科学革命

n(n+1)(n+2)=3Σk＝１nk(k+1) の幾何学的意味〔補遺〕

n(n+1)(n+2)=3Σ_k＝１ⁿk(k+1)

の幾何学的意味〔補遺〕

が三つ重なって、直方体ができるというとき、外側の構造は、

 

から分かるが内側の構造が最後はどうなるかが分かりにくかったと思う。

 

　しかし、数列

n(n+1)(n+2)=3Σ_k＝１ⁿk(k+1)

で、n=1のとき、は

　1×2×3＝3×(1×２）

であることから、一番内側の構造は1×2×3の直方体であり、それは階段状の頂点の1×２の直方体が3個組み合わさった構造である。それはz軸からの赤い階段の1×2の頂点とy軸からの緑の階段の1×2の頂点とx軸からの黄色い階段の1×2の頂点がくっついたものであることが分かる。すなわち下の図のようになっている。

それにz軸から2×3の板をくっつけると、

さらにy軸から2×3の板をくっつけると、

最後にx軸方向から2×3の板をくっつけると、

こうして1×2×3の直方体に、2×3の板を3枚くっつけて、2×3×4の直方体が出来た。さらに外側に３×4の板を3枚、そして4×5の板を3枚、

・・・、　　n×（n+1）の板3枚というように、板をくっつけていくと、

n×(n+1)×(n+2）の直方体が、赤い階段と緑の階段と黄色の階段の三つをくっつけてできることが分かるだろう。

 

n(n+1)(n+2)=3Σk＝１nk(k+1) の幾何学的意味

n(n+1)(n+2)=3Σ_k＝１ⁿk(k+1)

の幾何学的意味

（１）はじめ　

　先々記事で求めた公式、

n(n+1)・・・（n+p−1）=pΣ_k=1ⁿk(k+1)・・・(k+p−2)

で、p＝３とおくと、

n(n+1)(n+2)=3Σ_k＝１ⁿk(k+1)

　となるが、先記事と同じように、その幾何学的意味を解明しよう。

 

（２）幾何学的意味の解明

　先記事と同じように次の恒等式について考察する。

n(n+1)・・・(n+p−1)+p(n+1)・・・(n+p−1)

= (n+1)・・・(n+p−1)(n+p)

個の恒等式でp＝３と置くと

n(n+1)(n+2)+3(n+1)(n+2)=(n+1)(n+2)(n+3)

 

 この式は縦横高さがn,n+1,n+2の直方体に、縦横がn+1,n+2で厚さ１の板を3枚くっつけたら、縦横高さが、n+1,n+2,n+3の直方体になることを意味している。この板のくっつけ方を考えよう。

 

　そこで先ず、x軸方向に長さn、

y軸方向に長さn+1、z軸方向に長さn+2

の直方体を考える。これは図1のとおりである。

 

板をくっつけると、n+3 の辺ができるのだから、下の図2のように

ｘ軸方向にn+1、ｙ軸方向にｎ＋2にして厚さ１の板をz軸方向からくっつける。赤い板である。

 

次に、x軸方向にn+1,z軸方向にn+2 になるように、厚さ１の板をy軸方向からくっつける。緑の板である。

最後にｙ軸方向にｎ＋1、z軸方向にn+2、になるようにして、厚さ１の板をx軸方向からくっつける。黄色い板である。

このように、縦横高さがｎ、ｎ＋１、ｎ＋２の直方体に、3方向から3枚の縦横の長さがｎ、ｎ＋１で厚さが1に板をくっつけると、縦横高さが

ｎ＋１、n＋２、ｎ＋３の直方体になる。

この考察を繰り返すと、下図の階段状のものを三つ組み合わせて直方体が出来ていることが分かる。

　下図の場合は、

縦×横がｋ×（ｋ＋１）（ｋ＝1,2,3,4）の板が4枚重なっている階段であり、それは

4×5×6＝3×（1×2＋2×3＋3×4＋4×５）

　の直方体をなす、三つの階段の一つである。この階段が3個うまくかみ合わさって縦×横×高さが4×5×6の直方体になるのは図に表すのは難しいが、イメージできるだろう。

（３）ｐ≧4の場合の類推

　ｐ≧４の場合も同様に考えればよいことは類推できるだろう。

 

 

 

n(n+1)=２Σk=1nkの幾何学的意味

n(n+1)=２Σ_k=1ⁿkの幾何学的意味

（１）はじめに

　先記事で証明した公式、

n(n+1)・・・（n+p−1）=pΣ_k=1ⁿk(k+1)・・・(k+p−2)

でｐ＝２と置くと、

n(n+1)=2Σ_k=1ⁿk=2(1+2+・・・+n)

となる。

　この式の幾何学的意味を解明しよう。

 

（２）公式の幾何学的意味の解明

公式の証明の最初に用いた恒等式、

n(n+1)・・・(n+p−1)+p(n+1)・・・(n+p−1)

= (n+1)・・・(n+p−1)(n+p)

でp＝２を代入すると

n(n+1)+2(n+1)=(n+1)(n+2)

これは中学生でもわかる恒等式であるが、その意味を考えてみよう。

 

 

　上の図のように、x軸方向に長さｎ、y軸方向に長さn+1の長方形を考えると、面積は

S_ｎ＝ｎ(n+1)

になる。

　これに、２(n+1)を足すことは、どういうことかを考えよう。

先ず、(n+1)を2個加えると面積が、(n+1)(n+2)なることから、y軸方向の長さは、n+2にならないといけないので、y軸の頭の上に、高さ1、長さ、n+1の長方形を乗せる。するとy軸方向の長さはn+2になる。

 

　さらに下の図のように、長方形の横の方に面積

n+1の図形を加える。すると、x軸方向の長さが

n+1、y軸方向の長さがn+2 の面積(n+1)(n+2)の長方形ができる。

上の考察を繰り返すと、ｎ(n+1)は下の図のように二つの階段状の図形の和になっていることが分かる。

 

 

上の図は5×6＝2×（１＋２＋３＋４＋５）であることを示している。

一般に、上の図形が

２Σ_ｋ＝１^ｎｋ＝2(1+2+・・・＋n)=n(n+1)

になる理由である。

 

（３）次の課題

　p＝2の場合の考察で、公式の幾何学的意味は見えてきた。次にp＝3の場合は3次元立体を考えればよいことは推測できる。そして結果は、この考察を一般化した場合であることが分かった。そして同様に任意のｐの場合の幾何的意味も見通せる。次の記事でp＝3の場合の幾何学的意味を解明しよう。

 

 

n(n+1)・・・（n+p-1）=pΣk=1nk(k+1)・・・(k+p−2)の証明

n(n+1)・・・（n+p−1）

=pΣ_k=1ⁿk(k+1)・・・(k+p−2)の証明

（１）はじめに

　次の公式を発見した。

 

n(n+1)・・・（n+p−1）=pΣ_k=1ⁿk(k+1)・・・(k+p−2)

である。

　ここで　Σ_k=rⁿはkをrからｎまでの和を取る記号である。一般的にはｋの関数f（k）に対して

Σ_k=rⁿf（k）＝f（r）＋f（r+1）＋・・・＋f（n）

を意味する。

　表題の公式はp＝1のときは

　n=Σ_k=1ⁿ１＝１＋１＋・・・＋１＝ｎ

　と自明な式になる。

　　　p＝2のときは。

n(n+1)=2Σ_k=1ⁿk=2(1+2+・・・+n)

これは、Σ_k=1ⁿk=1+2+・・・+n＝n(n+1)/2

という良く知られている公式となる。

　私が発見したのはこれをもっと一般化した公式と言える。

 

（２）証明

　先ず次の恒等式に注目する。

　n(n+1)・・・(n+p−1)+p(n+1)・・・(n+p−1)

= (n+1)・・・(n+p−1)(n+p)

 そこで

_ｐL_ｎ＝n(n+1)・・・(n+p−1)

　とおく。ここで、nは積のスタートする数で、pは積の個数を意味する。すると、上の恒等式は

_ｐL_ｎ＋ｐ_p−1L_n+1=_pL_n＋1

 変形して

_pL_n＋1− _pL_n＝ｐ_p−1L_n+1　この式をnが１からn−1まで動かして両辺の和を取る。

 

 

 

_pL_n− _pL_n−1＝ｐ_p−1L_n

_pL_ｎ−1− _pL_n-２＝ｐ_p−1L_n−１

・・・・　　・・・

_pL_２− _pL_１＝ｐ_p−1L_２

和をとると

_pL_n− _pL_１＝ｐΣ_ｋ＝２^ｎ_p−1L_ｋ

したがって、

_pL_n＝ _pL_１＋ｐΣ_ｋ＝２^ｎ_p−1L_ｋ

　ところで_pL_１＝ｐ！＝ｐ（p−1）！＝ｐ_ｐ−１L_１

したがって、

_pL_１＋ｐΣ_ｋ＝２^ｎ_p−1L_ｋ＝ｐ_ｐ−１L_１＋ｐΣ_ｋ＝２^ｎ_p−1L_ｋ

＝ｐΣ_ｋ＝1^ｎ_p−1L_ｋ

 

　ゆえに、

_pL_n＝ｐΣ_ｋ＝1^ｎ_p−1L_ｋ

つまり、

n(n+1)・・・（n+p−1）=pΣ_k=1ⁿk(k+1)・・・(k+p−2)

 

（３）今後の課題

　求めた公式の幾何学的意味も分かったので説明したい。特に、ｐ=2 とp＝3のときは視覚にうったえる理解もできるので紹介したい。

外積の成分の幾何学的意味

外積の成分の幾何学的意味

（１）はじめに

　二つのベクトルAとBがあったとき、その外積

C＝A×Bとするとき、Cの大きさは、AとBを隣接二辺とする平行四辺形の面積に等しく、向きは平行四辺形に垂直で、右ねじをAからBの方向に回すときの進行方向に同じと言われる。しかし、Cベクトルの成分は何を意味しているか釈然としない。

　そこで、外積の成分の幾何学的意味について考えてみた。

 

（２）外積の幾何学的意味

　外積C=A×BはAとBの作る平行四辺形の面積とその法線ベクトルの向きを表す量と考えねばならないと思う。つまり、ベクトルの大きさは平行四辺形の面積であり、向きは平面の法線方向である。つまり、外積は面の性質を表す量である。すると、そのｘ成分、y成分、z成分は何を表しているかが問題となる。

 

（３）面積のピタゴラスの定理

以前「面積のピタゴラスの定理」

https://blogs.yahoo.co.jp/sennkakunakamura/14567104.html

という記事を書いた。

　ここでは要点だけを説明しよう。

三次元空間に面積S、単位法線ベクトル

ｎ＝（n_x,n_y,n_z）の平面があったとき、Sのy−z平面への射影はS_ｘ＝n_xS、z−x平面への射影はS_y＝n_yS、x−y平面への射影はS_z＝n_zSとなり、

S^２＝（n_x^２＋n_ｙ^２＋n_ｚ^２）S^２

＝（n_xS）^２＋（n_ｙS）^２＋（n_ｚS）^２

＝S_ｘ^２＋S_ｙ^２＋S_ｚ^２

であり、これが面積のピタゴラスの定理である。

 

（４）射影した平面の面積

　先ずSをy−z平面に射影したS_ｘを求めよう。

　A=（A_x,A_y,A_z）、B=（B_x,B_y,B_z）をy−z平面に射影したベクトルは、

A_y−z=（０,A_y,A_z）、B_y−z=（０,B_y,B_z）

A_y−zとB_y−zの作る平行四辺形の面積はS_ｘであり、

S_ｘ＝A_ｙB_ｚ−A_ｚB_ｙ

同様に、Sをｚ−ｘ平面に射影したS_ｙを求めよう。

　A=（A_x,A_y,A_z）、B=（B_x,B_y,B_z）をｚ−ｘ平面に射影したベクトルは、

A_z−x=（A_ｘ,０,A_z）、B_z−x=（B_ｘ,０,B_z）

A_z−xとB_z−xの作る平行四辺形の面積はS_ｙであり、

S_ｙ＝A_ｚB_ｘ−A_ｘB_ｚ

 

同様に、Sをx−y平面に射影したS_ｚを求めよう。

　A=（A_x,A_y,A_z）、B=（B_x,B_y,B_z）をx−y平面に射影したベクトルは、

A_ｘ−ｙ=（A_ｘ,A_y,０）、B_y−z=（B_ｘ,B_y,０）

A_x−yとB_x−yの作る平行四辺形の面積はS_ｚであり、

S_ｚ＝A_ｘB_ｙ−A_ｙB_ｘ

 

（５）外積の成分の意味

　外積の成分は通常、

C=A×B

=( A_ｙB_ｚ−A_ｚB_ｙ, A_zB_x−A_xB_{z ,}A_xB_y−A_yB_x)

であるが、

S_ｘ＝A_ｙB_ｚ−A_ｚB_ｙ

S_ｙ＝A_ｚB_ｘ−A_ｘB_ｚ

S_ｚ＝A_ｘB_ｙ−A_ｙB_ｘ

なので、

C=A×B=（S_ｘ, S_y ,S_z）を意味する。

 

（６）結論

　外積A×Bのx成分は、AベクトルとBベクトルの作る平行四辺形をy−z平面に射影した図形の面積であり、ｙ成分は、z−x平面に射影した図形の面積であり、ｚ成分は、ｘ−ｙ平面に射影した図形の面積である。