数学の美しさ

数学の世界では美しさを感じることが出来ない人は決して大きな仕事ができないと、述べています。そしてその美しさを感じる力を養うには読書が欠かせないと。つまり数学で成果を挙げるためにも国語能力がその基盤を支えているということです。わたしもこの考えに賛成です。

数学の世界はたいへん整っていて美しい世界です。複素数の世界を学んで驚いたことは、代数関数、三角関数、指数関数がたがい美しい関係式でつながっているっているということです。

これは近似しているということではありません。二つの関係が厳密に一致することが証明されています。実数の世界ではじめ二次方程式や円の方程式などを学びます。やがて円の方程式と三角関数の関係を学んでゆきます。

三角関数は天文学の要請で直角三角形の二辺と角度の関係を詳しく調べたことにその源があるといいます。そしてやがて三角関数は周期関数として独自の分野を確立しました。

それとは別に指数関数、対数関数がでてきます。広い範囲の数値を取り扱うのに都合の良い関数として、また積・除を加・減のごとく扱える方法として出発したとのではないでしょうか。これはその後超越関数として発展していきます。

これらはその出発点も違えばその分野も違っていると思って学んできました。ところが複素数の概念が入り、複素数の世界で微積分を行うと互いに関連してくるのです。それもある点で結果が合うとか、近似しているとかいうものではありません。しかもこんなにすっきりした方程式になります。

わたしは出発点が異なるものが、複素数の世界というこれもその三つがスタートした時点ではまだはっきりしてしていなかった世界で厳密に関連しているということを信じることが出来ませんでした。普通出発点が違えば違った方向に進み交わることはまずありません。どうしてこれらがつながっているのか何人かの数学の専門家に聞いてみましたが答えはありませんでした。

これらは実数の世界だけでなく虚数の世界も認識できるようになって、数の世界の姿を眺められるようになったとき、数の世界という巨像を代数、三角、指数それぞれの方向から眺めた姿がそれぞれの関数であって、たまたまそれらは隣り合っていた、或いは裏表であった。群盲象をなでるようなものであったのではと勝手に解釈しています。それにしても「見事な関係式である」と見るたびに思います。どなたかこの辺の秘密をご存知のかたがあれば、ご教示いただければありがたいと思っております。