〜なんとなく物理〜

2016年もいっちょ行ってみようか

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前にも書いてたかもしれませんが、だいぶ過去問を解いたので公開してみようと思います。
 
ただし、あまり当てにしないように(笑)
 
けっこう適当なんで、とくに力学とか。
 
あとは俺は電磁気はあんまし得意な方ではないので(3)くらいまでしか解けませんのでw
 
ここに載せるのは解答だけなので入試問題のほうはここから入手できます↓
 
問題1
(1)
やじろべえが微小角度θだけ傾くと、重心は図のように上昇する。
 
イメージ 1
したがって、位置エネルギーは
 
イメージ 9
θで微分し、
 
イメージ 20
もう一度微分し、
 
イメージ 26
θの小さい範囲では、Uはθについて下に凸な関数となっており、よって
θ=0から増加すると、保存力はθを減少させる方向に働く。よってやじろべえは安定である。
 
(2)
慣性モーメントは定義に基づいて、
 
 
イメージ 27
イメージ 29
 
 
(3)
 イメージ 28
これはθが小さい時は単振動の式である。
 
 
(4)
θが小さい時 イメージ 30と近似して
 
イメージ 31
したがって、周期は
 
イメージ 2
 
(5)
上の議論を
イメージ 3
とすればよい。
周期は
 
イメージ 4
 
(6)
空気抵抗が重心に働くとすると、重心の速度は
 
イメージ 5
であるので
回転の方程式は次のようになる。
 
 
イメージ 6
これが単振動の式になるには、
イメージ 7
でなくてはならない。
よってμは
 
イメージ 8
 
(7)
頭部の重心の回転エネルギー、位置エネルギーは
 
 
イメージ 10
 
イメージ 11
したがって、全系のラグランジアンは
 
イメージ 12
Lagrange方程式は
 
イメージ 13
θが小さいとして
イメージ 14
と近似して
イメージ 16
 
 
となる。
問題設定より、3m>Mよりこの微分方程式は単振動を表し、
よって、周期は
 
イメージ 15
慣性モーメントは
 
イメージ 17
であるので
 
 
イメージ 18
 
問題2
(1)
系の対称性から電場はrのみに依存、よってGaussの法則より、
 
イメージ 19
(2)
無限遠の静電ポテンシャルを0として、
 
イメージ 21
よって、静電容量は
 
イメージ 22
(3)
Ampereの法則を用いて
 イメージ 23
 
(4)
(例解 電磁気学演習(岩波書店)p.107を参考にした。)
(3)で求めた磁束密度を積分し、
 
イメージ 24
したがって、
 
イメージ 25
 
(5)
誘導起電力は
 
イメージ 32
を用いる。
 
イメージ 33を代入し、
 
イメージ 41
ここで、電位差V
 
イメージ 42
であるが、電場にz成分はないため、これは
イメージ 43
となる。
そこで先の式に代入し、両辺をΔzで割ってやれば、
 
イメージ 44
を得る。
 
(6)
Q=CVの関係が成り立っているので、これをtについて微分し、
 
イメージ 45
これと、電荷保存則
 
イメージ 46
より、
 
イメージ 47
 
 
(7)
先の(5), (6)で得た微分方程式を連立する。
 
イメージ 34
(B)式をtについて微分し、(A)式を代入して整理すれば、
 
イメージ 35
 
ここでこの方程式の解を
イメージ 36
とすると、確かに微分方程式を満たしkは
イメージ 37
を満たす。
したがって、Vの速度は
イメージ 38
 
 
(8)
先の結果から、
イメージ 39
であるので、
イメージ 40
となることがわかる。
 
(9)
 
未解決
 
  
 
 
 

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