芳沢光雄ほのぼの日記

センター試験数学裏技

本日のセンター試験の数学ＩＩの問３の（３）ですが、問題を見たとたんに「これは、また解けなくても解ける問題」だと瞬時に分かりました。まず、グラフの合成が分かる人はちょっとフリーハンドで描けば直ぐに②を得ます。

一方、グラフの合成が気付かなくても、π＜ｘ＜２πではsinｘが負なので、③、④、⑤が正解から排除されます。⓪のｙの絶対値を見ると、ｘがπ/2とπ辺りでほぼ同じです。しかしｘ＝π/2ではｙ＝２、ｘ＝πでは−１なので、⓪は候補から外れます。①に関しても、同様にｙの絶対値を見ると、ｘがπ/2と２π弱の辺りでほぼ同じです。しかし、これもsinｘの２π弱の辺りの値を考えると外れます。したがって正解の②を得ます。いずれにしろ、（１）と（２）は使わずに正確ではないものの、（３）の正解が②であることがバレます。

このような形で正解を見つける力を付けることよりも、やはりプロセスを踏んで論述でしっかり書くこと、あるいはプロセスを踏んで図をしっかり描いたりすることが大切だと考えて、私は「論理的に考え、書く力」（光文社新書）を昨年１１月に出版したのです。

 

兵庫県数学教育会高等学校部会阪神支部研究会

　兵庫県数学教育会高等学校部会阪神支部研究会での講演で、芦屋まで行ってきました。

会場の西宮北高校は、いわゆる芦屋の住宅街の近くの高台にあって、眺めは最高の学校でした。

昔、出前授業に何回か行った広島県福山市にある盈進中学・高校もそのような立地で、通学・通勤は大変でも、講演に行くには楽しい学校でした。恐らく、そのような周囲の眺めが素晴らしい学校の生徒は、心の面でもプラスになるのではないか、と考えていました。

　今年は、福島、沖縄、神戸という震災や戦災で忘れてはならない土地で講演できたことを思い返すと、来年はもっと頑張って活動しなくては、と思って帰宅した次第です。

同志社大学ハリス・フォーラム

昨日、同志社大学ハリス・フォーラムの講演で京都を往復しました。講演者は以下の５人でした。

宍倉　光広（京都大学）
藤井　一幸（横浜市立大学）
新井　仁之（東京大学）
三井　斌友（同志社大学） 

芳沢　光雄（桜美林大学） 

　宍倉先生のお話しは力学系におけるｎ体問題、とくに３体問題を、手作りの二重振り子を実際に動かして面白く説明していただきました。藤井先生は量子計算への夢を語っていただき、シンガポールの国の威信をかける研究体制のお話しには驚きました。新井先生には広く国民全体が興味をもつようになった錯視について、分かり易い解説と研究の現状を解説していただきました。三井先生には、「はやぶさ」の軌道計算と数値解析の歴史的な流れを、注意すべき点を強調して説明していただきました。私は「論述」の教育や試験の意義を様々な視点から述べました。

　今から7年前に同志社大学理工学部で設置された数理システム学科は、私が予想し期待する以上に発展していることを痛感した一日で、久しぶりに感激して東京に帰ってきました。

無限と有限のあいだ

5月の中旬過ぎにPHPサイエンスワールド新書から出版する「無限と有限のあいだ」の最終著者校正が、昨日無事に終わりほっとしました。最近、本を街の書店でなくネット書店で購入する人が増えてきましたが、とくに数学書はレベルがマッチしていないとまずいと思います。そこで、「易し過ぎる」とか「難し過ぎる」と後で思われても残念なので、本の前書きと章と節の題を以下、書きます。本のミスマッチが無くなることを、ここに祈ります。なお、倍倍賭けのマーチンゲール法から導入するε‐δ論法の部分は、地味ですが必見としたい部分です。また多くの定理には、可能な限りていねいな証明を付けました。

まえがき

 

　数学教育活動を始めて20年近くになるが、その間、著書・雑誌・新聞等で身近にある数学や論述の重要性などを訴えてきた一方で、全国の教員研修会での講演と出前授業を合わせて年間10〜20回ぐらいお引き受けしてきた。どれも感動的な思い出が残るが、平成20年度に静岡県の磐田南高校SSH（スーパーサイエンスハイスクール）記念講演会は「私でよかったのだろうか」という気持ちがあった。それは平成15年度から江崎玲於奈、白川英樹、松井孝典、長谷川真理子、松沢哲郎という理科関係の偉い先生方ばかりだったからである。

　実は平成24年度にも同じようなことが起こった。茨城県の清真学園高校SSH科学講演会に招かれたとき、「福岡伸一先生にも来ていただいたことがあります」と言われ、歴史的な名著『生物と無生物のあいだ』（講談社現代新書）が頭に浮かんだのである。「どうしようか」と迷った瞬間に、「自分だったら『無限と有限のあいだ』があるかな」と思ったのである。

　振り返って、小学6年生のときに友人からユークリッドの論法による素数が無限個存在する証明を教えてもらったときの大感激が、自分の数学（教育）人生に大きく影響している。様々な組合せ構造を考えるとき、「それは無限個あるか有限個しかないなのか」という疑問をいつも抱いた。その過程で「おお、この対象は有限個で決定できる」と心が躍った瞬間に整数のペル方程式が現れて、がっかりしたことも何回かあった。オイラーの36人士官の問題が起源となるラテン方陣の完全直交系の問題を解決できないか、という夢に飛び込んでみたこともある。

高校生の頃、カントールの対角線論法を知り、ユークリッドの論法を知って以来の大感激を味わった。学生時代に微分積分学の基礎となるε‐δ論法を学んだとき、「これは有限の世界の言葉で無限の世界の言葉を厳密に述べている」と畏敬の念をもったこともある。「円の面積や球の体積の導入で積分を用いる方法には、循環論法になっている部分があるのではないか」という疑問を出されたとき、そうでない証明を慌てて必死に書いたこともある。無限次4重可移置換群の奇妙な定理の証明を思いついた直後の食事で、手が震えて茶碗を落として割ってしまった。

そのような背景もあって、清真学園高校SSH科学講演会をお引き受けすると同時に本書編集担当の水野寛さんに連絡を入れ、前著『人はなぜ数学が嫌いになるのか』に続く数学教育関係の企画を下ろしていただき、本書『無限と有限のあいだ』の執筆を決定したのである。

本書では上で述べた事項を中心に語るのであるが、数学書では予備知識を明示することが大切で、本書では戦後の中学数学と高校数学全般を仮定したい。すなわち、拙著『新体系・高校数学の教科書（上・下）』と『新体系・中学数学の教科書（上・下）』（ともに講談社ブルーバックス）を一通り仮定して、それらにない内容は定義からしっかり述べることにする。

読み方であるが、1章→2章→3章→4章の順でもよく、3章→1章→2章→4章の順でもよいように説明を工夫した。また証明を全部理解しながら読むことは時間的に難しいと思われる読者は、とくに理解したい定理の証明を除き、定義と例と定理の結果を中心に読み進めていくことで、本書としての面白さは十分に実感できるように述べたつもりである。もっとも4章では、奇妙な定理の結果の意味を知る上では、2行2列の行列の知識から組み立てた2次射影一般線形群に関係する部分も、飛ばして構わない内容である。

本書を通して、無限と有限のあいだにあるロマンに触れていただければ幸いである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　章と節の題

第１章　 整数における無限と有限

素数と双子素数／ピタゴラスの数／整数の１次不定方程式／ペル方程式／Ｚｍの導入

第２章　離散数学における無限と有限

正多面体とグラフ／あみだくじから導入する置換群／頂点可移グラフと距離可移グラフ／離散数学最大の未解決問題

第３章　解析基礎における無限と有限

個数としての無限と状態の変化としての無限／有理数の集合と実数の集合／無限小数と級数／循環論法を回避する円の面積

第４章　無限置換群の世界

　置換群の基礎的事項／無限次４重可移置換群の奇妙な定理　

数学会での講演

3月22日に、日本数学会年会（京都大学）における教育委員会主催シンポジウムで、「入試改革を通して『説明力』を訴える」という題で講演しました。桜美林大学リベラルアーツ学群の一般入試3日目の数学が、全問マークシート式から全問記述式になったことを踏まえたスピーチとなりましたが、予想外に参加者皆様に喜んでいただき、「お引き受けしてよかった」と思った一日でした。

咲き始めた鴨川の桜も美しく、別れの3月から新学期を迎える春を感じる一日でした。