ポケモンと数学のブログ

[答38]下3桁が444となる平方数

[問38]

　2乗すると下3桁が444となる自然数のうち，最小のものは何ですか．
　また，2番目に小さいものは何ですか．

[答]38, 462

[解法]
　2乗して一の位が4となる数の一の位は2または8です．
　
　n＝10a+2のとき，
　(10a+2)²＝100a²+40a+4
　ここで，十の位が4となることからa＝10b+1または10b+6となります．
　n＝100b+12のとき，
　(100b+12)²＝10000b²+2400b+144となり条件を満たしません．
　n＝100b+62のとき，
　(100b+62)²＝10000b²+12400b+3844
　b＝10c+4,10c+9のとき下三桁が444となります．
　462²＝213444, 962²＝925444などですね．

　n＝10a+8のとき，
　(10a+8)²＝100a²+160a+64
　ここで，十の位が4となることからa＝10b+3または10b+8となります．
　n＝100b+38のとき，
　(100b+38)²＝10000b²+7600b+1444
　b＝10c，10c+5のとき下三桁が444となります．
　38²＝1444，538²＝289444などですね．
　n＝100b+88のとき，
　(100b+88)²＝10000b²+17600b+7744となり条件を満たしません．

　以上より，一番小さい数は38，その次は462です．

[答37]実数解を一つ持つような定数

[問37]

 

　　

 

[答]a＝(-10/63)e^(-3/7)

 

[解法]

 

　　

[答36]5の倍数を表す式

[問36]

　nは2桁の自然数で，n²＋1は5の倍数になります．
　このようなnは何個ありますか．

[答]36個

[解法1]

　n²＋1が5の倍数となるので，n²の下一桁は4か9になります．
　つまり，nの下一桁は2,3,7,8のいずれかです．
　nは二桁の自然数なので，4×9＝36個あります．

[解法2]

　nを5で割った余りで分類して，n²を5で割った余りを考えます．
　mを自然数として，
　n＝5mのとき，(5m)²＝5(5m²)より，5で割った余りは0
　n＝5m+1のとき，(5m+1)²＝5(5m²+2m)＋1より，5で割った余りは1
　n＝5m+2のとき，(5m+2)²＝5(5m²+4m)＋4より，5で割った余りは4
　n＝5m+3のとき，(5m+3)²＝5(5m²+6m+1)＋4より，5で割った余りは4
　n＝5m+4のとき，(5m+4)²＝5(5m²+8m+3)＋1より，5で割った余りは1

　n²＋1が5の倍数となるとき，n²を5で割った余りは4となりますので，
　nを5で割った余りは2か3となります．
　そのような2桁の自然数は，4×9＝36個あります．

[答35]不動直線

[問35]

 

　　

 

[答]（3,5），（-3,-5），（5,-3），（-5,3）

 

[解法]

 

　　

[答34]無限数列の収束値

[問34]

 

　　

[答]3/4

[解法]