稲葉のパズル談話室

テンソル代数

たまには良い事しようと思って後輩のレポートを見てあげたときの話。

●問題●
レビ・チビタ接続はアファイン接続になっていることを示せ。

問題文に知らない用語が二つも入ってますね。これは難問ですよ。
まずはこれらの定義を調べるところから始めなければなりません。

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滑らかなm次元多様体Mの可微分構造によって決まるm次元
ベクトル束T(M)上の接続を『アファイン接続』という。

Mをm次元一般リーマン多様体としたときM上に捩率が０で、かつ
計量的である接続が一意的に存在し『レビ・チビタ接続』という。
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だそうです。調べる前よりも知らない用語が増えてしまいました。
ここまでくると、何から調べれば良いかわからなくなりますね。

もう少し見ると、アファイン接続は可微分多様体上のテンソル場
を微分するために与えられた構造であるということなので、まずは
聞き覚えのある多様体とテンソルを一から勉強し直すことに。

そこで『ベクトル解析３０講』を図書館から借りてきました。

ベクトル空間Vから始まり、Vの双対空間のk個の直積集合上で定義
されるk重線形関数の作る空間としてVのkテンソル空間を定義し、
その系列の直和として与えられたテンソル代数を、V上の同じ元の
テンソル積から生成されるイデアルで割ることで、外積代数と
よばれる有限次元代数を構成するところまで順に見ていきます。

一つ面白いと思ったのは、x×y×xのような元は、外積代数上に
移ると0になるはずなのに、テンソル代数上ではイデアルには
一見含まれないように見えるという点ですね。

Ｎ村くんが、イデアルに属する元の和の形で表現できることを示し
解決しましたが、こんなの気づけませんよ。なかなかやりますね。

レポート期限には間に合いませんでした。

マインスイーパ

「マインスイーパ」ってあるじゃないですか。
数字をヒントに爆弾を探してくっていうアレです。

あれを進めていく途中で理詰めではどうしてもわからない
運に頼らざるを得ない箇所が現れることってありますよね。
で、そういう箇所が現れたらとりあえずそこは後回しにして
他のわかりそうなところから少しずつ埋めていくと。

でもこれってゲームをクリアするという目的においては
とっても非効率的なんですよね。純粋にゲームを楽しむ
というのであればそれでも良いんですけど。

良いですか。考えてもみてください。
いくらゴールに近づいたとしても最後には自分の意志だけでは
どうにもならない残った箇所を開かざるをえないんですよ。
そこで失敗したら終了。今までの努力は全て水泡に帰します。

だから本来取るべき戦略は、運に頼らざるをえない部分が
現れたら即座に潰すことです。失敗しても最初の方なら
それほどコストをかけることなく新たなゲームに取り掛かる
ことができます。一ゲーム当たりの成功確率が同じならば
かける時間が少ない方が、ゲーム回数を増やすことができて
早い段階でクリアを達成できるとこういう理屈ですね。

頭では理解してはいるんですよ。
でもやっぱりそんな簡単には割り切れませんね。
せっかく進めた盤面を簡単に失いたくないじゃないですか。
あとちょっとのところまで行けば、正解がわからなくても
気迫で何とかなるって信じたくなるんですよね。

まあ冷静に考えれば単なる幻想なんですけど。

結婚までのみちのり

少し前のニュースで少々興味深いデータがあったので紹介します。

既婚の男女４６３人を対象に結婚に至るまでに交際した人数を
調査したアンケート結果です。結果はこちら↓

付き合った何人目の相手と結婚したか
人数　割合

1　　0.143
2　　0.164
3　　0.225
4　　0.145
5　　0.112
6　　0.058
7　　0.060
8　　0.030

これを見ると３人目で結婚に至った人が
割合として最も多いことがわかります。

このパーセンテージを元にして、n-1人目まで見送ったときに
n人目で結婚を決める割合を計算すると次のようになります。

人数

1　　0.143
2　　0.191
3　　0.325
4　　0.310
5　　0.347
6　　0.284
7　　0.384
8　　0.323

一人目と二人目だけが極端に低く、
あとは大体３分の１ぐらいで安定してますね。

これを見て、秋山仁の最適お見合い戦略を想像した人は
きっと自分だけではないはず。

・N人の相手と一人ずつお見合いをする。
・一度断った相手はもう選べない。
・あるところでOKしたら以降の人とは会えない。

というルールの下で、なるべく自分の希望に沿う人と
結婚するためのアルゴリズムを与えよという問題です。

たとえばN=20だと次のような戦略が最適になります。

(1)最初の５人は無条件で見過ごす
(2)１０人目までは、それまでで１番だと思ったら結婚する
(3)１３人目までは、それまでで２番目以上だと思ったら結婚する
(4)１５人目までは、それまでで３番目以上だと思ったら結婚する
(5)１６人目までは、それまでで４番目以上だと思ったら結婚する
(6)１７人目までは、それまでで５番目以上だと思ったら結婚する
(7)１８人目までは、それまでで７番目以上だと思ったら結婚する
(8)１９人目までは、それまでで１０番目以上だと思ったら結婚する
(9)２０人目はどんな相手でも結婚する

これで、自分の中の順位が期待値３位以内の人と結婚できるそうです。

現実世界だとNがいくつになるかわかりませんが、上位３分の１ぐらいを
目指そうとすると、上のアンケート結果と合致するように見えます。
本能的にそのような戦略が備わってるとしたら面白いですね。

それからN=∞でも期待値が約４位以内になる戦略が存在するらしいので
とにかく理想を追求したい人がいたら挑戦してみてください。