50才からの量子力学

50になって、一念発起 量子力学の勉強を始め、10年が過ぎました。

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政府の「科学技術立国を目指す」という方針は、いつのまにか消えて
今は「観光立国」だそうです。
そして、首相の「実学」発言とそれに伴う文科省の指導で、

「大学の教育は危機に瀕している」

と思います。
今役に立つ「実学」は、5年10年で陳腐化し、20年もすれば時代遅れになるでしょう。
このままでは、科学技術で中国に抜かれ、そのうち韓国にも抜かれてしまい、
日本の科学技術は、世界の水準から取り残されると思います。

そこで、大学の先生・関係者の方に提案なのですが、

有志を募って寄付を集めTVで「広告番組」を作り、広く大衆に訴える

って、どうでしょう?
TV局独自の番組では、TVマンの圧力があって、学術的には ほぼ無意味ですし、
へたをすると、出演した先生のマイナスになる。
だから、自前の「広告番組」というわけです。

政治家や行政に対しては、一般大衆を味方につけた行動をとるのがベストと思うからです。

世の中の人は、大学なんて関係ないとか
就職のための階段の1つ(旧帝大校は、人生のエスカレータ)とか
思っている人が、かなり多いと思います。

少なくとも、それは間違いです。
大学を含めて学校は「世の中」のため(役に立つ・立たないとかの狭い意味ではなく)
にあると思っています。
いわば、文明の礎であり、不合理で矛盾だらけの世の中を照らす灯です。

「電気代0の生活」は考えられますし、実際、実現している人もいるそうです。
でも、それは、その人の「電気代が0」であるだけで、そういう人が どんなに増えても
それらの人の生活を支える社会の「電気使用量が0」なわけありません。

田舎で農業だけで暮らすとしても、コンビニなどの商店に行かない生活は考えられません。
その店にある商品は、誰が作り、誰が運んでくるのでしょう?
工場が必要ですし、高速道路、トラックも必要です。
これらは、産業文明に支えられた社会があるから、存在できるわけです。

農業機械だって、今は、センサーが いっぱい付いています。
産業文明がなかったら、農業は 超重労働になってしまいます。
(私の親は、明治生まれだったので、昔の状況は、よく知っています)

産業文明を支えるのは、大学・高専などの高等教育です。というのは、
例えば、今 どこにでもあるPCは、40年前には存在しませんでした。
PCの中には IC(LSI)が数多く使われれています。
そのICは、トランジスタでできています。
トランジスタ自体の設計・改良は、量子力学の知識がないとできません。
量子力学は、今も発展しており、その担い手になるには、高校までの知識だけ持った人では
なれません。
量子力学を理解するには、高校までの知識も必要で、それをベースに勉強する必要があります。
(高校で 量子力学を教えればいい というわけにはいきません)
大学でないと無理です。

また トランジスタは、「増幅機能のある素子を作ろう」という意図があってできたのではありません
純粋に近いゲルマニウムの電気抵抗を測ろうとして、偶然 発見されたものです。
それまでも、ゲルマニウムの抵抗を測った人は、多かったと思います。
しかし、誰も「純粋に近いゲルマニウム」では、どうだろう という発想がなかったわけです。
この自由な発想こそ、発明・発見のかなめです。

今の文科省の科研費とかの補助は、この対極にあると思います。

まとめると、

「研究は、研究者の自由な発想に任せるのが、一番いい」
「大学・高専などの高等教育は、絶対必要で、それは、「実学」では意味がない」

というのが、私の主張です。

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数a=x+iy の複素共役とは、x-iy です(i を -i に変える)
複素平面{x+iy}で言えば、実数軸(x軸)に対し「裏返し」にしたものです。

ここで、複素平面{x+iy}を、平面{(x, y)}と同一視してみます(大前提)
そして、(0, 0)の点に、この平面に垂直なw軸を考えます。
つまり、複素平面{(x, y)}を、3次元空間{(x, y, w)}の部分集合と考えるわけです。

それで、平面{(x, y)}について「yを xの値のw−y平面に沿って(x, -y)の位置まで回転させる」
つまり、(x, y)を2次元ベクトルと同一視して、(x, y)をy軸に対して「裏返す」わけです。
(平面の反転を児童・生徒に説明する場合、紙を裏返すでしょ)

そうやると、{(x, y)}は 平面{(x, -y)}になります。
これは、大前提より、平面{x-iy}と同一視できますから、

複素共役は、複素平面を部分集合とする3次元(抽象)空間での回転(裏返す方向の)

ということになります。
//

平面や立体の鏡像反転は、どうやっても回転では表せないとされますが、
これは、その次元内でのことで、
上記と同様な証明?で、平面{(x,y)}の反転は、3次元空間{(x,y,z)}内での回転で表される。
また、立体(4次元方向に曲がってないもの)の反転は、4次元空間{(x,y,z,w)}内での回転で表される
が言えます。

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[x, p]の正しい計算

[x, p]=ih' ですが、
xもpも演算子とするので、以下の計算は正しいですが、厳密とは、言えないと思います。

[x, p]Ψ(x)=(xp - px)Ψ(x)
   xは、実質的には f(x)=x という関数なので
=−(-i h'∂x x)Ψ(x)
=i h'Ψ(x)
//

厳密には x(pΨ(x) ) = Ψ(x)xp + (xΨ(x) )p として、
[x, p]Ψ(x)=(xΨ(x) )p+i h'Ψ(x)
   (xΨ(x) )p は、(xΨ(x) )p・1 なので0
∴ =i h'Ψ(x)
//

で、どうでしょうか。

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「3次元空間」と時間の関係は、
普通に考えたら「3次元空間」が、時間座標の中を「滑って行く」ように感じます。
古典論では、時間は、過去から未来永劫 存在し、変化するものは「3次元空間」の中のものであり
時間自体は、何も変わりません。
(時間軸上の各点(時刻)に対応した空間(とその中のもの)が、ずらーとつながっているイメージ)

では、時間座標の中で 変わって行くものは、何でしょう?
それは「現在」です。
「現在」の性質を考えてみます。

1.「現在」は、時間座標の中に存在する。  → 「現在」の存在確率は、全時間で1
2.それは、ただ1つの非常に狭い時間の範囲である。 
3.「現在」の時間座標の中の位置は、大きくなり続ける(大きくなる割合は慣性系によって異なる)

なので、「現在」の時刻をT0 とすると、1と2より
「現在」のt軸上の存在確率密度τ(t)は
τ(t)=δ(t-T0)
x軸とt軸は直交します(t・x=0)が、空間中に「現在」は存在します!から、
「現在」のx軸上の存在確率密度χ(x)は、(空間中を あまねく「現在」が通りすぎるので)
χ(x)=ε (微小量)
これが εexp(ikx)なら面白いのですが、、、

T0 は、何もしなくても大きくなる一方なので
dT0/dt>0
静止系の dT0/dt の値を1と定義すると、これは 慣性系の速度vの関数で

dT0/dt=√1-v^2/c^2

であるとする。

ところで、時空{(t,x,y,z)}を過去と未来に分けて考えると、
過去の時空の中のもの は、どうやっても変えられません。(過去の時空は不変)
(タイムマシンはここでは触れません)
それに対し、未来の時空(の中のもの)は、少なくとも「現在」の自由意志で変えられます。
例えば α崩壊が起きた→猫は死ぬ。しかし自由意志で実験をやめた。
(量子力学は、状態ベクトルの時間発展について決定論ですが、自由意志での介入があれば、決定論には
ならない)
したがって、一般には 未来の時空は不確定 です。

「現在」は、時間座標を動いて行き:f(t)=δ(t-T0) 時空{(t,x,y,z)}を過去と未来という
全く違うものに分けます。
これを、
未来(t>T0)の時空が過去(t<T0)の時空に相転移?すると考えれば面白いと思います。

まとめると、「現在」の定義は、
   「時空が過去から未来に転移する非常に狭い巾(ε)の時空{(t,x,y,z)}の範囲」
    であり、
   「現在」のt軸上の存在確率密度τ(t): τ(t)=δ(t-T0)、 dT0/dt=√1-v^2/c^2
   「現在」のx軸上の存在確率密度χ(x):  χ(x)=ε (微小量)
    ただし、x軸とt軸は直交(t・x=0)とする。

となります(時間がループになった時空(ゲーデル解)はここでは触れません)

計量テンソルgij=diag(-1,1,1,1) から上記の関係が言えたら面白いのですが、、、
(例えば、4次元ユークリッド空間(gij=diag(1,1,1,1) とどう違うかとか)

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系の時間発展は、Hをハミルトニアンとすると、
シュレーディンガ表示では ih'∂tψ(x,t)=Hψ(x,t) という方程式に従って変化して行きます。
Hの固有値は 全エネルギーを表し、H=p^2/2m + V(x,t) とすると
[t, H]=t(H・1)−Ht=0 で、全エネルギーと時間は、交換します。
つまり、両方とも、同時に いくらでも精密に測定できます。

しかし、ih'∂t =Eと置くと
E=ih'∂t これと時間tの間には
tE - Et= -ih'
となる自明な関係が言え、
一見、時間とエネルギーEは、交換しない(一方が定まったらもう一方は不定)ように見えます。
しかし、系の時間を測定して「1日後」とか「100年前」になったらおかしいです。
(実験だったら「100年前」には その系は存在しない。今日中に実験をやめるかもしれない)

xp−px= -ih' の場合は、pに巾がある(Ψ(p)が1つのδ関数でない)とpの測定値はバラつきます
ということは、時間tは、常に巾が0(Ψ(t)=δ関数)ということになりそうですが、
そうではなく、これは、時間tが物理量ではなく、時間発展のパラメータと考えればいいです。
時間を正確に測定したら対象系を乱すとすれば、時間発展が方程式で記述できないことになり、
おかしいです。

では、ΔEΔt〜h は、何を意味するかというと、
エネルギーの時間発展が顕著ΔEになる=エネルギーの測定が意味を持つようになる時間がΔtということです

証明:
t秒後の状態ベクトルを|ψ(t)> 、初期状態を|E0n> とすると
|ψ(t)>=Σexp(-iwnt)ψ(E0n)|E0n>
です。
ここで 
<E>=<ψ(t)|H|ψ(t)>
を上記|ψ(t)>の右辺に足し引きすると

|ψ(t)>=Σexp(-i{wn-<E>/h'+<E>/h'}t)ψ(E0n)|E0n>
=exp(-i<E>t/h')Σexp(-i{wn-<E>/h'}t)ψ(E0n)|E0n>

として「新版 量子論の基礎」p194の 式6.46 が出てきます。
この式から、言えることは(前に掛かるexp(-i<E>t/h') は位相因子なのでなくても同じ)

exp(-i{wn-<E>/h'}t)が1から大きくずれないと、状態の変化は顕著にならない
したがって、「状態の変化が顕著になるまでの時間をδt」とすると
δtΔE〜h
という関係が得られる。
一方、ΔEは エネルギーを測定した時、En になるとすると、Enの標準偏差δEと同程度なので
δtδE〜h
が成り立ちます。
//

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