ポケモンと数学のブログ

積・商の微分

今日は，関数同士の積および商の微分について簡単に確認したいと思います．

 

 

微分の基礎事項ですが，基礎だけに重要ですね．

コーシー・シュワルツの不等式

[問22]で使った，コーシー・シュワルツの不等式を紹介します．

 

「相加・相乗平均の関係」の一般化

[問21]では，3変数の相加・相乗平均の関係を用いましたが，相加・相乗平均の関係は，一般の場合も成立します．
このことを，次に示します．

 

 

この証明は，非常に面白いなと思いました．
相加・相乗平均の関係の証明は他にもいろいろあります．僕が少し調べただけでも結構見つかりました．

いろいろと紹介したいのですが，とてもまとめきれません．

ツェラーの公式

ツェラーの公式は，年月日(年は西暦)からその日が何曜日かを算出する公式です．

 

 

しかし，この公式は2000年12月31日以前では使えませんので，これを一般に使えるように拡張します．

 

 

この公式を使えば，年月日から曜日を求めることができますが，これを覚えてしまうのはあまり得策ではないかもしれません．
今日からの日数を数えて，それを7で割った余りから曜日を求める方がよいかもしれませんね．

バウムクーヘン積分

[19]のような，y軸周りの回転体の体積を考えるときに大変有力なのが，このバウムクーヘン積分です．

 

以下に概要を示します．

 

 

この考え方を使えば，y軸周りの回転体の体積を求める際にわざわざxをyの関数として表現する必要がなくなります．さらに，このときに場合分けが必要になったりすることもあります．

 

バウムクーヘン積分を使えば，基本的にはそのようなわずらわしさはありません．