50才からの量子力学

50になって、一念発起 量子力学の勉強を始め、10年が過ぎました。

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x座標とt座標のローレンツ変換は、以下の式で与えられる。
     イメージ 1
ここで、v/c を β と置くと、
     イメージ 2
sinh α/cosh α=β とおくと、
β=sinh α/√(1-sinh²α) 1-β²=1-sinh²α/(1-sinh²α)=1/(1-sinh²α)=1/cosh²α

     イメージ 3
となり、これを虚角度の回転として、2元ベクトルの回転
     イメージ 4
と見比べると、、、、合いませんねぇ!!
つまり、 虚角度α=iθ にしただけでは、ダメということです。
併せて 虚時間 w = i ct を用いれば、
      w’=w cosh iθ – x/i sinh iθ
      x'=-w /i sinh iθ + x cosh iθ

      w’=w cosh iθ – x/i sinh iθ
      x'/i=w sinh iθ + x/i cosh iθ
x/i を xと置き直せば、
      w’=w cosh iθ – x sinh iθ
      x'=w sinh iθ + x cosh iθ

     イメージ 5
と表すことができる。
この表現は「ユークリッド空間の回転」なので、ローレンツ変換が「何らかの空間」の回転に相当することがわかる

ところで、竹内薫「アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本」によると、
「本当の内積」は、計量gを用いて、
     イメージ 6 と定義され、
イメージ 7 の場合 がミンコフスキー空間。である。
とあります。

内積は、|v1|・|v2|cosθ ですから、回転角θと、うまく関係するような、、、
そうであれば、ミンコフスキー空間の計量gが、「回転」に入ってきて、
     イメージ 3 
つまり、斜めのSinの項が同符号になることが、出てきそうな気がします。

数式表示のCGIが一段落したら、T_Nakaさんが紹介された文献を、よく読んでみます。

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>自分自身との内積=ノルムが0や負になる。これではマズイ

というのは誤解でしょう。
kafukaさんは、ct に i を付けて、なおかつ、ミンコフスキー空間の計量 g_00 = -1 を使って内積を計算していますね。
ミンコフスキー空間の計量 g_00 = -1 を使って内積を計算する場合は ct に i を付けてはいけません。

先の誤解があるため、考えすぎていると思います。
『Dirac「一般相対性理論」を読む_(1)』というのを書いてますので、多少参考になるでしょう。
http://teenaka.at.webry.info/200601/article_5.html
[追記]こちらの方が判り易いようなので、私の記事は無視して結構です。
http://homepage2.nifty.com/ysc/Dirac1.pdf

2009/11/5(木) 午後 11:29 [ tee**aka ] 返信する

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[追記の追記]
「時間的ベクトル、空間的ベクトル、ゼロベクトル」これで誤解を解いていただきたいです。
http://maverick.riko.shimane-u.ac.jp/Relativity/Sec3/node10.html

2009/11/5(木) 午後 11:30 [ tee**aka ] 返信する

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T_NAKAさん
ありがとうございます。よく読んでみます。
先生に訊いて、
計量diag(-1,1,1,1) は、ミンコフスキー空間で、
ct に i を付けてしまえば、ユークリッド空間。
(だから、回転行列になる)
したがって、diag(−1,1,1,1) を使ってはいけない。
ということは、わかりました。

2009/11/9(月) 午後 10:03 [ kafuka*no*ochan ] 返信する

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cat_falconさんのこの記事が別な意味での的確な説明になっています。参考まで。。
http://blogs.yahoo.co.jp/cat_falcon/23246267.html

2009/11/11(水) 午前 9:54 [ tee**aka ] 返信する

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T_NAKAさん
ありがとうございます。誤解がとけました。
後は、斜めのSinhの項が同符号になることが、気になっているので、
もう少し考えてみます。

2009/11/12(木) 午前 10:44 [ kafuka*no*ochan ] 返信する

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