50才からの量子力学

50になって、一念発起 量子力学の勉強を始め、10年が過ぎました。

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新井朝雄「ヒルベルト空間と量子力学」で
「単位の分解」(スペクトル測度) の勉強を始めました。

ヒルベルト空間H上の演算子qとその固有ベクトル|q>において
波動関数ψ(q)を、状態ベクトル|ψ>の|q>への射影:
ψ(q)|q>=|q><q|ψ> として定義します。

射影の結果を、すべて足し合わせたものは、もとのものですから、一般に、離散での和と連続での積分で
|ψ>=Σ_n ψ(qn)|qn>+∫ψ(q)|q>dq
となります。
これの|q>との内積をとると、ψ(q)は、演算子qの固有関数φ(q)の和と積分の2項になります。

<q|ψ>=ψ(q)=Σ_n φn(q) + ∫φ'(q')δ(q'-q)dq'

右辺の第2項は、このままでは、固有関数がL^2空間に入らないので、基底をHに入るA(f)に変えて、

ψ(q)=Σ_n φn(q) + ∫φ"(q)A(f)df

そして、この式の右辺を1つの項(スティルチェス積分)で書くことを考えます。
これが単位の分解です(大雑把に言えば)

右辺の第2項は、普通の積分のように見えますが、Hに入るということは
可算な無限和です。

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「単位の分解」前説

新井朝雄「ヒルベルト空間と量子力学」で
「単位の分解」(スペクトル測度) の勉強を始めました。

[ヒルベルト空間]とは、
ベクトル空間において、内積が定義された完備な空間です。
したがって、自分自身との内積が∞のベクトルは、ヒルベルト空間には入りません。

また、ヒルベルト空間において、可分であることと高々可算個の元からなる基底(特に完全正規直交基底)が
存在することは同値です。
ということは、可分なヒルベルト空間では、
線形和の項の数Nは、有限個か N→∞の極限での可算無限個ということになり
積分の形で書かれていても、可算無限和です。

固有値が -∞〜+∞ の連続値をとるヒルベルト空間(L^2空間)の非有界作用素を考えてみます。
例えば、id/dx とか、x自体です。
id/dx=k と置くと、その固有関数f(x)は、固有値をaとすると
kf(x)=af(x)
∴ f(x)=Aexp(-iax)       
kは、正射影作用素の1つですから、
ある関数ψ(x) が、この固有関数f(x)の和(積分)で表せたとすると、
ψ(x)=∫F(a)exp(-iax)da
となるので、この場合 exp(-iax)は、完全直交基底です。

しかし、exp(-iax)の自分自身との内積は、発散しますから、正規完全直交基底 ではないですし
これ自体、ヒルベルト空間(L^2空間)に入りません。
そこで、exp(iax)daを ひとまとめにして、
ψ(x)=∫F(a)d(exp(iax), a)というスティルチェス積分を考えればいいです。
そうすると、d(exp(iax), a)自体が 正規完全直交基底 とみなせ、ヒルベルト空間に入り、
ψ(x)を可算無限の線形和で表すことと同値になります。

これを、「単位の分解」あるいは「スペクトル測度」といいます。

[単位の分解の定義]
B^dをR^dの開集合全体を含む最小のσ加法族(ボレル集合体)とする
P(H)をヒルベルト空間H上の正射影作用素の全体とする
B^dからP(H)への写像Eを、B∈B^dに対しE(B)が ただひとつ定まる対応とする。

この写像Eは、族{E(B)|B∈B^d}を与える。
この族が、次の条件(1), (2) を満たす時、これをd次元の単位の分解という。

条件(1) E(0)=0、 E(R^d)=I(単位作用素)

条件(2) B=U{n=1 to ∞}Bn、Bn∩Bm=0 (Bn∈B^d n≠m、n,m=1, 2, 3,,,) ならば
    E(B)=Lim{N→∞}Σ{n=1 to N} E(Bn)    ← 写像E(B)が可算無限和になる
//

これについての証明は次回として、何故、これを「単位の分解」と呼ぶかと言うと
条件(2)において、B=R^dの場合、条件(1)を用いると
I=Lim{N→∞}Σ{n=1 to N} E(Bn)

この場合、Bn∩Bm=0 n≠m であり、
「任意の B1, B2∈B^d に対して、E(B1)E(B2)=E(B1 ∩ B2)が成り立つ」 (証明は次回)
なので
E(Bn)∩E(Bm)=0 n≠m 
したがって、単位作用素Iが 直交する正射影作用素の和で書かれることになる。
それで、{E(B)|B∈B^d}を「単位の分解」と呼ぶわけです。
//

次回から、詳しく見ていきます。
まずは「ボレル集合体」を理解しようと思います(正射影作用素の方も大まかにしか理解してませんが)
参考:ボレル集合体の解説
  http://www.yasuhisay.info/entry/20080605/1212640012

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またトンデモかもしれませんが、
「フーリエ級数はフーリエ変換の特別な場合である」
を示します。

区間−L〜+Lでf(x) となるフーリエ級数を
a0+堯n=1ancos(knx)+bnsin(knx)
とします。
これは、複素数形のフーリエ級数:
+∞n=−∞cnexp(iknx)
と同値です。
証明:https://mathtrain.jp/hukusofourier
それで ∫+∞−∞δ(k−kn)g(k)dk=g(kn)
より、
$$
f(x)=∫_{−∞}^{+∞}c_nδ(k−k_n)exp(ikx)dk
$$
一方、フーリエ変換において、区間−L〜+Lでf(x)、
定義域の他の部分は、この区間のf(x)の繰り返し
とすると
これのフーリエ変換は、δ関数の和
となり (証明は後述)
$$
f(x)=∫_{−∞}^{+∞} A_nδ(k−K_n)e^{ikx}dk
$$
と表すことができます。
上式と見比べると
共にf(x)に収束するので
Cn=Anが言え、
この場合のフーリエ変換は
フーリエ級数に一致します。
//

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先に o2の場合で反転変換が回転で実現できるか考えました。
https://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/69851832.html

結論は、
平面外部での回転(3次元空間での回転ですからo2の定義域外)であっても
広義の意味で「回転」と称するものとする と定義されるのであれば
「回転だけで反転できた」
と言えます。

なんで、こんなこと考えたかというと、
量子論での系の時間発展は
ユニタリー変換になります。
ユニタリー変換では、パリティは保存します。

しかし、現実には弱相互作用では、パリティは保存しません。
そこで、余剰次元を含む高次元のユニタリー変換では
パリティは保存しないのでは?
と思いつき、
ユニタリー変換の場合を理解するために、
手始めに o2の場合で反転変換が回転で実現できるか
考えたわけです。

この世界は 4次元時空ですが
仮に、第5次元目wがあるとし、x、y、z、w合わせて、ユニタリー変換で確率が保存する
と仮定すると
当然、x、y、zだけとった確率では 保存しない可能性があります。
まぁ、そんな話です。

でも、それを言えば、「CPT保存」だって怪しいですね ^^;

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「3次元空間内の任意の平面の反転は、回転と平行移動で表すことができる」ことを証明します。
(証明といっても証明の方針みたいなものです。一般化は僕の手に余ります ^^;

注意:
平面外部、つまり3次元での回転(o2の定義の外)であっても、広義の意味で「回転」と称するものとする
と定義されるのであれば
「回転だけで反転できた」
と言えるだけです。
o2で成り立つ定理を、o3の変換をごちゃ混ぜにして「成り立たない」と言うのは無意味なのは承知。

[証明?]
平面の回転を、行列o2で表すと
https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex.php?式 o2=\matrix(cosθ && sinθ;-sinθ && cosθ)
一方、反転は、例えば x座標とy座標の入れ替え(y=xの線で反転)は
https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex.php?式 p1=\matrix(0 && 1 ; 1 && 0)
また yを -yにする反転は
https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex.php?式 p2=\matrix(1&& 0 ; 0 && -1)
で、前者o2の角度θをどう変えても、後者の2つには一致しません。

それで、より高い次元の3次元空間での、平面の回転o3と反転を比較してみます。
yを -yにする反転は:
https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex.php?式 \matrix(1 && 0 && 0; 0 && -1 && 0; 0 && 0 && 1)  (zを変えません)
一方、x軸を中心とする回転o3は:
https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex.php?式 o3=\matrix(1 && 0 && 0;0 &&cosθ && sinθ;0 &&-sinθ && cosθ )
ですが、θ=π とすると
https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex.php?式 o3(π)=\matrix(1 && 0 && 0; 0 && -1 && 0 ; 0 && 0 && -1)
となり、反転と似ていますが、しかし、yだけでなく zも反転してしまいます。

したがって、任意の3次元図形{(x, y, z)}の反転は、3次元での回転では表せないです(と思います)
しかし、3次元空間内の部分空間{(x, y, 0)}つまり、z=0の平面 においては、
上記のθ=πの回転行列を掛けると
https://rhcpf907.sakura.ne.jp/fml2tex.php?式 \matrix(1 && 0 && 0; 0 && -1 && 0 ; 0 && 0 && -1)\matrix(x;y;0)=\matrix(x;-y;0)
となり、ちゃんとした反転になっています。

ということは、3次元空間内の任意の平面のyを -yにする反転は

1.その平面を適当に回転させて、{(x, y, 定数)}を作り、
2.それを平行移動させて、{(x, y, 0)}にする(zから「定数」を引く)
3.上記のθ=πの回転を行う
4.2の逆の平行移動(zに「定数」を足す)の後、1の逆の回転操作を行う

これで可能と思うのですが、どうでしょう?

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