関数の定義

ブログタイトルに反して、全然数学の話題がないことに最近気が付きました。タイトルを変えようかとも思いましたが、とりあえず数学関係の記事を１つ書いてごまかそうという結論に至ったわけで・・・。

中学を卒業した人なら、誰でも「関数」という言葉は聞いたことがあるだろう。中学の範囲では１次関数、２次関数が登場する。高校では三角関数、指数関数、対数関数、３次関数、分数関数、無理関数などなど、様々な関数が登場する。数学の授業ではこれだけ「関数」について学習するのに、関数の定義を理解していない生徒はかなり多い。高３に質問しても、まともな答えはなかなか返ってこない。

教科書では、次のように関数を定義している。

学校図書（中２）：ともなって変わる２つの変数ｘ，ｙがあって、ｘの値を決めるとそれに対応するｙの値がただ１つ決まるとき、ｙはｘの関数であるという。

数研出版（数学Ⅰ）：２つの変数ｘ，ｙがあって、ｘの値を定めるとそれに対応してｙの値がただ１つ定まるとき、ｙはｘの関数であるという。

啓林館（数学Ⅰ）：２つの変数ｘ，ｙがあって、ｘの１つ１つの値に対して、ｙの値が１つずつ決まるとき、ｙはｘの関数であるという。

大事なのは、１つのｘの値に対してｙの値がただ１つに定まるということ。ｙの値が２つ以上でてきてはダメなのである。つまり、円は関数ではないということになる。私が関数の授業をすると、試験問題に必ず関数の定義に関する問題が出題される。いくつかのグラフを示し、その中からｙがｘの関数であるものを選ぶ問題である。今の中２は授業でしつこく説明したので、理解していると信じたい。中３は関数の定義を授業でやっていなかったようなので、この前の授業で説明した。数学において、定義というのは最も重要なので、しっかり理解させたい。

参考までに、集合を用いて関数を定義すると、次のようになる。

Ｘ，Ｙを実数全体の集合Ｒの部分集合とする。Ｘのどの要素にも、Ｙの要素がただ１つ対応しているとき、この対応を、ＸからＹへの関数という。