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もしも、
ｾｼｳﾑ137 １０㏃／ｋｇの食べ物を、毎日２００ｇずつ食べ続けるとすると・・・。
【 準備 】
微小時間ｄｔ における低減ベクレル数ｄＮ（ｔ）は ある時刻 ｔ におけるベクレル数Ｎ（ｔ）に
比例する。 これを式で表せば、 λ：核種に固有の低減定数
これは、独立変数 t に関する常微分方程式 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/math/b/a/b/bab3a193e8aef1e7ab817cb04ae31356.png すなわち、 ＬogN（ｔ）＝−λｔ＋Ｃ （Ｃ：積分定数） となる。
ここで、 初期条件を ｔ＝０とすると、 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/math/4/5/c/45c10a8724e0ebdee95dcf619200cf34.png
つまり、 ｔ 秒（日）後の ベクレル数は
半減期 は、 時間 t にベクレル数が半分になる時間 t1/2 を代入すれば、その時間での
残留ベクレル数は初期値の半分であるから、 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ja/math/4/7/9/479b39597a2177e8a3508b0a64ec7bfa.png となる。
両辺の自然対数をとって、 Ｌog １／２＝−λ×t1/2 、 t1/2 ＝ （Log２）／λ
対数表 より、 Log２＝０．６９３・・・ だから、 t1/2 ≒ ０．６９３／λ である。
【 本論 】
セシウム１３７の生物学的半減期 t1/2は、
０〜１歳：９日、 ２〜９歳：３８日、 １０〜３０歳：７０日、 ３１〜５０歳：９０日とされる。
※ 以下、ｾｼｳﾑ １３７の物理学的半減期は ３０年なので、物理学的半減期は無視する。
■ 今、３０歳の人が、 毎日 ｾｼｳﾑ137 １０㏃／ｋｇの食べ物２００ｇを、
食べ続けるとした場合の 体内残留ベクレル数を計算してみる。
※ t1/2＝７０日 だから、 ７０ ≒ ０．６９３／λ ∴ λ≒ ０．６９８／７０＝０．００９９・・・
Ｎ（０）＝１０÷（１０００／２００）＝ ２ ㏃
初日に食べたものの ｎ日後の残留ベクレル数は、上の結果から
Ｎ（ｎ）＝Ｎ（０）ｅ＾−λｎ ＠ ｅ＾−λｎ ： ｅ の −λｎ乗
ｍ日目に食べたものの ｎ日後の残留ベクレル数は、 N(ｎ−ｍ＋１） であるから、
2日目、3日目、・・・、ｎ＋１日目に食べたものの 初日から ｎ日後の残留ベクレル数は、
それぞれ Ｎ（ｎ−１）、 Ｎ（ｎ−２）、 ・・・、 Ｎ（０）
すなわち、 Ｎ（０）ｅ＾−λ（ｎ−１）、 Ｎ（０）ｅ＾−λ（ｎ−２）、・・・、Ｎ（０） となる。
そこで、 ｎ日後の体内蓄積量（ベクレル）を Ｓ（ｎ）とすると、
Ｓ（ｎ）＝Ｎ（０）ｅ＾−λｎ＋ Ｎ（０）ｅ＾−λ（ｎ−１）＋Ｎ（０）ｅ＾−λ（ｎ−２）＋・・・＋Ｎ（０）
＝Ｎ（０）（ １ ＋ ｅ＾−λ ＋ ｅ＾−2λ ＋ ・・・ ＋ ｅ＾−ｎλ ）
＝Ｎ（０）・｛１−ｅ＾−（ｎ＋１）λ｝／（１−ｅ＾−λ）
したがって、
1日後（ｎ＝１） Ｓ（１） ＝２（１−ｅ＾−2λ）／（１−ｅ＾−λ）＝２（１＋ｅ＾−λ）≒４㏃
注。 2日目に食べたものも 加わっている。以下同じ。
２０日後（ｎ＝２０） Ｓ（２０）＝２・（１−ｅ＾−2１λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．８１）／（１−０．９９）＝０．３８／０．０１＝３８㏃ ３０日後（ｎ＝３０） Ｓ（３０）＝２・（１−ｅ＾−3１λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．７４）／（１−０．９９）＝０．５２／０．０１＝５２㏃ ３５日後（ｎ＝３５） Ｓ（３５）＝２・（１−ｅ＾−36λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．７）／（１−０．９９）＝０．６／０．０１＝６０㏃
６０日後（ｎ＝６０） Ｓ（６０）＝２・（１−ｅ＾−61λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．５４）／（１−０．９９）＝０．９２／０．０１＝９２㏃
７０日後（ｎ＝７０） Ｓ（７０）＝２・（１−ｅ＾−71λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．５）／（１−０．９９）＝１／０．０１＝１００㏃
８０日後（ｎ＝８０） Ｓ（８０）＝２・（１−ｅ＾−81λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．４５）／（１−０．９９）＝１．1／０．０１＝１１０㏃
１００日後（ｎ＝100） Ｓ（100）＝２・（１−ｅ＾−101λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．３７）／（１−０．９９）＝１．27／０．０１＝１２７㏃
１５０日後（ｎ＝150） Ｓ（150）＝２・（１−ｅ＾−151λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．２２）／（１−０．９９）＝１．56／０．０１＝１５６㏃
２００日後（ｎ＝200） Ｓ（200）＝２・（１−ｅ＾−201λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．１４）／（１−０．９９）＝1．72／０．０１＝１７２㏃
２５０日後（ｎ＝250） Ｓ（250）＝２・（１−ｅ＾−251λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．０８）／（１−０．９９）＝1．85／０．０１＝１８５㏃
３００日後（ｎ＝300） Ｓ（300）＝２・（１−ｅ＾−301λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．０５）／（１−０．９９）＝1．90／０．０１＝１９０㏃
４００日後（ｎ＝400） Ｓ（400）＝２・（１−ｅ＾−401λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．０２）／（１−０．９９）＝1．96／０．０１＝１９６㏃
４５０日後（ｎ＝450） Ｓ（450）＝２・（１−ｅ＾−451λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．０１）／（１−０．９９）＝1．98／０．０１＝１９８㏃ ・・・
以下、２００㏃を超えることはない。
（ なぜなら、
１−ｅ＾−λ≒ ０．０１ 、０＜｛１−ｅ＾−（ｎ＋１）λ｝＜１
Ｓ（ｎ）＝＝Ｎ（０）・｛１−ｅ＾−（ｎ＋１）λ｝／（１−ｅ＾−λ）＜１００・Ｎ（０）＝２００ ） ＠ Ａ＝ ｅ＾ａ とおくと、 ＬogA＝Logｅ＾ａ＝ａＬogｅ＝ａ
λ≒ ０．６９８／７０
対数表から
ｅ＾−λ ＝ ｅ＾−0．698／70 ＝ ｅ＾−0．0099 ≒０．９９
ｅ＾−21λ ＝ ｅ＾−21×0．698／70＝ ｅ＾−0．209 ≒０．８１
ｅ＾−31λ ＝ ｅ＾−31×0．698／70＝ ｅ＾−0．299 ≒０．７４
ｅ＾−36λ ＝ ｅ＾−36×0．698／70＝ ｅ＾−0．359 ≒０．７
・・・
■ 次に、 ９歳の子供が、毎日 ｾｼｳﾑ137 １０㏃／ｋｇの食べ物２００ｇを、
食べ続けるとした場合の 体内残留ベクレル数 上の式 t1/2 ≒ ０．６９３／λ
Ｓ（ｎ） ＝Ｎ（０）・｛１−ｅ＾−（ｎ＋１）λ｝／（１−ｅ＾−λ）
から、 ９歳の子供の生物学的半減期 t1/2 は ３８日だから、
３８ ≒ ０．６９３／λ ∴ λ≒ ０．６９８／３８＝０．０１８・・・
したがって、
１日後（ｎ＝１） Ｓ（１）＝２（１−ｅ＾−2λ）／（１−ｅ＾−λ）＝２（１＋ｅ＾−λ）≒３．９６㏃
２０日後（ｎ＝２０） Ｓ（２０）＝２・（１−ｅ＾−2１λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．６８）／（１−０．９８）＝０．６４／０．０２＝３２㏃
３０日後（ｎ＝３０） Ｓ（３０）＝２・（１−ｅ＾−3１λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．５７）／（１−０．９８）＝０．８６／０．０２＝４３㏃ ３５日後（ｎ＝３５） Ｓ（３５）＝２・（１−ｅ＾−36λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．５２）／（１−０．９８）＝０．９６／０．０２＝４８㏃
３８日後（ｎ＝３８） Ｓ（３８）＝２・（１−ｅ＾−39λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．４９）／（１−０．９８）＝１．０２／０．０２＝５１㏃ ・・・
１００日後（ｎ＝100） Ｓ（100）＝２・（１−ｅ＾−101λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．１６）／（１−０．９８）＝１．６８／０．０２＝８４㏃
・・・
２５０日後（ｎ＝250） Ｓ（250）＝２・（１−ｅ＾−251λ）／（１−ｅ＾−λ）
≒ ２・（１−０．０１）／（１−０．９８）＝１．９８／０．０２＝９９㏃
・・・ 以下、１００㏃を超えることはない。 （ なぜなら、
１−ｅ＾−λ≒ ０．０２ 、０＜｛１−ｅ＾−（ｎ＋１）λ｝＜１
Ｓ（ｎ）＝＝Ｎ（０）・｛１−ｅ＾−（ｎ＋１）λ｝／（１−ｅ＾−λ）＜５０・Ｎ（０）＝１００ ） ＠ Ａ＝ ｅ＾ａ とおくと、 ＬogA＝Log ｅ＾ａ＝ａＬogｅ＝ａ
λ≒ ０．６９８／３８
対数表から
ｅ＾−λ ＝ ｅ＾−0．698／38 ＝ｅ＾−0．018＝０．９８
ｅ＾−21λ ＝ ｅ＾−21×0．698／38＝ ｅ＾−0．386 ≒０．６８
ｅ＾−31λ ＝ ｅ＾−31×0．698／38＝ ｅ＾−0．569 ≒０．５７
・・・
■ ５０歳の場合 １０００㏃を超えることはない
３００日後 ―― ９００㏃、 ５００日後 ―― ９８０㏃、・・・
（ なぜなら、
９０≒０．６９８／λ λ≒０．００７８ 、 ｅ＾−λ ＝ｅ＾−0．0078＜０．９９８
１−ｅ＾−λ＞０．００２ 、０＜｛１−ｅ＾−（ｎ＋１）λ｝＜１
Ｓ（ｎ）＝＝Ｎ（０）・｛１−ｅ＾−（ｎ＋１）λ｝／（１−ｅ＾−λ）＜５００・Ｎ（０）＝１０００ ）
「２．汚染地域における生活 ２．２被曝の特性 ７」 P２８ では、
 ※ 毎日、１００㏃／ｋｇのものを ２００ｇ食べたときは、 ↑の数字を １０倍すればよい。
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λとかθとかκとか、夢に出て来そうです。
痺れてしまう計算ですねぇ、ご尊敬申し上げます。
血液に取り込まれ、内蔵に蓄積した放射能は体外に
排出され難いので、体内に留まり放射線を出し続けるので
細胞を激しく破壊するのですよねぇ。
細胞は再び再生しますが、その時点で染色体が壊れていたら
間違った情報から細胞が作られてしまい、それが悪性の腫瘍に
なってしまったり、遺伝情報が壊れた侭で増殖すると
致命的な病に罹ったり、子孫に受け継がれたりするのですよね
放射能が崩壊する時に放たれる放射線の量をベクレルの
単位で現しているのですよねぇ。体内で弾けるなんて
考えただけで、非常に身体に悪そうですよね。
こんな無学な私で、ごめんなさい。ポチッ
2012/8/23(木) 午後 7:15
sukisukiscript さんへ。こんばんわ。
どうも、放射能で もうコリゴリなのに、数学でも悪夢にうなされるような
ことを仕出かして、申し訳ありません。
計算間違いor思い違いがあったら指摘して欲しいのですが、ちょっと、昔のことを
思い出しながら、計算してみました。
生物学的半減期というのが、セシウムの食物摂取による内部被曝のミソになり
ますね。 もう少し、このことを追求してみたいと思っています。合掌
2012/8/23(木) 午後 11:42 [ kyomutekisonzairon ]
【ＩＣＲＰの資料について】
１日１０㏃を摂取し続けた場合、ICRPの資料では、６００日後に 約１４００㏃で
飽和するとされています。ところが、私の計算では、１０００㏃です。
これは、私は 一日分のＣｓ137の食物摂取量を２００ｇとしていますが、ICRPは
摂取量が示されていず、より多くの量を摂取しているためと思われます。
以下、興味深い資料の記述を 少し引用します。
＞ ﾁｪﾙﾉﾌﾞｲﾘ事故から２０年後、ﾁｪﾙﾉﾌﾞｲﾘ周辺の汚染地域における成人のＣｓ137
の典型的な平均日常摂取量は １０〜２０㏃の範囲である。
また、付加的なより高い一回摂取は、例えば 野生キノコやベリー類の経口摂取
による数１００㏃の範囲が一般的である。これによる年間実効線量は ０．１ｍ㏜
程度である。
しかしながら、情報をほとんど得ていない一部の者や非常に特殊な食習慣を
もつ者は １００㏃から数１００㏃の範囲の日常摂取量を示す場合がある。
これは、１ｍ㏜〜数ｍ㏃の範囲の年間実効線量に相当する。
2012/9/3(月) 午後 5:39 [ kyomutekisonzairon ]
↑のＩＣＲＰの資料と私の計算の齟齬についての記述の訂正。
＞これは、私は 一日分のＣｓ137の食物摂取量を２００ｇとしていますが、
ICRPは 摂取量が示されていず、より多くの量を摂取しているため・・・
――― この記述は、ピントがずれて不明瞭です。
根本的には、ICRPの資料には 摂取者の年齢が記されていないことでしょう。
私の計算では、１日２㏃ずつ摂る場合の計算で、ICRPのものは１０㏃ずつです。
したがって、私の計算結果の値の５倍の数値で ICRPの資料を見なくては
なりませんでした。
そこで、私の計算を見ると ICRPのものに一番近いのは ３０歳の人の場合
ということになります。合掌
2012/11/4(日) 午前 9:53 [ kyomutekisonzairon ]