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最近読んでいる本が、「ケプラーの予想」ジョージ・G・スピーロ (著), 青木 薫 (翻訳) 。
ケプラーは、ご存知、惑星運動の法則でよく知られている。 第1法則（楕円軌道の法則）
惑星は、太陽をひとつの焦点とする楕円軌道上を動く。
第2法則（面積速度一定の法則）
惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に描く面積は、一定である（面積速度一定）。
第3法則（調和の法則）
惑星の公転周期の2乗は、軌道の長半径の3乗に比例する。 さて、ケプラー予想とは、球をどのくらい詰め込むことができるかという問題に対し、それは、面心立方の場合であると予測したというもの。 結構簡単そうに見える問題であるが、これが、解かれたのは最近になってのこと。 1997年に、トーマス・C・ヘイルズによって、約４００年の時を経て解決された。
この本には、その予想が解かれるまでの、数々の数学者のﾄﾞﾗﾏが記述されている。 ケプラーの人なりがわかったりして、なかなかおもしろい。 ﾄﾞﾗﾏもおもしろいが、脚注にもところどころ結構興味をそそられることがかかれている。 ちっと気を惹かれたのが、巻末にのっていた4次元球の体積の公式。4次元球の場合、体積はr^4の次元であり、厳密には体積とはいえず、拡張した体積とでもいうもの。 それは、 V4=π^2 r^4 /2 球を積分すれば求まりそうだけど、実際どうやってもとめるのだろう。ちょっと追ってみよう。 円（2次元球）の面積はπｒ^2 球（3次元球）の体積は4/3πr^3 球（3次元球）の体積は、原点（０，０，０）を中心としたｘｙｚ軸上の球を考えると ｚ 軸と直交する球内の平面の面積は√（ｒ＾２ーｚ＾２）の半径の円の面積になるので、球の体積は−ｒからｒまでπ∫（ｒ＾２ーｚ＾２）ｄｚを積分すれば求まる。 この積分は π[ｒ＾２ｚ−ｚ＾３／３]になるので、π（ｒ＾３−ｒ＾３／３）−π（−ｒ＾３＋ｒ＾３／３）＝４／３πｒ＾３となり 簡単に求まる。 同様に４次元球の場合も、原点（０，０，０，０）を中心としたｘｙｚｗ軸上の４次元球を考えると、ｗ軸と直交する４次元球内の体積は√（ｒ＾２ーw＾２）の半径の球の体積になるので、４次元球の体積は−ｒからｒまで 4π/3∫（ｒ＾2ーw＾2）＾3/2ｄｗを積分すれば求まる。 この積分は、 ＝4π/3∫ｒ＾2√（ｒ＾2ーｗ＾2）dw−4π/3∫w＾2√（ｒ＾2ーｗ＾2）ｄｗ ここで∫ｗ＾2√（ｒ＾2ーｗ＾2）ｄwは、｛（r＾2ーw＾2）＾3/2｝’＝3w√（ｒ＾2ーw＾2）であることを利用して 部分積分すると1/3∫w×3w√（r＾2-w＾2）dw=1/3｛[w√（r＾2ーw＾2）]−∫√（r＾2ーw＾2）＾3/2ｄw｝ となるので、[w√（r＾2ーw＾2）]にｒと-rをいれるとこの部分は0になり ＝4π/3∫ｒ＾2√（r＾2ーw＾2）dw−4π/9∫（ｒ＾2ーｗ＾2）＾3/2ｄｗ となる。 ここで、２項目を左辺にもっていくと 16π/9∫（ｒ＾2ーｗ＾2）＾3/2ｄｗ＝4π/3∫ｒ＾2√（r＾2ーw＾2）dw となるので、もう一回3/4を掛けて4次元球の体積の式に戻してやると 4π/3∫（ｒ＾2ーw＾2）＾3/2ｄｗ=πｒ＾2∫√（r＾2ーw＾2）dw を求めればよいことがわかる。 ここで積分公式 F(x) =∫(√(1 - x＾2) dx : x = sin(u) とおくと、dx = cos(u)du
= ∫(√(1 - sin＾2(u)))･cos(u)du
= ∫cos＾2(u) du = (1/4)sin(2u) + (1/2)u + C = (1/4)･2sin(u)cos(u) + (1/2)u + C
= (1/2)･x(√(1 - x＾2)) + arcsin(x) + C πｒ＾2∫√（r＾2ーw＾2）dw = (πｒ＾2)[(1//2)･w(√(r＾2 - w＾2)) + r＾2･arcsin(w/r) ] となるのでｒと-rを代入して =(πｒ＾2)[( r＾2･arcsin(1)−r＾2･arcsin(-1) ] = (πｒ＾2)[( r＾2･π/2−r＾2･(-π2/) ] =π^2 r^4 /2 となってやっと求まる。 うーん。 部分積分とか全然忘れていたなあ。勉強になった。 拡張していけばｎ次元の拡張された体積も求めることができる。 これは、Γ（ｚ）関数を使って V_n(r) = 2π^(n/2) r^n / nΓ(n/2) = π^(n/2) r^n / Γ((n/2)+1) とあわらされる。 ネットでいろいろ調べてみたが、次元が増えるといろいろ面白い性質も見えてくる。 n 次元球の体積はどんどん大きくなりそうだが、 n = 5 のとき、れ最大値をとり、それ以降は n の増加にともない急激に減少して 0 に収束するといったことや。
http://my.reset.jp/~gok/math/pdf/spm/sphere.pdf に載っていた問題も面白い。 n 次元単位超立方体の各頂点に、そこを中心とした単位超球を置いたときに、その単位超球に挟まれた所、ちょうど単位超立方体の中心付近に空間に、超球を入れる場合、半径幾つの超球なら入るかという問題が紹介されていたが。 n 次元空間では半径√n − 1 の超球がすっぽり収まることが知られているそうだ。 確かに2次元空間では、√２−１の円が入る。 しかし、5次元では、、√5−1 > √4−1 = 1 となり、１より大きくなってしまう。 これは、最初の単位超立方体からはみ出してしまう球が入るということになってしまう？ とても不思議。 |
最近読んだ本
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最近、いくつかのマインドマップの本を読んでいて、ああ、なるほど、マインドマップはこうして使うのかと、やっとわかった気がしたのが、高橋政史氏のマインドマップ問題解決である。 マインドマップはロジカルシンキングを行うための道具なのだ。 高橋政史先生は、マインドマップを使えば、ロジカルシンキングが簡単に身に付くと書いてあるが、やはり、この本だけで、ロジカルシンキングを理解するには、もうちょっと、無理な気がする。 ロジカルシンキングおよびクリティカルシンキングの入門書と合わせて読むと、理解が深まるので、ぜひ、合わせて読んでおきたい。 入門書としては、次の2冊がわかりやすく、お薦めだ。 まずは、日経文庫のロジカルシンキング入門（茂木秀昭 著）だ。特に、演繹法と帰納法による論理の展開の仕方を、三角ロジックで説明してあり、これがなかなかわかりやすい。 データ（事実）→論拠→主張 で推論するのが、帰納法。 論拠→データ→主張 で推論するのが、演繹法。 当たり前のことが書かれているが、三角の図で示されると、帰納法と演繹法がより身近に感じられる。 また、この本に、ゴーン氏が、「日本は管理者にとっては、天国のような国だ、管理者の言ったことは、議論なしに従う。」と言ったということが書かれていたが、私の会社でも、トップの意見に左右されて、方向性が決まる会議が非常に多い。結構、ロジカルに考え、上にも率直にものを言える会社だと思っていたが、よく見てみると、上の意見には、盲目的にしたがっている場合が多く、会議でも、偉い人しか意見を言わないといった情景がよく見られる。 意外と日本の会社は、ロジカルな思考方法で、議論をしていないものだ。ぜひ、我々日本人も、ロジカルシンキングを身に付け、グローバルにビジネスを渡り合いたいものだ。 次にお薦めなのが、通勤大学MBA クリティカルシンキング（青井倫一 著）だ。この本は、クリティカルシンキングの全体像をコンパクトにまとめてある。 この本に書かれているフレーム思考の考え方はぜひ身に付けておきたい。 ここで、紹介されているのは、次の１５個のフレームワークだ。 ３Ｃ分析 価値連鎖の９つの価値創造活動。 マーケティングの４Ｐ ＰＰＭ分析 ５つの力 ポーターの３つの基本戦略 ＳＷＯＴ分析 マッキンゼー社７つのＳ バランススコアカード 効率・効果 質・量 事実・価値 長所・短所 時間軸� 蔽惨�、中期、長期） 時間軸�◆焚甬遏�現在、未来） 他にも、覚えたいフレームワークはあるが、このあたりは、確かに基本なので、おさえておきたいフレームワークだ。 |
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脳にいいことだけやりなさいマーシー・シャイモフ (著), 茂木健一郎 (翻訳)を読んだ。 ベストセラーで、なかなかいいと聞いて、だいぶ前に買ってあったのだが、積んどく状態になっていたので、今日、床屋での待ち時間を利用してやっと読んだ。 読む前まで、茂木さんが書いた本だと勘違いしていたが、茂木さんは翻訳で、マーシー・シャイモフ というアメリカで自己啓発セミナーを数々主催しているカリスマ・コーチが書いた本だった。 マーシー・シャイモフは、成功の秘密が書かれているというベストセラー「ザ・シークレット」の中にも登場する賢者の一人だそうだ。 原題は「Happy for No Reason」で、脳ということばは入っていない。茂木さんが翻訳したので、こんな題になったのだろうが、本屋の戦略が煤けて見える。茂木さんが書けばなんでも売れると思っているのだろう。 でも、内容は大変よくまとまっていて、すらすらと読める。脳にいいこととして７つの要素を実践すればあなたも幸福になれるという。 脳にいいことの７つの要素の事例として載っているエピソードは、印象的だ。 特に、次の２つのエピソードがよかった。 ・盲目になった看護師アリエルがいかに幸福になったか。 ・「自分を憐れむのをやめなさい。人の幸せを考えるようにしなさい」と僧侶に諭されたスカーレットが、スーパーのレジでいらいらしている人に「どうぞ」と順番を譲った時のその後の変化。 すぐ、実践したくなったのが「ありがとうの儀式」。 今日あった人に対してありがとうと言おう。そして、今日の一日を、神から与えられた人生に感謝しよう。スタインドルラスト修道士の言葉「幸せだから感謝するのではありません。感謝するから幸せなのです。」 |
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年度末も近づき、年初に立てた計画が、あまりにも、意味を成していないのに愕然とする今日この頃である。 プロジェクトを推進していくと、必ずといっていいほど、予測不可能な問題（マーフィと呼ばれる）があらわれて、計画通りに終わらない。そんな経験を持っているプロジェクトリーダーは多いに違いない。 問題が起きたときには、リソースを増やすか、納期を延ばすか、機能を削るかの判断を迫られるので、リスク管理のために、計画にバッファをもたせることが多い。しかし、バッファには注意が必要だ。 昔、外注に発注したシステムで、あまりにも納期が長くてブチ切れたことがあった。そこで、その当時はPIMBOKとかいうことは知らなかったが、タスクベースで日程を出させたところ、一つ一つのタスクに全てバッファを持たせた計画を作ってきた。これでは、タスクを分ければ分けるほど計画が伸びてしまうではないか。しかも、さらに、フェーズ毎にもバッファを持たせている。こんなプロジェクト管理ではダメだということで、人ベースで計画を整理し直して、ギリギリの計画で、バッファを全部削って進めさせたことがあった。 以来何度も、プロジェクトを推進してきたが、計画作りにはいつも悩まされる。 ゴールドラットのクリティカルチェーンは、プロジェクト推進に一条の光を与えてくれる。 おそらく、経験を積んだ現場のプロジェクトリーダはそんなことは、当たり前に実行していることかもしれないが、、制約理論でもって、どんな計画を作るべきかを示してくれている。 クリティカルチェーンは、まさに、プロジェクトを推進していく人にとっては、一読の本である。
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私も情報関連の仕事をして長いが、IT技術を使って、生み出される効果をうまく算出するのはとても難しいと日頃感じている。 情報化の進展によって、ビジネス形態は大きく様変わりをしてしまう。例えば、WEBによる出店はただ単に店を出す費用が安くなるとして効果をはじく人はいないだろう。ｅメールもしかり。たくさんのメールを安く速く出すことができるということで、効果をはかることはできない。それによって生み出される価値こそが効果で、ＩＴ技術は、従来のシステムの概念を大きく変えてしまうので、その延長線上では見積もることはできないのだ。 しかしながら、会社の中では、なかなか、情報化投資に対して、うまく説明がなされていない場合が多い。例えば、工場の中の品質状態やラインの稼動状態が瞬時に多くの人が共有できるような工場情報システムを構築したとしよう。今までなら、その情報を集めるには膨大な人工を要したに違いないといって、その人工でもって効果をはじいてはいけない。その情報をつかって、実施される経営が、価値をもたらす。今までと同じ改善活動をしていては、儲からない。工場情報システムがあれば、重役だって、どのラインがうまく動いていないかすぐわかるようになるのである。重役直結のタスクチームでもって改善したり、会社内にとどまらず、仕入先や得意先と情報を共有して、製造状態を管理することもできる。大きく改善のルールを変えなければならないのだ。 そうしたことを物語風に教えてくれるのが、「ザ･ゴール」で有名なゴールドラットの「チェンジ・ザ・ルール」である。ＥＲＰソフトを販売する架空の大手ソフトベンダーを例に話は展開される。 情報屋がよくおちいる専門用語で重役にわかってもらえない話や、効果が見えないといって重役陣に問い詰められる話が出てきて大変興味深い。 最近、ゴールドラット氏の新作「ザ・チョイス」も売り出されているが、これもお薦めだ。
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