一億（解答編）

問題

１から１億までに出てくる整数に使われているすべての数字の和を求めよ。

例　１１から１２までだと

１１→１＋１、１２→１＋２

だから　１＋１＋１＋２＝５

難易度：高校生レベル

解答

０から数えても、答えに影響しないので０から数えることにします。

０〜９までの和は４５です。次に０〜９９までの和を考えると、一の位は０〜９が１０回と、十の位は０〜９が１０回出てくることになります。よって、０〜９９までの和は、４５×２０になります。

以下同じように計算していくと、

０〜９　４５
０〜９９　４５×２０
０〜９９９　４５×３００
０〜９９９９　４５×４０００
０〜９９９９９　４５×５００００
０〜９９９９９９　４５×６０００００
０〜９９９９９９９　４５×７００００００
０〜９９９９９９９９　４５×８０００００００

です。最後の和に１００００００００の分の１を加えればいいので、答えは３６億１です。

ちなみに、Ｓｎを０から９がｎ個続く数までの数字の和とすると、

Ｓｎ＝４５×ｎ×１０＾（ｎ−１）

となります。

ここからは、先生の解法。

０から９９９９９９９９までの数字を並べ、反対に９９９９９９９９〜０までの順で数字を上下に並べます。

　　　　０　　　　　　　　１　　　　　…
９９９９９９９９　９９９９９９９８　　…
　　　　７２　　　　　　　７２　　　　…

ここで上下の数字の和は、必ず９を８個分になるので、その和は７２になります。これが、１億個続きますので、その和は７２億。これは求めたい和の二つ分ですから、０〜９９９９９９９９までの数字の和は３６億。これに１億の分の１を加えて３６億１となります。こちらの方は５秒でできます。すばらし。

[スモークマン]

なるほど♪
華麗ですね・・・わたしは勘違いしてたようです...^^;

スモークマンさん＜＜これはすごいですね。これぞ数学！そんなかんじです。