n(n+1)(n+2)=3Σk＝１nk(k+1) の幾何学的意味〔補遺〕

n(n+1)(n+2)=3Σ_k＝１ⁿk(k+1)

の幾何学的意味〔補遺〕

が三つ重なって、直方体ができるというとき、外側の構造は、

 

から分かるが内側の構造が最後はどうなるかが分かりにくかったと思う。

 

　しかし、数列

n(n+1)(n+2)=3Σ_k＝１ⁿk(k+1)

で、n=1のとき、は

　1×2×3＝3×(1×２）

であることから、一番内側の構造は1×2×3の直方体であり、それは階段状の頂点の1×２の直方体が3個組み合わさった構造である。それはz軸からの赤い階段の1×2の頂点とy軸からの緑の階段の1×2の頂点とx軸からの黄色い階段の1×2の頂点がくっついたものであることが分かる。すなわち下の図のようになっている。

それにz軸から2×3の板をくっつけると、

さらにy軸から2×3の板をくっつけると、

最後にx軸方向から2×3の板をくっつけると、

こうして1×2×3の直方体に、2×3の板を3枚くっつけて、2×3×4の直方体が出来た。さらに外側に３×4の板を3枚、そして4×5の板を3枚、

・・・、　　n×（n+1）の板3枚というように、板をくっつけていくと、

n×(n+1)×(n+2）の直方体が、赤い階段と緑の階段と黄色の階段の三つをくっつけてできることが分かるだろう。