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先日、某学校の説明会（大盛況立ち見あり）に行って、今年の過去問を貰っ
てきた。期末テストの範囲に重なる相似の組合せの問題があったので、早速 長女とダメオヤジがトライして見た。以下はその顛末である。 ＝＝＝＝ ＝＝＝＝ ＝＝＝＝ ＝＝＝＝ ＝＝＝＝
直角三角形の斜辺の中点から、底辺に下ろした足の長さ（赤線）を求める問題。
解き方は３通り（△は三角形と脳内変換して下さい）
① 図の中にある２つの相似な△に着目して解く。
② 求める辺を含む△が２種類の△定規の合成で出来た
特殊な形である事に着目して解く。 ③ 強引に三平方の定理を当てはめて計算する。
冒頭に書いた通り、この問題は今年春の某私立高等学校の数学入試問題である。さらに、
解答①は、某社の赤本に載っている模範解答の手順である。
解答②は、某乙会の橋野先生の本に載っている解法の利用であり、
ダメオヤジとしては特にコメントする立場にない。こんな見 方もあるのか？、と思わず感心するスマートな解き方である。 「中学数学発展篇 確率・統計と総まとめ 改訂新版」参照 解答③は、ダメオヤジが、我が娘とアタマを捻って無理矢理考え
出し、やり方は間違っていない筈なのに、解答と違う結果に なって思い悩んだブサイク（笑）な解き方である。 ＜まずは、模範解答から＞
上の図において、DB ＝ BM である。さらにこの問題に至る枝問題で、
この図では△ABDが正三角形であることが分かっている（一目で分かる？）。 模範解答では、△ADM ∽ △AMC（証明略）と書かれている。∠BMDが
75°と言う事も分かっているので、∠AMDも75°−45°＝30°と分かっ ており、頂角共通より、2組の角が等しいから上記2つの△は相似である。 両方の△で一番長い辺は、それぞれAC、AMであり、その比は2：√2である。
またCMと求める辺DMが対応しているから CM：DM ＝ 2：√2より、
DM ＝ √2／2×CMである。 さらに枝問題から、CM ＝ √3 − 1 （CB−1で求まる）と判明している
ので、上式に代入すると、 DM ＝ 1/2（√6 − √2）となる。
＜次に三角定規の組合せ＞
上の図で△ADMの頂点Mから辺ADに垂線を引き、その交点をPとすると、
線分MPで区切られた△CMDは、いつも見ている三角定規の2つを合成した 形である。
従って、CM：MP ＝ 2：1 で、さらに直角2等辺三角形の斜辺と他の1辺の比 より、MP：DM ＝ 1：√2 となるので、 DM ＝ √2／2×CMである。
故に CM ＝ √3 − 1 を代入すると、
DM ＝ 1/2（√6 − √2）となる。
＜最後の別解＞
ダメオヤジの別解なんぞ見たくもないという方は、上の2例をじっくり見て
いただくとして、いよいよ妄想の本題である。 私は、長女と一緒にこの問題に初めて取り組んだ際に、割と簡単に解けると
高をくくって、この回答方法を進めた。 つまり与えられた大きな直角三角形の、斜辺の中点から斜辺以外の2つの辺の
中点をそれぞれ結ぶ。それぞれの交点をE、Nとする。 もとの△ABCが直角三角形なので、DE、DNはそれぞれ、AB、BCと直行するし、
DN ＝ 1/2、DE ＝ √3×1/2 も直ぐに求まる。 よって求める辺DMの長さは、三平方の定理より、
√（DN2乗 ＋ MN2乗）となる。
ここでMN ＝ MB − NB だから MN ＝ 1 − √3×1/2
これを代入して整理すると
＝ 1/2×√（8−4√3）
＝ √（2−√3）
これを二重根号と言うんだそうである。オヤジもすっかり忘れていた（笑）。
ここまで来た所で、中学生にはこれ以上解けないから、オシマイ。 でも、模範解答とは異なる値になっている。ルートの中にルートが入り子 になっており、どうしようもない。間違っているのか、それともこれも正解
なのかさっぱり分からん。
「溺れる者は藁をも掴む」というので、ググって見ると、
２重根号をはずすときに用いる式 http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/suu-to-siki/seisiki/henkan-tex.cgi?target=/math/category/suu-to-siki/seisiki/nijyuu-kongou-no-hajusikata.html 因数分解を用いた２重根号のはずしかた
http://manapedia.jp/text/index?text_id=514 とかヒントが書いてある。どうやら掛けて12、足して8になる因数分解
をすれば良さげである。 ＝ 1/2×√（8−4√3）（最後から1つ前の式）
＝ 1/2×√（8−2√12）
＝ 1/2×√（6−2√12 ＋ 2）（aの2乗−2ab＋bの2乗の形）
＝ 1/2×√（√6−√2）2乗
＝ 1/2×（√6−√2）
となって、①や②の答えに合致する。
どうやら変形できたが、これは高校生の数学の範囲だ、ここでダメオヤジが
危惧するのは、我々親子と同じ解法で＝ √（ 2−√3）と書いた受験生が、
この春どうなったかと言う事だ。考え方も答えも間違いではないから、途中 でも丸にすべきと思うのだが、・・・ 模範解答と違うから、×扱いだったのだろうか・・・？
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無題
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5月の学校説明会で高校受験のゴング開始から5ヶ月が経過した。長女（中3）の受験
競争は、いよいよ7合目という所だろうか？ ＜現時点での進捗状況＞
我が家では、早々に長女の志望校（本人も納得して受験したい高校）を決め、夏休
みの面接でもその希望を明確に担任に伝えた。第一志望は、トップ公立高校で、第 二志望は廻し合格が用意されている私立高校である。 我が家の地域では、さらに1.5次日程で受験できる、ややレベルが下がる女子高と、
別の府県の私立進学校も一応の別日程受験可能な候補として、情報収集をしている。 具体的な情報収集の内容は、
・ホームページ等で入試要項等を見る。その他サイトで偏差値、 口コミ、体験談等、ネガティブな情報も含めて積極的に集める。 ・塾等が開催する合同説明会で、学校の入試関係者から話を聴く
（会場、年度、担当者によって、同じ学校でも違う話が聞ける） ・オープンスクール、学校説明会で出願関係書類を入手する。
（学校の雰囲気、受験情報や傾向と対策も聞けたりする） ・交通機関（電車・バス）の情報収集、乗車時間を確認する。
（実際に親が乗継いで確認する。行かないと分からん事もある） ・模擬テストを受験させ、志望校を登録して判定結果を見る。
（遂行中の作戦の実証、苦手、重点補強すべき単元の洗出しと 対策立案に活用する・・・これをやらなきゃ殆ど無意味） ・赤本購入、模試や学力テストでの苦手部分洗い出しと対策。
11月から年末にかけて、保護者と担任の話し合いにより、受験校が最終決定される。
スケジュールは、以下の通りとなっている。 ・11月初めに入試制度の再説明
・11月中旬に第一回要望聞取り ・12月に最終決定 10月中旬模試の判定が分かったので、それを持参して学校と折衝が始まる。現在の
ところ、第一志望でギリギリＢ判定をキープしている。夏休み初めに妻が中学校で 聞いてきた情報によると、長女の学校の生徒（＝親）は、例年”高望み”をする方が 多く、撃沈して私学に行く場合がかなり多く発生するとのことである。
長女の学校は、無駄に（失礼！）課題が多く、特に副教科（NGワード：笑）の先生が
かなり厄介な課題の提出を度々迫るので、普通の公立中学のように、5教科で内申
を稼いだり、受験勉強をする時間が充分取れないというハンディがある。受験校を 標榜する割りに数学なんぞは、「ゆとりカリキュラム」で時間不足な割りに、前にも 書いた不釣合いな難易度高めの問題集を度々課題として提出しなければならない。
勢い実技教科の持ち帰りの「課題」などは、実質親の作品の品評会となっている。
これらは、塾に丸投げしても、どうしようもないので、ほったらかしの生徒さん達は、 実技教科の対応がどうしてもナオザリとなり、結果として内申もそれなりになって
しまう。
我が家では、両親がタッグを組んで実技教科や研究等の課題のサポートをしまくっ
た（笑）。但し、まとめ等は本人に書かせた。学校が事実上容認しているのだから、 「本人の成果物ではないもの」を一部含む提出物を出しているとしても、両親の補 助は、テーマ選定助言、資料の収集、切貼り、助言等に限定しており、ルール違反 にはならないギリギリの所に踏みとどまっているつもり（笑）である。 我が家は、公立撃沈を覚悟の上で、受験作戦遂行中である。実技科目も含めて内申
は良い方であり、学力診断テストもまあまあの位置をキープしているが、オープン スクールで見た公立トップ校の建物が、あまりにもみすぼらしく、また、放任主義の 受験対策で、県下のトップクラスの中学生を集めている割りに大学進学の結果が
伸び悩んでいる現状があるので、正直公立高校に今一歩気乗りがしないのだ。 おまけに最近新聞で報道されたとおり、このトップ校も耐震補強未実施である。築
数十年で耐振Ｄランクの校舎が放置されており、一部塗装が垂れ下がっている。 オープンスクールで校舎出入り口に人が集まると、狭い処に一斉に人が固まって
動かなくなる。一家三人がその状況を実体験したので、災害時の対応などが思い
やられる。小手先の耐震補強ではなく、早期の建て替えが必要と思われる。
＜本人のやる気は少し上向き＞
受験計画としては、夏休み前に2年生までの復習を終え、出来れば夏休み明けには、
中学範囲の履修過程を、先取り学習させるという壮大な構想（オヤジの妄想）を立 案していたのだが、その目論見は、10月末現在に至っても見事に外れている。 長女に聞くと、クラスの殆どの生徒は塾に通っている。我が家では某通信教育一本
でここまで引っ張ってきた。そして、既に「今さら塾に行っても手遅れ」な状況に なっている（笑）。他の級友は、情報量が豊富で自信満々に見えるらしい。塾に行っ ていない長女は、「変なヤツ」扱いである。 その割りには、長女より上の成績の生徒が、校内には殆ど一握りしかいない（笑）
のが不思議である。授業中に他の事をやったり、授業をサボって家で勉強する級友 も増えている。内申を考慮すると自殺行為に思えるのだが、クラス全体が落ち着き がない。 10月に入って、数学の模擬テストや学診テストの苦手単元部分を、基礎問題中心に
重点補強を実施した。（系統的な問題集を細切れに使っている：笑）また本人が中 間テストも頑張った。その結果少し数学に対する苦手意識が薄まって来た。模擬テ ストでは、相変わらず単純な引き算を間違えたり、簡単な引っ掛け問題に見事に引っ かかったりドタバタしている。 英語は、一番分量が少なく、優先度順に並んでいる単語帳を買い与え、順番に少し
づつ覚えさせた。10月の模擬テストでは成績が下がったが、最近ようやく長文の演 習にも着手し、問題集もやり始めているので、少しづつ改善されるだろう。 国語、特に現代文の読解力が何故か伸び悩んでいた。対策用の問題集は用意してあ
るが、中々食い付いてくれない。「馬を水飲み場へ連れていくことはできるが飲ませる ことはできない」との諺通りである（笑）。
“You can take the horse to the water, but you cannot make it drink.” 夫婦で「ボケと突っ込み」の役割分担をしつつ、気長に引っ張っていくしかない。
最近ようやくエンジンが掛かり始めた感触があるだけ、「マシ」としておこう。考 え様によっては、今頃エンジンが掛かりだすのが、丁度良い頃合かも知れない。 私自身の浪人時代の経験でも受験勉強に集中出来たのは精々半年だった。
我が家とよく似た事をやっている家庭もチラホラ居るようなので、それら情報も参
考にしつつ、ここまで来たら「逃げ切りあるのみ」だー。 ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
耐震化率「8割達成」の陰に2つの課題 2013/10/28 http://kenplatz.nikkeibp.co.jp/article/building/news/20131025/637429/ （抜粋） 学校の建物本体の耐震補強が終わっても、天井が落ちる、外壁が崩れるなどの恐れ は残る（笑）という指適がある。 （コメント） 文部省は15年度末までに耐震化完了の目標を掲げているらしいが、それまでに南海 トラフが動いたら校舎もろとも崩壊するんでないの？ 「消費増税の先食い」や「復興増税の無駄遣い」をする一方で・・・結局お役所仕事だ。 ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋
2012年06月18日 お姉ちゃんの高校受験（塾に行かずにトップ校に合格） http://www.kanpuri.info/article/275893665.html （抜粋） 中学入学と共にしっかり勉強をやる、上記目標に向かって問題集やる計画を本人と 一緒に考え、チェックする、この辺りはプロマネと同じと思うので、父がPM、母が 事務局機能をするようにしました。 |
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長女（中３）が劇で必要だというので、適当にダンボールを切り貼りして剣を
作った。出来栄えを見て、持っていくのがもったいないとか言うので、ダメオ ヤジが一念発起して、長女専用にスペシャルバージョンを造る事にした。名付 けて「合格祈願の剣（笑）」である。 ＝＝＝＝ ＝＝＝＝ ＝＝＝＝ ＝＝＝＝ ＝＝＝＝ オヤジは、昔（高校時代）樫の木刀を参考に劇で使う日本刀の小道具を作った経 験がある。厚さ15mmのラワンベニア板から鋸で切り出し、カンナで削って形を整 えた。日本刀の断面の形は、本物の木刀を見せてもらったので、この時勉強になっ た。勿論超リアルには造れなかったが、劇の小道具としては、中々の出来栄えで、 軽く打ち合いをしても折れないようなものだった。刀身は銀色の光沢テープと銀 色の油性ペイントを塗って仕上げた。 今回は、洋剣で、しかもダンボールで適当に作るので、工具は主にカッターナイフ とハサミ（台所用）と、定規、カッティングマット（A4サイズ）等である。 工具類：ステンレスの定規、カッターナイフ（大、小）、木工ボンド、ハサミ、 カッティングマット（大きい方が良い）、ウッドパテ等 素材 ：ダンボール、布ガムテープ、きらきらテープ（100円ショップ）、 両面テープ、（家にあるものと百円ショップのアイテム）。 劇で使う分の剣は、根本から先端まで5cm幅でダンボールを張り合わせ、先端 を丸めて安全志向とし、灰銀色の布ガムテープを巻いて一丁上がり。但し刀身 の中央部にはきらきらシールを2cm幅程度に切って貼付けてあるので、スポット ライトが当たると結構光る。ツバは、ダンボール板を長方形に切って、角を少 し落とし、光る色紙を巻いてオシマイだ。 劇用剣イメージ（１本当り材料原価は数十円だが作成に数時間掛かる）
こんないい加減なものでも、子供達（中３）には好評で、劇をそっちのけで、 休み時間に男子生徒が持ち出して遊ぶので、複数本造ったのに、どれもこれも ボロボロになってしまった（笑）らしい。幼稚園の時に遊びが足りなかったん だろう。 ＜スペシャルバージョン剣の製作（刀身部分の作成）＞ 私はダンボールにしたが、時間とお金をかけて良ければ、素材は何でもよく、 ・合板などから削り出しも可能だし、 ・プラスチック素材を貼り合わせても良い。 ・手間を惜しまないのであれば、食品トレイを大量に貼り付けて一体化し、 それをカッターナイフで削れば安く綺麗に出来るだろう。 ダンボールを木工ボンドで貼り合わせて刀身を作る。刀身部分は根本48mm、 先端直前を32mmとした、刀身の長さは約60cm（手に入れたダンボールの折り目 から折り目の間の長さ）とした。 ダンボールを張り合わせる際に、補強の為に予め竹（割り箸や串や竹ヒゴ）や 木片を挟んだりする。根本の厚みが少し厚めになるようにして、先端ほど薄く するとより本物らしくなる。 握りの部分は、幅4cm、長さ18cmとした。こちらもダンボールを重ねて貼って カッターで角を切り落とし、画用紙を巻いて、刀身より少し太めにした。 ダンボールは、断面が二重になっている物の方が丈夫である。ホームセンター にも売っているが、タダで入手出来る場合は、タダで貰ってくる。私は、会社 にゴミとして転がっていたPCの箱を貰って帰って切った。 刃のような形状をつけるために貼り付けた後で削る場合は、事前にケント紙な どの厚手の紙を中心に挟んでおくと、芯がはっきりするので分かり易い。 先端部分は、スチロールボード（スーパーの食品トレイでもOK）を貼り付けた。 この方が先端の形状をカッターなどで削り出し易い。少し本格的な剣にしたい ので、よく切れる大型カッターナイフで剣の両端の刃部分を斜めに削り落とす。 この作業も丁寧にすると非常に時間がかかる。実際の刃物のような薄い刃先に するには、相当の熟練が必要で、ダンボールの削りだしでは困難だろうと思わ れる。 手元から先端まで同じ太さのダンボールなら、削った面は同じ形状になる。し かし今回作成する剣は、先端に行くほど細くなるので、ダンボールのフルート 部分（波型）形状が、剣の部分によって異なるので、ガタガタになり易く余計 に難しい。 スチロールなどから削り出すと、綺麗に削れるかも知れないが、コストが高くな るので却下である。苦肉の策として、凸凹を均すためのウッドパテと、画用紙貼 り付けで誤魔化す事にした。 削った所の凹凸を無くすために、削りすぎた部分にウッドパテを盛り付ける。 仕上げのキラキラテープを貼る際のガタガタ感を無くし、エッジを際立たせるた め、刃の部分に画用紙を細く切って貼り付けた。 ここまでで、刀身部分の立体形状はほぼ完成となった。いい加減に作った割に は、中々サマになっている。 仕上げ前の刀身部分（写真差し替え予定）
ツバの加工、こちらも適当に図案を考えた。点対称の図形として、適当に描画し、 ダンボールを切り抜いて貼り合わせた。実際のひな型は手でスケッチしたので、 もっといい加減（笑）だ。 鍔の図案
中央の6角形は刀身部分の通る穴である。この鍔の両面に紺色の布ガムテープを 貼って、周りだけ金色に塗って仕上げる積りである。 加工途中のツバの写真（後日掲載） ＜参考とした情報＞ 中世ヨーロッパの剣を参考にした。ロングソード、ショートソード等という剣 が一般的に使われていたようなので、それを参考に細部は適当にアレンジして 造る事にした。刀身が少し短いので、全長80cm近いがロングとショートの中間 位だろう。 コスプレ用などの剣として、見栄えの良い物が作られている。当方はあくまで、 イミテーション（長女の玩具）として作成するので、とことん拘った仕上げに する積りはない。肝心の劇の方は、まあまあの出来栄えだったらしい。 後半は仕上げと、鞘の作成である。 ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ 武器図書館 http://arms.cybrary.jp/db/sword/sword/longsword.html （抜粋） ロングソード： 前期の頃は、刃の身幅が3〜5cm程度、肉厚も厚いものになっていた。幅広い、 刀身を持っていたのは事情がある。当時は鋼鉄を作る事が出来ず、最先端の 「焼き入れ」という技法を用いていた。 ＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋ マギ イサアクの剣の作り方 3000円 http://gyakuyoga.hobby-web.net/buki/buki-kenr-isaaku-ken.html （コメント） 数百本の剣や武器を作っておられる。 |
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先日来上記の問題を、2回に亘って取り上げてきたが、本当に中学数学の範囲で
解けるやり方はないのか？とくと妄想してみた。眉にツバを付けて乞うご笑覧！。 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
＜三角関数を捨てる＞
前回私は、以下のように書いた。
『角PABが15°の条件となる、底面に垂直な平面で切ると、「断面形状は直角 三角形となることを証明せよ。」という問題を作る事も出来るだろう （高校か大学の問題として・・・？）。』 少し書き直して、以下のようにした。 底面の1辺の長さと、高さが等しい正四角錐という条件の下で、三角関数を 使用せずに、中学校の数学の範囲で、解くことは出来るだろうか？、というの が、今回のお題（ミッション）である。 ここで下図において角PAB＝角αとするとき、tanα＝Y（0≦Y≦1）と置換する。 Yは変数であるが、暫くは定数のように扱うことにする。 原点をAとしてABをx軸、ADをy軸と考える。 今角PAB＝15°の場合の図を青の実線で示した。Q点は、仮に平面図上に描いてあるが、 実際には紙面に垂直な空中上の点である。 紙面に垂直な軸をz軸と考える。 P点のx座標は常に10、y座標は0〜10である。P点のy座標は、直線APの傾きがYとなるので、
y＝Yx とx＝10の交点だから、 y＝10Y・・・ ① となる。 角PAB＝α の場合のQ点のx座標は、BDとAPの交点だから、 y＝10-ｘ と y＝Yx の連立方程式より
x=10/（1 + Y） ・・・ ②となる。 同じくy座標は
y=10｛1-1/（1 + Y）｝ となるが、少し変形し、 y=10Y/（1 + Y） ・・・ ③となる。 側面図上に描いた線分AQ（見えるのは点A、Bと四角すいの1斜面と頂点のみ）
続いてQ点の高さは、x座標とz座標だけに着目して考え、四角すいの高さが、
底面の1辺と同じ10cmと与えられているので、側面図上に描いた点Qの図より （詳細は「その１」参照） z＝-2x＋20 ・・・直線の式。 角PAB＝α の場合のQ点のz座標は、②より、上記の式に代入すると、
z＝-20/（1 + Y）＋20
＝ 20Y/(1+Y) ・・・④ となる。 3点の座標が全てYで表された。（前より少し簡単に見えるかい？？）
以下テキストでは累乗の項を表せないので、画像貼り付けした。
解の公式より Y ＝ 2 ± √3 初めの仮定の条件にある、1≧ Y ＞ 0 より、 Y ＝ 2 - √3 ＝ 0.267949192 最初の置換より、角α＝15°
よって、与えられた正四角すいを、底面に垂直な１つの平面で切るとき、この平面
が底面の頂点Aを通り角PABが15°の条件となるとき、断面形状は直角三角形となる。 最後の最後にアークタンジェントを使用したが、中学生向けに出題するには、
以下のヒントを追加すれば、理屈の上では何とかなるだろう。 答えが分かっていたので、幸運にも解析的に解けたのだが、既にテスト当日から
3週間になろうとしている（笑）。耄碌が進んで、アタマの柔軟性を失っているようだ。 中学生がたった2〜3分で解く問題に、このヒマオヤジは、
延々3週間近くも格闘した訳である（笑）。 または、ヒントとして、以下のような図を書いておいても良いだろう。 tan15° ＝ 1/（2+√3） なので、
分母を有理化すると、 tan15° ＝ 2-√3 となる。 参考URL：１５度の角度のタンジェントの求め方
http://sansuu.noblog.net/blog/e/10753463.writeback 要するに角度15°の線の傾きY（=y/x）の値が求まれば良い。 ＜オマケ （蛇足） ＞ 断面図をほぼ正確に作図すると、
左図の下の赤枠のようになる。 切り口を基準に側面図を15°
回転させて描いてあるので、 Excelのお絵かきとしては、 まあまあ正確だろう。 問題を見てヒマオヤジが頭の
中で想定（妄想）したものを 見えるようにすると、こんな 感じだ。 なに、文字が回転していない
だって？、そんなこと知るか！ 大きく印刷して分度器を当て
るのも反則（笑）だ！。 困った事に、中学生でも、一応解ける問題になってしまった・・・ん？。
ウソつき！、初めから15°が分かってないと、解けないじゃないか！ だからあ〜、、、初めから、アタマの体操と言ってるでしょ！ お後が宜しいようで・・・。 |
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前回投稿までで、あらかた計算は済んでいた。そこで、その結果の一覧表は、
纏めて表示してあったが、再掲する。Excelでは角度はラジアン表示なので修正 してある。要するにtan15°＝0.267949192という値を代入するだけの話だ。 Excelでは=TAN(15*PI()/180)と記述すると求まる。 計算結果一覧表 角QAP ＝ アークタンジェント（④／⑥） （タンジェントの逆関数） 角QPA ＝ アークタンジェント（④／⑦） で求められる。 Excelでは角QAP=180*ATAN(F133/D133)/PI()・・・セル参照で記述 （逆関数でラジアン値が求まるので「180/円周率」を掛けている） 頂角AQP = 180 - (角QAP + 角QPA) = 90° あら驚いた！（笑）90度になっちゃった。 上記より、断面の△APQの頂角Qが90°になる場合が見つかったので、元の 問題の正解の選択肢には、イの直角三角形が含まれなければならない。 但し、この条件は、「底面の１辺の長さと高さが等しい正四角錐」でのみ 成立つ。 今回偶然（笑）模範解答とは異なる解を見つけたが、見て頂けば分かる とおり、到底スマートな解き方とは言えない（爆）。 中学生が、テスト本番でこの問題に費やす時間は、精々2〜3分だろう。 だから限られた時間内に確信を持って解答できた人は殆ど居ないと思う。 しかし、「断面が直角三角形になる場合があることを無視した模範解答」は、 数学的には間違っている。 更に、中学生の履修範囲では求めようがない別解を含む設問の設定は、 不適切だと言える。次善の策（大人の対応）は、通常の場合止むを得ず、 ・当該設問に関し、受験者を全て正解とする。 ・元の解とイの解を加えた場合のいずれも正解とする。 のいずれかに落ち着くべきだろう。 但し、上記で書いて来た事は、三角関数や逆三角関数を便利なツールと割切っ てしまえば、中学生でも理解できる範囲で説明している積りである。 もし私が出題者なら、黙って「予めイの選択肢を抹消する」（笑）だろう。 題意に沿って別の切り方がまだあるが、その場合不等辺四角形が出来る。 読者諸兄は、もっとスマートに解析的に解かれると思うが、ダメ親父の学力 では、精々こんな解答を書くのが関の山だと白状しておこう。 あまり正確ではないが、大体の図を無理
矢理描くと左図の様な感じになる。 ＜タネ明かし、なぜ角PAB＝15°の角度を使用したのか？＞
最初に記述した通り、角PABは、0°〜45°の間で変化する。従って、 上記範囲で角を適当にいくつか選んで、角PABと頂角Qの関係を求 めると、下記のようなグラフを描く事が出来る。 角PABと頂角Qの関係を表すグラフ（説明図は「その１」参照） 上記グラフで、 ・角PAB＝15°の時、角AQP＝90°となる。また、 ・角PABが15°より小さい範囲では、角AQPは鈍角に、 ・角PABが15°より大きい範囲では、角AQPは鋭角に、 なることが分かる。 「なーんだ、そういう事か？」、大人はズルイよね(笑)。 逆に言うと、この角PABが15°の条件を使って、この平面で切ると、 「断面形状は直角三角形となることを証明せよ」という問題を作る 事も出来るだろう（高校か大学の問題として・・・？）。 ＜検算して見よう＞ 角PAB＝45°の時、上記計算では、角PAB＝70.5287793655093となっている。 この時の断面は、底辺10√2cm、高さ10cmの二等辺三角形である。 角QAP＝角QPA＝アークタンジェント（10/5√2）
＝アークタンジェント（√2） ＝ 54.73561032 頂角APQ ＝ 180-2角QAP
＝ 70.52877937 ちゃんと一致している。 ＜後日談（後始末）＞ 実は、この問題は高校入試の判定をする某社模擬テストの問題だったのであるが、 採点後、我が家に返送されてきた「まとめ」冊子に概略下記のような記述があった。 対応内容は妥当なものであり、迅速且つ誠意ある対応であると思われる。 続く・・・ん、、、続くってか？（笑）。 |
