蚊取り線香問題

2007年08月15日（水曜日）
【算数】　蚊取り線香

　蚊取り線香は真っ直ぐに伸ばしたら、どれくらいの長さがあるだろう？
　真っ直ぐに伸ばそうとすると折れてしまうから、実験的な方法では計測は困難だ。燃焼時間から逆算することは可能であるが、これは誤差が大きいだろう。
　いろいろな方法がある。たとえば、２つの蚊取り線香が重なっている状態で、ほぼ円形に満たされているわけだから、１つ分の線香は、面積（あるいは体積）の約半分だとわかる。したがって、線香の太さ（上から見たときの蔓の幅）で、円の面積の半分を割ることによって長さが概算できる。
　たとえば、円の半径が6cmであれば、円の面積は6×6×π＝36πであり、その半分は18πだ。線香の太さが6mmならば、18π÷0.6＝30πとなり、長さが約1mであると計算できる。

　力学の授業で実際に出した問題がある。「蚊取り線香の中心部が固定されているとき、外側の一番端に糸を結び、円から離れる（中心を通る軸上の）方向へ引っ張ると、蚊取り線香のどの部分で折れるか？」という問題である。こちらは、算数ではなく理科になるが。（メールおよび掲示板書き込み禁止）

itikawaの伝言板 Ver.2.0 で上記の問題が話題になった。

設問の前半は算数で蚊取り線香の長さを求めるもので、後半は力学の問題になっている。算数ではないと出題者も言っている。

物理の知識があれば解けそうで、完全解答できなくてもイメージだけはし易そうだ。またイメージし易さが理系以外の人にも身近なものと感じられ、回答を見たくなる。

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紙と鉛筆を用意して解答しようとすると、

こんな図を描きそうだ。

A点と中点を結んだ延長線上をA点が移動して行くと、A'点まで到達したら弧の何所の部分が折れるか？と考える。

仮に延展性（ちぎれずに延び続ける）がある金属、かつ粘土のように端から延びていくものだとすると考えやすい。

点A'が線AA’上を限りなく移動して行くと、線AA'と線A'Z'は限りなく平行に近づき、点Zのところで変化が起こりそうに感じる。

市川の伝言板での解答は９０°で収まりそうだ。上記の私の推論でもそうだ。

果たしてそうなのか？

設問は蚊取り線香を材料にしている。金属でも粘土でもない。仮定での推論は通用しない。また市川の伝言板では剛体だと仮定し推論しているものもある。

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【剛体】
点の集合体でありながら形があり、重心も存在する。変形はしない。ということは、歪み、
ねじり、延び、破損破壊はありえない。
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もう一度上図を見て欲しい。剛体だとすると、点Aは決して点A'には移動しない。

点Aを引っ張り続けると、何所が破壊するのか。それは２箇所ある。感のいい人はお分かりだろう。糸と中心部分を固定したもののどちらかである。

まさか出題者はこれを回答としているはずもなく、別なものであろう。

あくまで、ある程度弾力性があるものの破壊を言っている。これらを踏まえて答えを導き出すならば、９０°付近だと結論付けられる。

再度、果たしてそうなのか？

蚊取線香の弾力性に疑問が残る。十分な弾力性があれば引っ張っていくと、外側の線香と内側の線香が接触することも考えられるし、線香自体が中心部方向に縮むことも考えられる。

これだと９０°という数字は怪しくなる。点Zは点Z'の方向にある程度移動すると考えられるからだ。

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さてもう１度設問を見てみよう。

「外側の一番端に糸を結び、円から離れる（中心を通る軸上の）方向へ引っ張ると」
ある。

軸ってなんだ？前半で述べた、中点から外円に向かう延長線のことを言うのか？

「蚊取り線香」、「糸」と三次元である形が設問にあれば、この「軸」は「中心軸」であろう。

中心軸は独楽を思い浮かべて欲しい。

真ん中にある棒のことだ。決して延長線、平面で考える設問でないことがわかる。

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この問題を解くにあたって「森博嗣」を検索した。

コンクリートを研究されている。脆性材質の研究であり破壊検査は重要な実験となる。

専門的な分野の授業の中で、この設問があったのだと私は思った。大きなテーマは剪断であると。

下の図をイメージした設問なのであろう。

このような立体的な脆性材の破壊を計算で答えを出せるか分からないが、
「どのような応力が、どの場所にいかに働き、どのように破壊に至るのか？」
と、問うたのではないかと感じる。

寺尾さんが「文系でも分かるように」と言われ、それなりに文系的思考で回答らしき＾＾；ものをブログでアップしました。自分でも完全に理解できていない部分もあり恐縮です。
私は「文系崩れの理系」です。単に仕事にエンジニアーを選んだだけですが・・・

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森は高校の２つ下の後輩であることがわかった。柔道部の２つ下に森と言う奴がいたのだが、下の名前が思い浮かばない・・・今度、OB会で「すべてがＦになる」の森は柔道部か聞いてみる。

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『追記』
今日(6/20)未明（2:00AMか3:00AM)、仮眠しながら工場への行き来を繰り返してた。
2:00AMか3:00AM頃、ふとテレビをつけたら教育テレビで高校物理の講座をやっていた。
剛体の力学、力のモーメントが題材だった。まあバットだったけど内容はおもしろかった。

力のモーメント
物体を回転させようとする能力を力のモーメントＮといい、Fとrの外積で表す。
外積なので、力のモーメントはベクトル量なのだ。
N=r x F

回転運動と並進運動の対比
剛体の力学では、軸の周囲の回転運動を扱う。
「力のモーメントＮ」は物体を回転させようとする能力である。
「力のモーメントＮ」は並進運動での「力」に相当する。

剛体の力学では、力のモーメント以外にも並進運動固有の物理量が登場する。
登場する物理量はみな、並進運動での物理量に対応して考えることができるのだ。

昨夜の講座を思い出しながら、またネットの力学講座をみながら蚊取り線香問題（回転運動の問題です）を再度考えてみようとしたが、あまりにも古すぎる物理の授業を思い出すのは困難であり、
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やっぱ、諦めました＾＾；；

６年半の月日が流れました
ふと思い出した蚊取り線香問題

答えが出ました。

設問

力学の授業で実際に出した問題がある。「蚊取り線香の中心部が固定されているとき、外側の一番端に糸を結び、円から離れる（中心を通る軸上の）方向へ引っ張ると、蚊取り線香のどの部分で折れるか？」という問題である。こちらは、算数ではなく理科になるが

どの部分とは、蚊取り線香をまっすぐに延ばした中心部ですね。
両先端から引っ張り応力が均等にかかっていけば、中央部でプッツンですね。
答えはこれです。

今頃、なぜ思いついたのか、アルツハイマーの兆候なのでしょうか。新しいことは記憶に残らないことが多い自分がいます。

[fegwk]

難しいことばっかり言って、どの位置で折ればいいのだ

真ん中で折れるのです。