ＫＪのきどあいらく

今年の2011と23は素数、何かいいことあるかな〜？

数学講座

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学習指導要領改定に物申す

どうも、ＫＪです。

昨日のニュースに出ていたのでご存知の方も多いと思います。
確か２０１２年だったと思いますが、近いうちに
高校の学習指導要領が改訂されることになります。

メディアはどうしても英語教育の大変革に飛びついて報道していますけどね、
ちゃんと数学のカリキュラム改定にも目を向けてくださいよ、皆さん。

まぁ基本的にはどの教科も「ゆとり路線から大きく舵を切る」という
流れになっていますね。
数学でも複素平面や曲線の長さといった内容が復活、
数学�気鷲�修科目へと変化など、数学教育の方向性を慮る身としては
それなりに喜ばしい変化が見られます。

ただ、ですよ。ここからが問題なのですが、なんと改定案だと
科目として数学Ｃが削除されることになっているんです。
新設科目となる「数学活用」を除けば、高校で行われる数学の科目は
数学�機↓供↓掘■繊■造裡気弔砲覆襪蕕靴い里任垢茲諭�
そして現行の数学Ｃの内容の２本柱のうち、
「２次曲線」は数学�靴瞭睛討飽楾圓気譴襪箸里海箸任垢�、
もう一つの単元の取り扱いがＫＪの見る限りではその５つの中にどこにもないのです。

つまり、「行列」が高校数学から無くなる可能性があるのですよ。
正直言ってこれは一大事だと思います。
行列は線形代数の一番の基本で、大学数学の肝とも言える内容のはずです。
それなのに理系でも大学で初めて行列を習うというのはかなり危険なのではないでしょうか？

はっきり言って行列を不得手とする生徒さんは多いです。
一番扱いの簡単な２次正方行列であっても、です。
そして大学に入ったら行列をバリバリ使いこなせるようになるまで線型代数で鍛えられる。
そんな重要な単元を高校数学で完全削除してしまっていいはずがありません。

まだ改定案なので変更の可能性はあると思いますから、是非とも行列の単元の復活を希望します。
科学技術立国を目指すのであれば文部科学省はまずそういう所から
見直す必要があるのではないでしょうかね？と思うのはＫＪだけでしょうか？

職業として数学教育に携わる機会が無くても、数学教育に関する動向は
常に追い続けていたいなぁと思うＫＪなのでした。

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逆が出来るようになることの大切さ

どうも、ＫＪです。
予備校の仕事をしてきて、ちょっと思ったこと。
（え、修士論文はどうなのかって？ハハハ、たまには息抜き息抜き・・・）

突然ですが、まずは以下の２つの式をご覧下さい。

sinα cosβ + cosα sinβ = ？
cosα cosβ + sinα sinβ = ？

このブログをご覧の皆さんはピンとくるかたの方が多いと思いますが、
２つの式はもちろん三角関数の加法定理のsin(α+β)とcos(α-β)の式ですよね。

ですが普通この公式というのは次のような形で教科書や参考書等に載っているはずです。

sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ

加法定理を習うときは、まず始めにこの公式を使ってsin75°の値などを求める練習を
しますよね。そのときはもちろんこの形で適用すればいいわけです。

sin75°= sin(45°+ 30°) = sin45°cos30°+ cos45°sin30°= (√6 + √2)/4

ですが、そういう練習をするだけでは加法定理に対する習熟度は深まらないと思います。
本当に加法定理に熟達したかどうかは、ＫＪが考える限りは
「最初の２つの式を見てピンと来るかどうか」だと思うのですね。

数学に出てくる公式は「＝（イコール）」で結ばれているものがほとんどです。
このイコールは「左辺と右辺は等しい結果になる」という意味を持つ記号です。
ですから別に「左辺を計算すると右辺になる」という意味だけではありません。
式は必ず左から右に流れるというわけではないのです。
この加法定理の逆からの使用、過去のセンター試験でもバッチリ出ていますよ。
こういう形で加法定理を使いこなすことも、十分な「教科書レベル」なんですね。

つまるところＫＪは何が言いたいのかといいますと、
公式は右から左にも使ってみよということなんです。
そういう逆の流れがきちんとできるようになった人は、きっと数学に強くなるはずです。

「公式を逆に使ってみる」ということの最初のきっかけは
中学３年生で習う「展開と因数分解」でしょう。
展開の逆操作として次に因数分解を習いますが、これがスムーズに出来ない生徒さんは非常に多い。
「展開は出来るけど因数分解が出来ない」という生徒さんは、
きっとまだ展開の理解が不十分なんだと思います。

ＫＪの担当する質問受けの授業は次回からいよいよ積分に入ります。
高校数学の範囲では「積分は微分の逆操作」という形で習います。
（その言い方はあまり正確ではないんですけど、それについて語りだすと長くなるので切ります）
担当の生徒さんは果たしてどの程度スムーズに出来るのでしょうかね？気になります・・・。

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ＫＪから夏休みの宿題

さて、久々に数学関連の記事をＵＰさせてみようかなと思ってみるテスト。

大学院生にとっては９月末までは夏休み、一応フリーですが、
世間で言う夏休みはもう残り１週間を切った頃でしょう。
だからというわけではないですが、
ＫＪからちょっとした夏休みの宿題を出したいと思います。

問題は３問、いずれを解答してもかまいませんし、全部解答してもＯＫです。
形式は論述です。早い話、問題を見ていただければ雰囲気は分かると思います。

第１問：
（分数）÷（分数）の計算法は、
何故「割る分数の分子と分母をひっくり返してかける」なのですか？
小学６年生に分かるように説明してください。

第２問：
（負の数）×（負の数）は何故正の数になるのですか？
中学１年生に分かるように説明してください。

第３問：
中学３年生が分かるように「三平方の定理」を証明しなさい。

コンセプトは「義務教育の過程で何気なく習う事項を改めて考えてみる」です。
数学とは縁のない生活をしている方々にとって、この３つの事柄は
「習った記憶はある、でも理由は知らない、憶えていない」といった感じではないでしょうか？
正直ＫＪ自身、この３つの問いに皆が納得するような
説明をつけることは難しいかもしれません。
ですが解答のＵＰの際は頑張ってやってみたいと思います。

その前に皆様からの解答を募集しますので、チャレンジしたい方は是非コメント欄にて。

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数学トリビア：閏年のヒミツ 解答

遅くなりましたが解答発表。まずは問題の復習から。２月中に発表できてよかったです。

問題：
もし現在の暦のシステムが西暦１年から適用されていたとしたら、
西暦１年１月１日は何曜日になっていたでしょうか？
Hint：２００７年１月１日は月曜日でした

まずはおそらく大半の方がこう答えるであろう誤答を紹介しますね。
×：閏年の数え間違いによる誤答
西暦１年は現在から２００６年前、
１年前の１月１日は１日前にずれているので、
２００７年の日にちから２００６日前にずれていることになる。
ただし閏年にあたる年はさらにもう１日ずれることになるので、その分を加えて考える。
２００７年までにある閏年の回数は、閏年は４年に１回なので、
「２００７÷４＝５０１あまり３」ということで、５０１回。
よって合計で２００６＋５０１＝２５０７日ずれている計算になり、
１週間の日数である７で割ると、２５０７÷７＝３５８あまり１
したがって、２００７年の１月１日である月曜日から３５８週さかのぼって
さらに１日前ということなので、正解は日曜日。

一通り読んでみて、考え方は間違っていないように思いますよね。
ですが、実は閏年の数え方に間違いがあるんです。
皆さん誤解していませんか？「閏年は４年に１回」ではないんですよ。


西暦Ｘ年が閏年であるかの判定法
�仝饗Г箸靴董■悗�４の倍数ならば閏年、そうでなければ閏年ではない
（「閏年が４年に１回」と思われている理由はこれです）
�△燭世掘↓，両豺腓任癸悗�１００の倍数であれば、その年は閏年ではない
��ただし、�△両豺腓任癸悗�４００の倍数であれば、その年は閏年


どうですか？現在の暦では、閏年は実はこういうシステムに基づいて決められているんです。
ちなみにこの暦のシステムをグレゴリオ暦と呼ぶんだそうです。
（もっと深く知りたい人はwikipedia参照　http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8F%E5%B9%B4）
�△鉢�がちょっと分かりづらいかもしれませんが、例を西暦１年から４００年で説明しましょう。
（もちろん、その当時にグレゴリオ暦が適用されていた場合の話ですが・・・）

閏年になる年は西暦４年から始まって原則４年飛ばしで来るわけですが、それが崩れるときが来ます。
西暦１００年、２００年、３００年は４の倍数なのですが、�△離襦璽襪砲茲蝓�閏年ではありません。
しかし、同じ考え方をすれば西暦４００年も閏年ではないかというとそうではなく、
��のルール適用により、西暦４００年は閏年になります。

つまり、閏年は４００年単位で考えるべきなのです。
グレゴリオ暦では４００年に９７回の閏年が来る仕組みになっています。
（４００年の間にある１００個の４の倍数の年のうち、�▲襦璽襪砲茲蝪害麒�抜けるからですね）
ということで、これを踏まえてもう一度２００７年までにある閏年を数えますと、
西暦１〜４００年、４０１〜８００年、８０１〜１２００年、１２０１〜１６００年、
１６０１年〜２０００年の間にそれぞれ９７回ずつ閏年があり、
２００１〜２００７年までには２００４年に１回閏年があっただけなので、
よって９７×５＋１＝４８６回になるわけですね。
つまり２００７年の１月１日からずれる日数は２００６＋４８６＝２４９２日です。
すると「２４９２÷７＝３５６あまり０」なので、単純に３５６週さかのぼるだけなので、
西暦１年１月１日は２００７年１月１日の曜日と同じ月曜日、これが正解です。


今から７年前の２０００年は閏年だったわけで、おそらく大半の方が
それを当然のこととして受け止めていたと思いますが、この日記を読んでくださった皆さんは
それが当然のことではなかったのだ、ということが分かったと思います。
１００の倍数でありながら閏年になるのは４００年に１度なのですから、
そうなる年は２０００年よりも前ならばちょうど４００年前の１６００年ということになります。
１６００年というとちょうど関ヶ原の戦いが行われていた年ですよ。
もちろんその当時を知っている人間はこの世には存在しないわけですからね。
そういう意味でも２０００年は特別な年だったんだなぁと思います。

で、この「２０００年は閏年」問題で一番得をするのは実は我々現代人。
もし自分の生年月日などの２０世紀の年のある日にちの曜日を知りたいと思ったときに、
年をさかのぼって考えるには閏年を考える必要がもちろんあるわけですが、
２０００年が閏年であるおかげで、さかのぼっている間のＸ年間は「４の倍数の年は閏年」という
関係性が保たれているというわけです。アレコレ面倒に考えずにすむわけですね。
カレンダー算が入試に出題される学校を受験しようと思っている小学生の皆さんは、ほっと一安心。

長くなりましたが、閏年のヒミツ、お分かりいただけましたでしょうか？
この問題の拡張として、「西暦、月、日を入力したらそれがグレゴリオ暦で何曜日であるかを
判定できるようなアルゴリズムを作ってみる」なんてのも面白そうだな〜、なんてふと思った、
ＫＪによる数学講座はまた次回。次はちゃんと数学の記事をＵＰしますよ、一応は。

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数学トリビア：閏年のヒミツ

ども、ＫＪです。
今日は久しぶりの数学講座ですけど、話としてはちょっと「数学」っぽくないかもしれません。
２月ということもあり、閏年にまつわるネタを一つ行きます。
さっそく問題！

問題：
もし現在の暦のシステムが西暦１年から適用されていたとしたら、
西暦１年１月１日は何曜日になっていたでしょうか？
Hint：２００７年１月１日は月曜日でした

いわゆる「カレンダー算」というヤツで、中学入試では定番ですよね。
ですがこの問題、実際に入試に出されたとしたら意外と正解率低いと思いますよ。
その理由は次回に紹介することにして、いつもの通り解答募集します。
分かった方はコメントにてどうぞ。

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