正方形の連続（解答編）

問題

一辺の長さが１０cmの正方形がある。この対角線を一辺として、右回りに正方形を描くことを繰り返す。１１個の正方形が出来上がったとき、この図形の面積を求めよ。ただし、重なって見えない部分は考えない。

解答

逆に一番大きな正方形から考えていくと、描き始めて５番目の正方形より小さい部分は、重なって隠れてしまいます。一回の操作で正方形は√２倍ずつ大きくなるので、一番大きな正方形は（√２）＾１０＝３２倍の大きさになります。

ここでは正方形と間にある三角形に分けて計算します。

正方形四つは、４分の１ずつ面積が小さくなるので、

１＋（１／４）＋（１／１６）＋（１／６４）

また、正方形の間にある三角形も４分の１ずつ面積が小さくなるので、

（１／８）＋（１／３２）＋（１／１２８）

これらを足して、一番大きな正方形の面積をかけると、

（１＋（１／４）＋（１／１６）＋（１／６４）＋（１／８）＋（１／３２）＋（１／１２８））×３２＾２×１０＾２
＝（１２８＋６４＋３２＋１６＋８＋４＋２＋１−６４）／２＾７×２＾１０×１００
＝（２５６−１−６４）×２＾３×１００
＝１９１×８×１００
＝１５２８００

よって答えは１５２８００平方センチメートルです。

[スモークマン]

次の正方形の面積は2倍になりますよね？
だから、
1+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+(1/2)^5+(1/2)^6
=(2^7-1)/2^6
これに、2^10 を掛ければいいから、、、
2^11-2^4=2048-16=2032
ではないのかな・・・？

スモークマンさん＜＜重なったところまで含めればそれでいいですが、今回は全体を重なったところは無視して考えるので、上のような計算になります。

[スモークマン]

重なったところは考えていません...^^;
それに、、、わたしの方が面積は小さいし...
何かミスってますでしょうかしら・・・^^;?
最後の正方形の面積の1/4 の次はその1/2ずつなのでそれを加えただけなんですが・・・

スモークマンさん＜＜すいません。重なる云々は私の読み間違いです。

1+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+(1/2)^5+(1/2)^6
この式は、

(1+(1/2)+(1/2)^2+(1/2)^3+(1/2)^4+(1/2)^5+(1/2)^6)-(1/2)=(2^7-1)/2^6-(1/2)

となるはずです。