[答36]5の倍数を表す式

[問36]

　nは2桁の自然数で，n²＋1は5の倍数になります．
　このようなnは何個ありますか．

[答]36個

[解法1]

　n²＋1が5の倍数となるので，n²の下一桁は4か9になります．
　つまり，nの下一桁は2,3,7,8のいずれかです．
　nは二桁の自然数なので，4×9＝36個あります．

[解法2]

　nを5で割った余りで分類して，n²を5で割った余りを考えます．
　mを自然数として，
　n＝5mのとき，(5m)²＝5(5m²)より，5で割った余りは0
　n＝5m+1のとき，(5m+1)²＝5(5m²+2m)＋1より，5で割った余りは1
　n＝5m+2のとき，(5m+2)²＝5(5m²+4m)＋4より，5で割った余りは4
　n＝5m+3のとき，(5m+3)²＝5(5m²+6m+1)＋4より，5で割った余りは4
　n＝5m+4のとき，(5m+4)²＝5(5m²+8m+3)＋1より，5で割った余りは1

　n²＋1が5の倍数となるとき，n²を5で割った余りは4となりますので，
　nを5で割った余りは2か3となります．
　そのような2桁の自然数は，4×9＝36個あります．