3つの扉がある。
1つの扉の後ろにはスポーツカーがある(あたり)。 残りの2つの後ろには山羊が居る(ハズレ)。 どの扉をあたりにして、どの扉をハズレにするかは、 乱数で予め決定しておく。 ここに司会者と参加者を一人づつ用意する 司会者には、どの扉があたりなのか教えておく。 参加者はどの扉があたりか知らない。
「私は本当の正解を知っています」 そこで、残りの2つの扉の内、ハズレの扉を1つ開けて差し上げます 3つの内2つはハズレなのだから、 参加者がどの扉を選んだとしても残り2つの扉の内最低限1つはハズレの扉になる。 「さて」、司会者は続ける。 「1度だけ扉を交換することができます」 「扉を今選んでいるもののままにしますか？」 「それともまだ開いていない残り1つの扉にしますか？」
大抵の人は 「どちらでも同じ確率で 50% づつだ」 と答えてくる。どうもそれが直感的な答らしい。 さて、この問題の数学的な解析は次のようになる。 まず、最初に3つの扉を順にA,B,Cと名付ける。 参加者がAの扉を選ぶ場合について考えよう。
この上で2つの表をつくる。
それぞれの場合についてどこにあたりがあるのか、
そのあり得る初期状態をすべて列挙して数えていく。 Aを選択して、扉を変更する場合 A B C あたり/はずれ 車 羊 羊 はずれ 羊 車 羊 あたり 羊 羊 車 あたり Aを選択して、扉を変更しない場合 A B C あたり/はずれ 車 羊 羊 あたり 羊 車 羊 はずれ 羊 羊 車 はずれ 参加者がAを選んだ場合に扉を変更するとあたりである確率は2/3。
扉を変更しない場合は 1/3である。
参加者がB,Cを選んだ場合はあたり、はずれの組合わせは変わるが、
数自体は変わらない。
結果として全体でも扉を変更すれば2/3、 扉を変更しなければ1/3の確率で車を当てることができる。 つまり、扉は常に変えた方が良いわけだ。
と言う人が居るかも知れない。 「その影響が出ないというのはおかしい」と。 影響はあるのだ。
ただし、司会者の行動は大抵の人が感じる直感的な影響とは違う。
司会者は残った扉の内、必ずハズレの方を開くというのが キーだ。 残った2つの扉の内、片方は常にはずれである。 司会者は必ず残った扉があたりになるように扉を開くということだ。 扉がハズレである確率は、最初の段階で2/3である。 司会者が100%の確率の行動を行う限り 参加者が最初に選んだ段階で発生した確率は変化しない。 ここがキーであり、直感がおかしな判断を下す理由である。
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コメント（1）
カジノなどでコインの裏か表を当てて勝負が決まるゲームがあるとしよう。 配当金２倍、１００円初めに掛けて負けたら２００円、そででも負けたら４００円と負け続けても掛け金を２倍にすれば必ず勝てる法則だ！ しかしこの法則には落とし穴があり２倍ずつ掛けても自分の資金が尽きるまで負け続けては意味がない。 裏か表、確率は1/2の勝負で果たして資金が尽きるまで負け続けるの！！！？？
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現代のスパコンとプロの棋士どちらが強いのだろうか？チェスの場合はコンピューターがチェスのチャンピオンを下したニュースが世界を駆け巡ったが将棋の場合はどうだろう？ 先日 渡辺竜王プロ（棋士の中でもトップクラス）vsコンピューターが行われた。 結果は渡辺プロの勝ち！ どうして人間がコンピューターの頭脳に勝てるのか？ コンピューターは先の先を読んで計算して駒を打ちます しかし将棋の場合はすべての手を計算することはコンピューターにとっても信じられないぐらいの時間がかかります。将棋の駒をはじめから計算すると何通りの手があるか？ 持ち駒も入れて「１０の２２０乗」 約宇宙の原始の数は１０の８０乗。 ２０００年のスパーコンピューターの場合このすべてを計算するには １００００００００００００００００００００００００００００００年かかると言われてました。 コンピュータのプログラムを作るのも人間です。プロを倒すのは後１５年はかかるらしいです。 プロ棋士の最大の武器は（持ち駒と無限なつめ方ですね。 |
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