芳沢光雄ほのぼの日記

ガロア理論の本

4月末に出版した専門書「今度こそわかるガロア理論」（講談社サイエンティフィク）は、桜美林大学数学専攻の学生の懇願もあって（勇気ある学生の名前は前書きに記載）、昔を思い出しながら執筆した書です。専門的な書ゆえ、出版できたことで十分に満足していました。そして本書に限っては、増刷は絶対にあり得ないと思っていました。ところが、出版と同時に増刷になって、あり得ないことが起こったと感じています。

　私の古巣の置換群論を前面に出して、また以下のコンセプトをもって執筆しましたが、不思議でなりません。

①線形代数学や微分積分学以外の予備知識は一切仮定しないで，とくに説明が丁寧な数学書として完成させること。

　②ガロアの基本定理や方程式の可解性を述べる定理まで，論理的に一歩ずつきちんと組み立てること。（数多くの例を含めて全部に丁寧な証明を記述。）

　③群論のシローの定理や可解群の説明はしっかり述べる一方で，ガロア理論を理解する上で直接には関係しない周辺の代数学の内容までは，あまり深入りしないこと。

　④多くの数学的読み物に書かれている3次方程式のカルダノの方法や4次方程式のフェラリの方法は取り上げないが，その一方で代数的に解けない方程式の例は，証明を付けて積極的に紹介すること。（5以上の任意の素数ｐに対しガロア群が対称群Sｐになる方程式や、ガロア群が線形群GL（3，2）になる方程式、等々。）

　日本人の知的好奇心の凄さに感心すると同時に、今年は世界情勢を含めて、どうやら異変だらけの年になりそうな予感がします。

　なお、「今度こそわかるガロア理論」を本気で学びたい桜美林大学の学生に対しては、人数に制限なく特別にタダでプレゼントしています。もっとも、これは桜美林大学だからこそできることであって、前本務校の東京理科大学で同じことをやれば、私は破産？するかも知れません。

今度こそわかるガロア理論

学生の要望に答える形で、4月に講談社サイエンティフィックから『今度こそわかるガロア理論』を出版します。コンセプトは以下の①〜④です。

　①線形代数学や微分積分学以外の予備知識は一切仮定しないで，とくに説明が丁寧な数学書として完成させること。

　②ガロアの基本定理や方程式の可解性を述べる定理まで，論理的に一歩ずつきちんと組み立てること。

　③群論のシローの定理や可解群の説明はしっかり述べる一方で，ガロア理論を理解する上で直接には関係しない周辺の代数学の内容までは，あまり深入りしないこと。

　④多くの数学的読み物に書かれている3次方程式のカルダノの方法や4次方程式のフェラリの方法は取り上げないが，その一方で代数的に解けない方程式の例は，証明を付けて積極的に紹介すること。

　また目次は以下です。

１章　基礎的準備

１．１　記法

１．２　集合と写像

１．３　線形代数学の基礎的性質と代数学の基本定理

１．４　群・環・体の定義

２章　群

２．１　部分群と巡回群

２．２　剰余類

２．３　正規部分群と剰余群

２．４　交代群Aｎの単純性

２．５　準同型写像と同型写像

２．６　直積

２．７　ｐ‐群とシローの定理

２．８　交換子群と可解群

３章　環

３．１　イデアル

３．２　剰余環と準同型定理

３．３　素イデアルと極大イデアル

３．４　一意分解整域

４章　体の拡大

４．１　標数

４．２　代数拡大

４．３　分解体

４．４　分離的拡大

４．５　有限体

４．６　単純拡大と正規拡大

５章　ガロア群と方程式

５．１　ガロアの基本定理

５．２　方程式の可解性と素数次方程式の例

５．３　ガロア群がGL（３，２）となる多項式の決定方法

　前後して、以下の書の出版や教育系の拙文も発表します。

『リベラルアーツの学び』（岩波ジュニア新書）

『文化情報学辞典』（共著　勉誠出版）

「日本の数学教育の流れと課題」（数学セミナー４月号）

　興味のある方は、どこかで読んでいただければ幸いです。

11月10日（金）に東海地方数学教育会で講演

11月10日（金）に東海地方数学教育会で講演

 

　11月10日（金曜日）に、東海地方数学教育会　第64回三重大会で講演を行いました（会場は松阪市立第五小学校の体育館、演題は「大切にしたい算数の発想」）。対象は、愛知・岐阜・三重の東海三県の小学校・中学校・高等学校の算数・数学教員で、多くの先生方にお集まりいただきましたが、私の講演ということで皇學館大学の学生さんも、わざわざ講演を聞きに会場まで来られたことは大変嬉しく思いました。

　振り返って、愛知、岐阜、三重の三県ではいろいろな思い出がありました。愛知では、県の高校数学研究会、名古屋市や豊田市での研修会、私立学校の研修会などの講演で何回も訪ねました。1996年3月16日に愛知県の私立学校の数学教員の研修会に招かれ、私の人生最初の現場の先生方を対象とする講演となりました。最初の講演ということもあって、正直な気持ちとして下手だったと思います。しかし講演後に先生方皆様と一杯飲みに出掛けに行き、次の2つの話が私の心に強い火をつけたことは確かでした。

愛知県では当時、県立高校の数学教員の新規採用が年に1人とか、0採用に近い状況であったこと。1990年代前半の学習指導要領の改訂時に高校家庭科が男子も必修になり、「数学は不要」ということから高校の数学教員が肩叩きにあって家庭科の免許を急遽取らされ、家庭科の教員に変身させられた事例が日本全国として見るとかなり多くあったこと。しかもテレビニュースでは、数学教員がエプロンを着せられて「これも人生です」と面白おかしく言わされた事例もあったこと。

　岐阜県では、2004年1月31日に岐阜県の小・中・高の合同の研修会で講演しましたが、岐阜大学教育学部を中心にしてよくまとまっていることに驚きました。小・中・高の合同の研修会を積極的に開催している岐阜県や愛媛県などの研修会での講演を通して、小・中・高の合同の意義を次第に理解してきました。それは、算数や数学は一歩ずつ積み重ねる教科なので、小・中・高の教員の交流は、様々な情報交換が行われてとてもプラスになるからです。

三重県では、07年12月26日に「三重県・数学を楽しむ高校生のセミナー」で講演したことが忘れられません。県下の優秀な生徒が積極的に参加したセミナーで、「さすが違うね」というものを痛感したものです。その数年後、講師で授業を担当している同志社大学理工学部数理システム学科での授業が終わると、一人の学生が私の所に駆け寄ってきて「先生、僕を覚えていますか。あの三重県のセミナーに参加した者です。それがきっかけで同志社の数理で学んでいます」と言うのです。こんな素晴らしい再開があるから、出前授業は夢があるのです

今回の松阪での講演では算数を全面的に訴えましたが、結局、算数こそが最も大切、という考えに至ったことが根本にあります。

お菓子で学ぶ数学講座

昨年、You Tube　にも載せていただいた「芳沢教授のサイコロキャラメル講座」（道南食品）が少し話題になったこともあって、昨日、同じく函館の道南食品に訪ねて、新たな動画の準備をしてきました。今度は道南食品のチョコレートを使っていくつかの楽しい数学の話題を紹介します。こちらは、3月辺りに You Tube に載せていただく予定です。今日は大沼公園に行って、結氷していないところで遊んでいるオオハクチョウ、カルガモ、マガモをのんびり見てきました。静かな湖畔は落ち着くもので、時間があればしばらく滞在したい気持ちになりました。

数学用語の定義・意味を大切に！

　数学の世界で生きてきた私からすれば、数学用語や社会での言葉の定義を大切にすることは当然のことであり、今日までその点を気に留めることはありませんでした。ところが最近になって、私の数学教育人生で大きな衝撃を受けたのです。それは、9月に出版した「生き抜くための高校（中学）数学」の2冊は、数式の展開や生きた題材例の面白さが読者に伝わることを期待した書でしたが、出版後に寄せられた昔の教え子からの感想の多くは、「数学用語の定義とその意味の説明が丁寧である」という、私からすれば当然のことに対する評価でした。そこで不思議に思って、用語の定義・意味という点に絞って、最近の中高生の学び方について精力的に調べました。その結果、用語の定義・意味を軽んじた学びがあらゆる面に浸透していることに気付いたのです。多くの大学の入試数学問題で記述式重視を打ち出せば、用語の定義・意味を重んじた学びに変わっていくと期待できるでしょう。