50才からの量子力学

一から勉強し直そうと思い、サスキンドの「量子力学」を読み始めました

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「本当の内積」は、計量gが掛かります。
本当の内積というのは、計量gを用いて、
   イメージ 1 と定義したものです。
計量gが、
   イメージ 2 あるいは、 イメージ 3
の場合 がミンコフスキー空間 です。
で、ユークリッド空間では、計量gは、当然ながら、
   イメージ 4
です。
ユークリッド空間とミンコフスキー空間に限るなら、
   イメージ 1 は、イメージ 5  ですから、
   イメージ 6 と書けます。

それで、ユークリッド空間では回転しても、ノルムは変わりません。
これは、2次元(x0、x1)では、(積の転置は (A B)†=B†A† となって順序が逆転するので)
   イメージ 7  ということですが、
「本当は」、計量g(2次元では、g=diag(-1,1) )を入れて、上記の内積の議論から、
   イメージ 8
のはずです。(ただ、gijが、diag(1,1) であるだけ)

ミンコフスキー空間 の回転では、
   イメージ 9   ですから、
「単純なノルム」は、変わります。
しかし、 (a^0=ct a^1=x とおく)
   イメージ 10
    ただし、gij=diag(-1,1)
なので、これを、計算してみると、
   イメージ 11 
となり、内積を、イメージ 1とした内積を、ミンコフスキー内積と定義すると、
ミンコフスキーノルム イメージ 12は、保存されます。

まとめると、ローレンツ変換は、ミンコフスキー空間の回転に相当する。
そして、ユークリッド空間の回転で内積が保存されるように、ローレンツ変換は、ミンコフスキー内積を保つ  
と言えます。


PS.
Wikipediaに、「ローレンツ変換は、ミンコフスキー内積を保つ」とあるのですが、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9F%E3%83%B3%E3%82%B3%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E7%A9%BA%E9%96%93
光円錐の上では、常に0になる=保たれない ような気が、、、

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ランダムブログから来ました♪
さっぱり分かりません…。

2009/11/12(木) 午後 6:14 `・ω・)っ[☆] 返信する

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すいません。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/62316716.html
くらいから読んで下さい。

2009/11/12(木) 午後 8:55 [ kafuka*no*ochan ] 返信する

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光円錐上の点は直線 x = ±ct 上の点ですから、(ct,ct) か (ct,-ct) という形のベクトルになるはずですね。
これらのベクトルのミンコフスキー・ノルムを計算してみてください。
g_ij = diag(-1,1) でも g_ij = diag(1,-1) でもゼロになると思います。

2009/11/12(木) 午後 11:13 [ tee**aka ] 返信する

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ベクトルとしての a や b と、ベクトルの成分としての a や b が表現として混在しているので、初めて読まれる方は混乱すると思います。ベクトル→太字、ベクトル成分→上付き添え字 とか、したほうが良いのではないでしょうか?

2009/11/13(金) 午前 1:23 [ tee**aka ] 返信する

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gij=diag(-1,1) と書いてるところを見ると gij 自体が行列らしいが、この ij は何のつもり?
「○○を保つ」の意味は「○○の値が一定」ということ。
「常に0になる」なら一定だから「保つ」の意味に合ってるけど、「0でない値に保つ」に脳内変換してない? 削除

2009/11/13(金) 午前 9:52 [ hirota ] 返信する

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T_Nakaさん
>ミンコフスキー・ノルムを計算、、、ゼロになる
Hirotaさん
>「○○を保つ」の意味は「○○の値が一定」ということ
了解しています。
そういうことではなく、もっと基本的な勘違いをしていました。
t軸とx軸のミンコフスキー図で、「普通の回転」を考えていたのです。
この場合の「回転」とは =ローレンツ変換 であることに気づき
納得しました。
つまり、光円錐上のベクトルは、どうやっても他の場所に移動できないし、その逆もありえない
ということに気づきました。

2009/11/13(金) 午後 11:55 [ kafuka*no*ochan ] 返信する

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>この ij は何のつもり?
何も知らないもので、それを付けて書かないといけないものとばかり
思っていました。

2009/11/14(土) 午前 0:02 [ kafuka*no*ochan ] 返信する

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>a や b が表現として混在している
すいません。明日、直します。

2009/11/14(土) 午前 0:02 [ kafuka*no*ochan ] 返信する

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内積 (ミンコフスキー内積を含む) は非退化な対称行列による2次形式である。
(2次形式とは、v : vector, A : matrix に対して v^T A v のこと, 非退化とは A の固有値が0でない)
A が対称行列なら対角化可能で、A=U^T Λ U と表され、対角行列 Λ の平方根を Λ' (負の固有値があれば虚数を含む) とすると、内積は
v^T A v=v^T U^T Λ'^2 U v=(Λ' U v)^T (Λ' U v)
となり、v'=Λ' U v と基底変換すれば直交行列による変換 (回転) で保存される。(基底変換であるためには非退化が必要)
ミンコフスキー内積の場合は、この回転を元の基底 (ミンコフスキー空間) に戻すとローレンツ変換になる。 削除

2009/11/17(火) 午後 1:12 [ hirota ] 返信する

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hirotaさん
やっと意味がわかりました。
内積は (Λ' U v)† (Λ' U v) なのですね。
記事は、 (U v)† Λ'† (Λ' U v) の形なのですが、
本当は、{Λ'†(U v)†}(Λ' U v) ですね。

2009/11/22(日) 午前 11:11 [ kafuka*no*ochan ] 返信する

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(Λ' U v)†=(U v)† Λ'† :記事は正しい
(Λ' U v)†≠Λ'†(U v)†}:本当じゃない!
積の転置は (A B)†=B†A† となって順序が逆転します。(行列の常識) 削除

2009/11/24(火) 午後 0:05 [ hirota ] 返信する

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Hirotaさん
お教え頂きありがとうございます。

2009/11/24(火) 午後 6:41 [ kafuka*no*ochan ] 返信する

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