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皆様，ご無沙汰しております。 ここ二カ月間，数学の本の原稿作りに没頭していました。 そんなわけで，今年はお盆休みも無く，部屋の中に缶詰状態で過ごしてしまいました。 しかし，完成にはまだまだ時間がかかると思います。今のところ，数学�機Γ繊蔽△掘な震命涎舛鮟�く） が一応完成し，数学�供Γ造糧省�（残っているのは三角関数・指数対数関数・微分・積分）が完成してい ます。ここまでのページ数は正確に数えた訳ではありませんが，400ページーは超えていると思われま す。残っている数学�供Γ造反�学�掘Γ檀�分を加えると多分1000ページは超えると思われます。 それでも，自分としては十分な内容ではないと感じ・・・出るのは溜息ばかりです。 これからも加筆・補正しながらもとりあえず１２月までには数学�供Γ造泙任牢粟�させたいと思っていま す。 ページ数のダイエットは数学�掘Γ辰�完成したあと�機Γ繊銑掘Γ辰泙念豎腓靴胴圓ν縦蠅任い泙后Ｂ進� 本当に大変なのはそこからなのでしょうが・・・ 追記；いつも，お越しいただいている、すうぱあわんさん，花咲さん，アッシマーさん，マリアさん，Ｋｕさんをはじめとする皆さん，さぼってばかりですみませんm(__)m
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数学随想
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コメント（16）
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先日,ヌゥーさんから，とある高校数学の参考書の是非を問わままし た（本の名前は著者の名誉のためふせさせていただきます。） 私はヌゥーさんには,「あの参考書は駄目ですね。」と言ったままで 根拠を一つも示していません。そこで，今日はそう判断するにいた った理由をひとつご紹介いたします。 以下は，その参考書の抜粋です。（数�掘�C：P１１４−１１５） これを例にあげようと思ったのは，今記事を掲載している「夢を諦め いで（理系大学入試）」の微分や積分と大いに関係してくるからです。 この参考書の欠点は，あげようとしたらきりがないくらいですが・・。 すべては言わないことにいたします。他人事ではありませんから・・・ 文中の色は私が付けました。 いったい，著者は dy/dx を分数と考えているのでしょうか？そうじゃないのでしょうか？ 文章の全体的な流れをくめば，著者は dy/dx を分数と把握しているように感じますが・・ それなら，なぜハッキリと言わないで，どちらにとられても良いような表現に始終しているのでしょうか？この曖昧さが読者を混乱に陥れるのだと思います。 ちなみに，このあたりの説明に関しては，どの教科書も参考書も「 dy/dx は分数ではない。単に y を x で微分するという意味である。だから，読み方にも注意して dy over dx と読みましょう。」と言いながら，そのあとすぐに dy/dx・dx/dt = dy/dt だよと、平気でやっているものだから，始末に負えない。 この参考書はハッキリと「分数である」・「分数でない」と言いきっていないので，まだ許されるのか？？ いや，そうではない。「ずるい」だけですね。 著者は冒頭の「はじめ」に 『この本のことを高校の範囲を超えた高級な数学の話がたくさん書かれていると思う（期待する？）人がいるかもしれませんが，しかしその期待は応えられないでしょう。』などとも言っていますが。結論的に dy/dx が分数である・ない くらいの結論を言った方が，読者のことを考えたらよかったのではとどうしても考えてしまいます。 これじゃあ、月並みな参考書ですよ。分厚い分，それ以下かな・・
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教え子達との会話も結構面白い。 Ａ君；俺は「数学が好き」だな〜お前は？ Ｂ君；俺は数学が嫌い。英語の方がいいや。 Ｃ君；先生はもちろん「数学が好き」ですよね？ ＺＸ；（かなり悩んだすえ）ある意味では「数学は好き」だよ。でも、ある意味では 好きとは言えないかも・・・・ 生徒達；そんな・・・ありえない！先生が「数学が好き」じゃなかったら、誰が好きなんですか！？ ＊ ＊ ときたま、こういう会話も教え子との間に交わされる。 私の頭の中には「数学が好き」ってどういうことなんだろう？といった漠然とした 疑問が頭を駆け巡る。 「数学が好き」って何なんでしょうね？＾＾どのレベルの数学を指して「数学が好き」とか、嫌いって判定すればいいんでしょうか？これには困ってしまいます。 （１）四則計算（＋・−・×・÷）が速く正確に導き出せて気持ちがいいから「数学が好き」という意味ならば、私はまず失格です。なにせ、珠算の８級の試験をただ一人落っこちたくらいの計算力ですら・・・ただこのレベルだと「数学」とはいわないで「算数」なのか・・。
（２）じゃあ、中学〜高校の答えの確定している問題が解けて気持ちいいとかその答えを導き出すまでにあれやこれやと色々な解法があることを楽しむことが楽しいことが「数学が好き」という意味ならば、これまたノーと言わざる得ない。正直言って退屈至極です。 （３）では先人が証明し終えた定理などを自分なりに理解できて嬉しいことが「数学が好き」の意味ならば、これまた自分には当てはまりません。なんか二番煎じのお茶を飲んで美味しいと言ってるみたいなもので・・・
（４）では、さらに既に先人が証明し終えた無数の定理を自分なりにアレンジして問題を解くことができたときの喜びを「数学が好き」というのならばこれは自分にも幾分か当てはまるような気がします。色々な公式を結合して長い長い道のりをへて得られた新たな結果を「自分専用の公式」とすることには喜びを昔から覚えます。 （５）いまだ解決されていない数学の問題に挑戦し続けることが楽しくてそれを「数学が好き」というのであれば、それもノーというか、恐れ多いと言うのが現状です。(+o+)というか、考えるのは考えますし、トライはするのですが、何分にも力不足は否めないですし、あと飽きっぽいのですよね私は・・何年も何年も、それに没頭できるタイプではないのです。これは研究者としは、決定的に不向きだと自分でも思ってしまいます。1年ぐらいなら考えてもそう苦にはならないのですが・・・・。それ以上となると正直自信がないです。
以上、まとめてみると私が「数学が好き」と言えるのは、（４）に関してのみ ということになりますね。記事を書いていて今自分で自覚しました＾＾； 教え子たちの中には、「数学の問題は、論理的に考えれば必ず解けるから好きだ。」などと言っている言葉も耳によく入ってきますが・・・とても、とてもそんなことは私には言えません。論理を推し進めていっても解けない問題があまりにも多いことを知っているためかもしれません。 また、「定理が証明できると、美しさに感動する。」とか、「数学は美しい」と言っている教え子達もいますが、確かにその言い分はよく理解できるし当たっているのでしょうが、限度ものだと思ってしまいます。あの夥しい数の特殊記号の羅列を見たらとてもそんなことは簡単に言えないな〜なんて思ってしまいます。でも、教え子達にはそなんことは言えません。「そうだね＾＾その通りだよ＾＾」としか答えようがありませんね。今の私には・・・（溜息）
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さて、引き続き現代数学で何が問題になっているかのご紹介です。
次回に続きます。
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またまた、花咲さんから鋭いご指摘がありましたので、先にお答えすることにいたします。 いま、記事の中で列挙しているような問題が解き明かされることによって科学全体が発展することもあり得るのでしょうか？というご質問でした。 確かに、今列挙しているような問題を見る限り、こういった問題の解決が数学以外の科学全体の発展に大きく貢献するという可能性は低いと言わざるをえません。 このことは、ガウスがフェルマーの定理に関して「このように証明も反証もできないような式はいくらでも書き出せる。」と言った言葉からも、その可能性の低さは容易に推測可能です。そして数学の分野というものは非生産的な方向に走ればどれだけでも走れるというのも事実です。「現代に残されている難問といわれるものの多くは数学的抽象言明であって、他の科学や技術には全くやくにたたない。でも数学とはそうしたものなのだから、それでいいのだ。」と割り切ってしまう方々も多くいらっしゃいます。私はそういう考え方もそれはそれでよいと考えています。 何故、そういった数学を否定的に捉える考え方をも私は容認するのか？現代の難問が科学全体の発展に寄与するのか否かは、長い時の経過が明らかにしてくれるものであり、現代の我々が判定すべきものでもないし、判定しようとしてもできないものだからです。要は、現代に残されている難問に真剣に取り組むというその姿勢だけが我々に要求されている課題であり、数学が科学全体の中で否定的な存在なのか、肯定的な存在なのかはその中で自ずと判定されていくことでしょう。 半端者さんが前の記事でコメントして下さった例は、まさしく数学の難問が科学全体に運良く貢献できたよい例だと思われます。 また、私がいま考えている、「無限の概念」に関して言えば、初めて体系的な説明をなしたのがゲオルク・カントール（Georg Cantor：1845−1918）と言われています。彼が集合論の中で無限の概念を論じた頃は、「無限など存在しない」とか「無限を論じても意味がない」とか揶揄されたものです。ところが、無限の存在を明らかにし、しかもそれには濃度に応じて種類（アレフ０・アレフ１etc）が存在することを明らかにしてからというもの、解析部門でルベーグ積分への発展へと昇華されていったのです。 そして二十世紀以降に発展した解析学というのは大部分、このルベーグ積分を基にしています。例えば、物理の分野で量子力学の基礎になっているヒルベルト空間理論というものがありますがその空間の理論を満足いくように展開するにはリーマン積分では無理で、ルベーグ積分を使わないとできないのです。また、 いろいろな偏微分方程式を解くときにも、非線形偏微分方程式になると 数値解はともかくとして、 特定のはっきりとした数式で記述できる解を求めるということはほとんどできなくなります。それで数学では、存在とか、解がいくつあるかとか、 一義性あるいは、解の滑らかさとかなどを議論するようになるのですが、そういう議論もルベーグ積分に基づいて初めて厳密にできるようになっています。 それから、確率論もルベーグ積分に基づいています。二十世紀の始めに、ロシアのアンドレイ・コルモゴロフ（Andrey Kolmogorov：1903-1987）という人が、 ルベーグ積分、正確にはそれを抽象化した測度論・積分論を基にした確率論の公理系を考えています。 現代ではこの抽象化した理論も含めてルベーグ積分と呼んでいます。それに基づいて確率論が発展しました。こういった確率論の発展がいかに他の科学分野で活躍していることか・・・・。 このように、問題解決にあくせくしている当時にはまったく考えられなかった分野で貢献していく可能性が将来的には残されているのです。 この可能性を信じて毎日励んでいくのが数学者だと思います。
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