テンソル代数

たまには良い事しようと思って後輩のレポートを見てあげたときの話。

●問題●
レビ・チビタ接続はアファイン接続になっていることを示せ。

問題文に知らない用語が二つも入ってますね。これは難問ですよ。
まずはこれらの定義を調べるところから始めなければなりません。

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滑らかなm次元多様体Mの可微分構造によって決まるm次元
ベクトル束T(M)上の接続を『アファイン接続』という。

Mをm次元一般リーマン多様体としたときM上に捩率が０で、かつ
計量的である接続が一意的に存在し『レビ・チビタ接続』という。
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だそうです。調べる前よりも知らない用語が増えてしまいました。
ここまでくると、何から調べれば良いかわからなくなりますね。

もう少し見ると、アファイン接続は可微分多様体上のテンソル場
を微分するために与えられた構造であるということなので、まずは
聞き覚えのある多様体とテンソルを一から勉強し直すことに。

そこで『ベクトル解析３０講』を図書館から借りてきました。

ベクトル空間Vから始まり、Vの双対空間のk個の直積集合上で定義
されるk重線形関数の作る空間としてVのkテンソル空間を定義し、
その系列の直和として与えられたテンソル代数を、V上の同じ元の
テンソル積から生成されるイデアルで割ることで、外積代数と
よばれる有限次元代数を構成するところまで順に見ていきます。

一つ面白いと思ったのは、x×y×xのような元は、外積代数上に
移ると0になるはずなのに、テンソル代数上ではイデアルには
一見含まれないように見えるという点ですね。

Ｎ村くんが、イデアルに属する元の和の形で表現できることを示し
解決しましたが、こんなの気づけませんよ。なかなかやりますね。

レポート期限には間に合いませんでした。