Kapok の投資レポート

ドル・コスト平均法が有利であることについての、数学を用いた説明

ドル・コスト平均法とは、一定金額ずつリスク資産を購入していく投資手法です。

有効な投資手法の一つとして、広く知られています。

 

特に、一定口数積立と比較し、有利な投資手法であるという説明が散見されますが、どうなのでしょう。

平均取得価格に注目し、数学的に考えてみます。

 

 

まず、投資信託を考えます。

基準価額は、

1回目の購入時に a(1),

2回目の購入時に a(2),

　　　　…

n回目の購入時に a(n)

と変動するものとします。

 

また、これ以降で和の記号・積の記号を

Σ(f(i)) = f(1) + f(2) + ・・・・ + f(n)

Π(f(i))= f(1) ・f(2) ・・・・・・　・f(n)

と定義します。

 

 

１．ドル・コスト平均法での平均取得価額

 

この投信を h 円ずつ定額積立をした場合、

積立総額は　h [円]　×　n [回]　で　hn [円] 　　…①

 

一方で　i 回目に積み立てる口数は、　h [円]÷a(i) [円/10,000口] ですから、

1〜n回目までに積み立てた口数は、Σ(h/a(i)) [10,000口]　…②

 

したがって、10,000口当たりの平均取得価額は、①÷②より

 

hn / ( Σ(h/a(i) ) ) =  1 / ( Σ(1/ a(i))/n ) 　[円/10,000口]   …③

 

 

２．一定口数積立の平均取得価額

 

毎回10,000口ずつ積み立てた場合、

i 回目の積立金額が　a(i) [円/10,000口]　ですから、

積立総額は　Σ(a(i))  [円]　…④

 

一方で、積立口数は、10,000[口]× n [回] ＝　n [10,000口]　…⑤

 

したがって、平均取得価額は、④÷⑤より

Σ(a(i)) ÷　n 　[円/10,000口]　…⑥

 

 

３．どちらがお得？

 

③ ＝   1 / ( Σ(1/ a(i)) / n ) 

　　≦　1 / (Π(1/a(i)))^(1/n)   　　←相加平均≧相乗平均　※１　より　1/相加平均≦1/相乗平均

　　＝  (Π(a(i)))^(1/n)

　　≦  Σ(a(i)) ÷　n     ←相加平均≧相乗平均　再び

　　＝　⑥　　※２

 

したがって　③≦⑥

すなわち　ドル・コスト平均法は、一定口数積立よりも、平均取得価格を安く抑える事ができるのです。※３

 

 

また、ほぼ同様の議論で、

売却時は　「一定金額ずつ」　よりも、「一定口数ずつ」　が有利　であることが分かります。

また、スポット買いによる取得単価の期待値　は　ドル・コスト平均法の平均取得価額を上回る、すなわち、スポット買いは不利であることが分かります。※４

 

 

―――つぶやき―――

ところで、ブロガーの間で「ドル・コスト平均法は、有利でも不利でもない」との主張が良く聞かれます。

あれって、なんなのでしょうね。何を仮定し、どう論理展開すればそうなるのかが不明です。

そもそも何と比較して、有利・不利なのかさえ分かりません。

 

 

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※１

証明は↓のリンクのpdfファイル4枚目以降を参照。

http://www.kojoike.okayama-c.ed.jp/keisaikiji/2008/rezume3.pdf　（2011/7/12）

 

※２

この不等式の変形は↓の記事を参照しています。

http://mathdonald.seesaa.net/article/103768402.html　（2011/7/12）

 

※３

他の手法と比較した上での有利・不利の議論であり、完全に手法についてのお話です。

儲かるかどうかは、積立対象次第です。ここでは言及していません。

 

※４

基準価額の値動きが予想できないと仮定した上での期待値のお話です。基準価額の値動きが予想できる投資家であれば、積極的にスポット買いを行うべきです。

 

"平均リターン" に要注意

↓のような値動きをした（仮想の）投資信託について考えます。

 

 

この投信、基本的に成績は悪いですね。

基準価額は、設定時の2007年1月に10,000円でしたのに、2011年1月には20%も下落した、8,000円となっています。

 

 

ですが、この投信、成績優秀に見せかけて、素人投資家に売りつける事ができます。

 

売り手の売り言葉は

「年平均リターン１％、預金よりも有利な金融商品ですよ！」

です。

 

 

なぜこのような表現が可能となるのでしょう。

仕組みを見てみます。

 

年月	基準価額	年間上昇率
2007年1月	10000	-
2008年1月	14000	40%
2009年1月	8000	-43%
2010年1月	6000	-25%
2011年1月	8000	33%
平均リターン→		1%

 

平均リターンは、年間上昇率の平均値で、年間１％、

基準価額が20%も下落したのに、平均リターンはプラスと計算することができます。

 

どういうことでしょう。

基準価額は、1.4倍→0.57倍→0.75倍→1.33倍　と動いています。

 

リターンに注目する場合、平均リターンは相乗平均で

( 1.4 × 0.57 × 0.75 × 1.33 ) ^ (1 / 4 )  =  0.946 倍

すなわち 年平均で　5.4% 減っていると計算するべきです。

 

ところが相加平均で

( 1.4 + 0.57 + 0.75 + 1.33 ) / 4 = 1.01 倍

と計算し、リターンを良く見せることができます。

これが、売り手のトリックです。

 

 

「平均リターン」は胡散臭いものが大半です。

投信のパフォーマンスは、自分で吟味するべきだと思います。

 

 

――――――――――――――――――

注.  リターンは相乗平均で計算するべきと書きましたが、リスクや統計について詳しい人は、相加平均で算出したリターンも分析に活用しているはずです。

2011年6月は、投信に7200億円超が純流入

2011年6月は、投資信託が買われたようです。

 

――――引用ここから――――

個人の資産運用ツールである投信への資金流入が堅調だ。６月も既設定の分配型を中心に７２２２億円が流入。なかでも高分配の海外ＲＥＩＴファンドやアジア・オセアニア通貨建て海外債券などがけん引した。

　（略）

 

　＜資金流入は順調、分配型が全体の約７割に、通貨選択型残高が９兆円超え＞　　

　野村総合研究所（ＮＲＩ）によると、６月の追加型株式投信（含むＥＴＦ）の純流入額は７２２２億円。リーマンショック以降では四番目の水準となった。個人マネー流入のけん引役となったのは毎月分配型で、６月の純流入額は７５６９億円。残高は追加型株式投信の約７割を占める３６兆３７８１億円にまで拡大した。

――――引用ここまで――――

 

参照：　http://jp.reuters.com/article/topNews/idJPJAPAN-22088320110707

 

 

特に海外資産に投資する投信が買われたようです。

6月の円/ドル為替は、１ドル80〜82円程度と、前月より円高であり、逆張り傾向の強い個人投資家が「円高の今こそ海外投資のチャンス」とばかりに買い向かったのかもしれません。

 

また、毎月分配型の投信も根強い人気です。

 

毎月分配型は、、「分配利回りが10％超」など分配利回りが高い商品が多いです。

販売会社からすると、売りやすくて、更に手数料も実はよく儲かるため、販売に力が入るのでしょうね。まあ、「分配利回り10%超」といっても、収益を分配しているわけではなく、自らの資産を切り崩して分配金を捻出している投信が多いようです。（一概には言えませんが）

暴落局面での買い推奨には違和感あり

長期投資の期待リターンについて調べていたところ、「気になった」文章があったので、紹介します。
書いたのは「さわかみファンド」のボス、澤上篤人氏で、2008年6月6日のレポートです。
暴落局面での買いを推奨しています。

―――引用ここから―――
われわれ長期投資家は企業を熱く応援しようとする。投資家が応援するのに一番カッコ良くて価値あるのは、猫もしゃくしも売り逃げに走る相場暴落時や不況時だろう。そういった局面で、ドーンと買いにいく。(昨年8月からの総額907億円の買いが、まさしく熱い応援である。)

状況が改善に向い、企業の業績も株価も大きく戻ってくるにつれ、多くの投資家が上昇トレンドに乗ろうと後から後からと買い群がってくる。いわゆる、にわか応援団の出現だ。

その段階になってきたら、われわれ長期投資家は企業の応援をガンガンの強気で買ってくるにわか応援団にまかせてしまう。つまり、すこしずつ利益確定の売りを出していくわけだ。

いずれどこかで経済環境が悪化したりしたら、にわか応援団が真っ青になって売り逃げに走る。そこで買い出動するのが、われら真打の応援団の役割だろうということで。

―――引用ここまで―――

引用元　：　https://www.rakuten-sec.co.jp/web/market/opinion/sawakami/sawakami_20080606.html


言いたいことは、
「私は、株を安く買って高く売る手法を知る、優秀なファンド・マネージャーだ」
というところでしょうか。

ですが、そんなに甘くないと思います。
そもそも、「暴落で下落した株価は、必ず元に戻る」という思想が、気に入りません。
我々が生きている間に、株価が回復するという保証はないのです。

例えば、日経平均の史上最高値は「3万8915 円」で、そこから現在まで、株価は4分の1に下落しました。現状の社会や経済の構造を考える限り、株価が戻り、史上最高値が更新される事は無いはずです。

澤上氏は、暴落時の売り逃げを否定していますが、暴落後であっても、最新の情報に基づき「売るべきだ」と判断したならば、売って損切をするべきです。



余談ですが、「昨年8月からの総額907億円の買いが、まさしく熱い応援である。」とありますが、2007年8月末のさわかみファンドの基準価額は18,623円、一方で、2011年6月29日現在の基準価額は12,401円です。基準価額は、およそ3分の2に減っています。

暴落で、トレンドに逆らい買いを入れると、4年以上引きずる悪い結果になることがあると分かります。

海外の中央銀行、円建て資産急増 円高要因に

2011年6月26日の日経新聞に、海外の中央銀行が、円建て資産を買い増していたことが書かれてありました。

 

―――引用ここから―――

 

海外中銀の円建て資産が急増　日銀が開示、円高要因に

 

海外の中央銀行が保有する日本国債など円建て資産の合計が昨年末時点で約35兆円となり、１年前よりも24.6％（約７兆円）増えたことがわかった。最近４年で２倍以上の増加。海外中銀の円資産を管理する日銀が、日本経済新聞の情報開示請求を受けて、資料を一部開示した。海外中銀の円資産保有の大枠が明らかになったのは初めて。

 

―――引用ここまで―――

 

参照：　http://www.nikkei.com/news/category/article/g=96958A9C93819591E0E6E2E0E78DE0E6E2E4E0E2E3E39F9FEAE2E2E2;at=DGXZZO0195164008122009000000

 

 

外国の中央銀行によって、円建て資産が買われ続けていたようです。

 

やはり外国から見ると、円は魅力的な通貨なのでしょうね。

金利こそ低いものの、デフレ（モノの値段が下がる、つまりお金の価値が上がる）により、円の実質的価値は上がり、これにより、為替差益も期待できます。

 

何より、リーマン・ショックのような、未曽有の金融危機で買われる程、円の価値は安定的だと考えられています。このため、分散投資の観点でも、円は、かなりの活用ができます。

 

 

海外中銀が持つ円建て資産の35兆円は、多いのか少ないのか、分かりませんが、この調子で、円が買われ続けるかもしれません。その場合、円高が進むことが予想されます。

 

外国に投資している、日本国内の投資家にとって、円高は、海外資産を目減りさせる要因で、ありがたくはありませんね。海外の中央銀行の動向には、今後、十分な注意が必要のようです。