２人ともちゃんと計算して一の位を確かめたところがいいと褒めた。
すると、次々にこんな声が挙がった。
「あれ、やっぱり２になる？」
「もしかして、やっぱり選んだカードと同じになるのかな？」
「今、３で試したけど、やっぱり一の位は３だったよ。」
　この後、子どもたちはまだ調べていない数字で一の位が同じなるか確かめ始めた…。

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円箭（竹束問題）を扱った事例（４学年）

１．身の回りから「円箭（えんせん）」を探す
「円箭」とは棒状の物を丸く束ねた形である。
円箭の断面には、１・６・１２・１８…という６の段を含む数列が現れる。
竹束問題とも呼ばれ昔から日本で親しまれてきた良問である。
しかし、竹の束など見かけたことのない今の子どもたちには身近な事象ではないため、教材化を躊躇していた。
そんなある日、信号待ちで信号機のＬＥＤの並びがこの円箭の数列を持つことに気が付いた！
すぐ写真を撮って、授業に臨んだ。

２．「分けて数えたら、面白いきまりがあったよ。」
まず、右の写真を提示した。
「信号機だ！」
「ＬＥＤがたくさんあるね。」
「学校の近くにもあるよ。」
とすぐＬＥＤ信号機であることに気付いた。
この様子から、子どもたちにとって身近な物であることが分かった。
後は、この事象に数理を見出せるかどうかである。
次に、このＬＥＤが全部で何個使われているか数えてみようと問いかけ、この写真を配布した。
しばらくすると、数え終わった子同士が首を傾げたので、話を聞いてみた。
「ぼくは９２個なのに、Ａさんは９１個なんだよね…。」
すると、Ｂさんがこんなことを言い出した。
「少しずつ分けて数えるといいんじゃない。」
それを続けてＣさんはこう言った。
「分けて数えたら、面白いきまりがあったよ。」

３．「見えた！」
Ｃさんに一言でできまりを言ってもらった。
「６の段！」
これを聞いて、「ああ！」という声が挙がった。
深く頷いていたＤさんに、このきまりを説明してもらった。
「中心から数えると、１、６、１２、１８って並んでいる。」
この説明でほとんどの子が気が付いたようだったので、この数え方で式を立てた。
１＋６＋１２＋１８＋２４＋３１
「最後の３１が惜しいね。」
「３０の固まりを作ると、すぐ計算できた。」
「なんだ！９２個で良かったんだ。」
式で表す良さを感じたようだったので、こちらから次のような式を提示し、どのように数えているか考えさせた。
（１＋２＋３＋４＋５）×６＋１＋１
「見えた！」
と大きな声を挙げたＥさんに、何か見えたか説明してもらった。
「ここにも、ここにも１＋２＋３＋４＋５がある。」
「あ、杉成算だ！」
昨年、学習した杉成算と結びつけてＦさんが説明を始めた…。

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÷１３、÷７７はふしぎ

１．「２桁で割るわり算」のきまりのある教材
きまりのある教材の良さの１つに、「このきまりがほかの数でも成り立つかな」と子どもが進んで確かめることが挙げられる。
この良さを計算指導に生かした事例が多くあるが、２桁で割るわり算の事例はほとんどない。
そこで、１００１に３桁をかけると数字の並びが繰り返すことを使って、２桁で割るわり算のきまりのある教材に取り組んでみた。

２．「偶然じゃない？」
まず、目の前の子に好きな３桁の数（６２４）を言ってもらい、その数を２度繰り返した数を黒板に書いた。
そして、その数を÷１３で割らせた。
「先生、この計算の何が不思議なの？」
ほとんどの子が計算し終えたのを見計らって、次にその数を７７で割るように指示した。
すると、次のようなつぶやきが挙がった。
「本当だ、不思議…」
「どうして、戻るの？」
「偶然じゃない？」

３．「÷１３、÷７７が怪しい。」
偶然かも？と考えた子を褒め、その子にほかの３桁の数を言わせた。
今度は「９３１」を調べることにした。
９３１９３１÷１３＝７１６８７
７１６８７÷７７＝９３１
また、元の数に戻ったことが分かると、子どもたちは÷１３と÷１７に着目し始めた。
「÷１３、÷７７が怪しい。」
「１３と７７をかけてみたら１００１になったよ。何か関係あるのかな？」
子どもたちが元に戻る理由を考え始めたので、ノートに考えを書く時間をとった。
みんなのノートを見て歩くと、Ａさんのノートには、次のように書かれていた。
これを黒板に書いてもらい、どういう意味なのかみんなに考えさせた。
「分かった、３桁に１００１をかけると、繰り返すってことだね。」
「何だか確かめ算に似ているね。」

４．「だったら…」
÷１３と÷７７に納得すると、次のような発言が聞こえてきた。
「かけると１００１になるといいんだったら、ほかの数でもできそうじゃない？」
「÷７７をしてから÷１３でもできそう。」
「÷７７って７×１１だから、÷７、÷１１、÷１３でもできそう。」
「７×１３＝９１だから、÷１１と÷９１でもいいね。」
子どもたちは、自分が考えたやり方をノートで確かめ始めた。
仕組みが分かるとその仕組みを利用して進んで発展的に考える姿を見ることができた。

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÷９であまりが分かる

１．÷９から発展的に考える
３桁の整数を９で割った時の余りは、各位の整数の和に等しい。
理由は100a+10b+cを99a+9b+(a+b+c)と式変形ができるからである。
もしa+b+cが９より大きい時は９より小さくなるまで９を引き続けるとよい。
このきまりを子どもたちが発見した後、どのように発展的に考えるだろう。
「４桁でもできるかな？」という考えもあるが、今回は「÷９以外でも同じようにできるかも？」という子どもの考えに寄り添って授業を展開した。

２．「わられる数と余りって関係ある？」
まず、先生は÷９だったら余りがすぐ分かるという話をした。
それを聞いた子どもたちが怪しむので、目の前の子に好きなあ３桁の数を言ってもらった。
「１５２ね…。余りは８だよ。」
「…あ、本当だ！」
と筆算で確かめた子から声が上がったので、その子に黒板に筆算を書いてもらった。
「２０５か…。余りは７。」
「７７２は、余り７。」
このように，子どもたちから３桁の数字を出してもらい、早く確かめた子に黒板に筆算を書いてもらった。
すると，じっと黒板を見ていたＡ子がこんなことを言い始めた。
「わられる数と余りって関係ある？」
Ａさんの話を聞くと，同じような見方できまりを探そうとする子が増えてきた。
そこで，ノートに先生がどうやって余りを予想しているか書いてもらった。
子どもたちのノートには，
「１５２と２０５は位同士をたすと余りになるれけど，７７２は１６になってさっぱりしない。」
という内容の子が多かった。それを取り上げて，１６を何とか８にする方法はないか問いかけてみた。するとＢさんがこんなことをつぶやいた。
「１６から９を引くと８になるけど…。」
これを聞いたＣさんがぱっと手を挙げた。
「そうか！わる数が９だから余りは９より大きくならない。だから，９を引くんだよ。」
ほとんどの子が納得したようだったので，そのやり方で合うかどうか確かめさせた。

３．「÷３でも同じようにできる気がするなあ…。」
机間指導していると，すっとＤさんのつぶやきが耳に入った。
「÷３でも同じようにできる気がするなあ…。」
この教材で桁を増やしてやってみようと考えた子をたくさん見たが，Ｄさんのように違う数でもできるかなと考えた子は初めてだった。
どうしてそのように考えたか聞いてみた。
「だって，９は３で割り切れるから，９でできることは３できるはず。」
ほかにもできないかなと発展的に考えたことと，９と３の関係に着目して予想したことがとてもいいと褒め，みんなで確かめてみようと投げかけた。
「できる，できる！」
「へえ，だったら÷６もできるかな？」
「÷２もできるかも。」
この後，たくさんの子がいろいろなわる数でできないが確かめていった…。

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「なぞなぞ」の要素がある授業

１．「なぞなぞ」の要素がある授業
子どもたちは、「なぞなぞ」が大好きである。
遠足のバスの中やお楽しみ会など、なぞなぞが出される場面をよく見かける。このように子どもたちの大好きな「なぞなぞ」を算数授業に生かせないだろうか？
きっと、算数に苦手意識がある子でも、「なぞなぞ」の場面では意欲的になるに違いない。
その子が手を挙げたら、褒める場面も生まれるだろう。
そこで、「なぞなぞ」のように数字を読み替える教材を考え、授業に臨んだ。

２．フナの魔法
まず、１〜９までの数字のカードから２枚選び、小数のある数字にして、その一の位と小数第一位の数字を入れ替えて引くという手順で、７．２−２．７、５．４−４．５の筆算に取り組ませた。
次に、黒板の隅にフナの絵に描き、子どもたちにこんな話をした。
「このフナの絵を触ると魔法にかかり、とんでもないことが起きます。」
この話を聞き、ある子が触って確かめてみたいと言う。
その子にフナの絵を触ってもらい、１枚カードを選んでもらった。
そして、後、先生もフナの絵を触り、１枚カードを選んだ。
出来た式は６．３−３．６。
筆算を終えた子から、こんなつぶやきが挙がる。
「あ、フナだ。」
次に、違う子にやってもらう。
出来た式は８．５−５．８。
「また、フナだ！」
まだ、どこがフナなのか分からない子もいるので、分かった子にヒントを出してもらった。
いつもは算数でなかなか手を挙げないＡ子が、この場面で元気よく手を挙げている。
もちろん、指名した。
「ここがふたつ、ここはななつ。」
前に出て、その場所を指しながら説明しているところが良かったと褒めた。
さらに、違う子にカードを選んでもらおうとしたところ、
「先生が後に選ぶのが怪しい。」
とある子が言い出しので、先に先生が選ぶことになった。
出来た式は９．１−１．９。
「あれ？反対に読むとフナだ…」
「おかしい、もう一回！」
今度、出来た式は７．３−３．７。
これがフナにならないことが分かると、
「やっぱり、フナの魔法は先生の仕業だったんだ。」
と子どもたちは言い出した。
しかし、それに反論するように、
「まだまだ、フナの魔法が分かってないね。うそだと思うなら、ほかにも計算してみて。」
とけしかけた。
子どもたちは自分で式を立てて筆算を始めた…。
しばらくすると、
「あ！全部、９の段になっている。」
と子どもたちはカプレカー数に気づき始めた…

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