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この結果をまとめると、
（１）a〜ｆのどんな置き換えをつなげる操作＊でも
結果（答え）は、置き換え｛ a , b , c , d , e , f ｝の中にある。
（２）どんな置き換えとつながっても、
結果がまた元の置き換えになる単位eの置き換えがある。
（例……a * e＝a)
（３）ある置き換えには、それとつながって、
結果が単位eとなるような置き換えが
｛ a , b , c , d , e , f ｝の中にある。
（例……d * f＝e）
以上（１）（２）（３）を満たしている集まりを、
数学では「群」と呼んでいる。
っつうことは、
ある対称性を持つ置き換えの全ては、
群をなすってこと。
この置き換えの対称性――群を成すことは、
数学の世界では極めて重要な命題となっている。
200年ほど前、ガロアという年若い数学者が、
この命題を2次以上の方程式――
例えば、X²＋bX＋c＝0とかX³＋bX²＋cX＋d＝0とかの
係数b,c,d……と解（答え）の関係に使い
それまで数百年の間十分には解けていなかった
「5次以上の方程式には一般的な代数的解の公式は存在しない」
ことを明らかにしたからだ。
ガロアはもちろん、10代のころから花開いた天才的数学者。
その上、政治活動に情熱を燃やすピュアな革命家でもあり、
な、なんと歴史的な解法を小論文にまとめあげた翌日、
いまだ謎とされる決闘によってあたら20歳の命を散らせてしまった。
なんともはや、ロマン満載の人生ではないか。
ミーハーな僕は、学生時代そんな彼にすっかり魅了されてしまった。
で、ゼミの仲間とけったくし、
大学祭のとき我露悪（ガロア）という喫茶店を開いた。
けっこうな儲けになったのだが、それを数学双書の購入にでも充てれば
ガロアの爪の垢、ひと粒ぐらいは舐められたかも知れない。
もちろん、そんなことはしない。
麻雀大会を開いてすっからかんになってしまった、やれやれ（笑）
現代になり、この置き換えの対称性――群は思わぬところで活躍している。
それは構造人類学という分野、それを拡大した構造主義という哲学で……
たとえば、オーストラリア北部にもともと居住していた種族の
「カリエラ型」と呼ばれる婚姻制度。
この制度がクラインの四元群と同型であることが分かっている。
婚姻制度とは文字通り置き換えに他ならないから、
このシステムが群になるとは、
数学的美――対称性に貫かれているってことだ。
それはまた社会の公平さを示唆している。
まだ文字は誕生していなかったと思われる時代に、
これほど高度な社会生活が営まれていたことに驚かされる。
さてさて、全てを板チョコでお茶を濁そうとした物ぐさ少女A。
ひょっとして、ひょっとすると、
数学の美、対称性をわきまえた優れ者だったんじゃなかろうか
……ってね。
全国津々浦々の少女諸君、
もし君が美意識のある賢い女性と思われたいなら、
月にも、スッポンにも同じチョコを贈ることをお勧めする。
責任負えないけど（笑）
【補足】
※ 置き換えの集まり｛ a , b , c , d , e , f ｝をつなげる操作＊は、
前後の交換が可能。例えば、a * b＝b * a＝ｆ
※ （１）（２）（３）を満たしている集まりを、
数学では「群」と呼んでいる。
例えば整数の集まり
{０、１、２、３、４、……−１、−２、−３、−４、……}
は足し算という操作に関して群をなす。
この場合、置き換えじゃなく数字だけど。
確かめられたし。
※ 係数b,c,d……と解（答え）との関係
2次方程式 X²＋bX＋c＝0を例としてみる。
方程式の解（答え）をα、βとしたとき
（X−α）（X−β）＝0だから、
開くと、X²−（α＋β）X＋αβ＝0。
係数b,cは、次のように表せる。
ｂ＝−（α＋β）、ｃ＝αβ
α、βの置き換えは1通りしかない。
ｂは、−（β＋α）。ｃは、βα。
共に、
−（β＋α）＝−（α＋β）、
βα＝αβ だから、
（足し算と掛け算は可換――α＋β＝β＋α、αβ＝βα）
係数は解の置き換えに関して
対称性（置き換えをしても変わらない）があると言える。
また、この対称性のある数の四則計算をしてみると、
例えば……
ｂ＋ｃ＝−（α＋β）＋αβ、ｂ−ｃ＝−（α＋β）−αβ、
ｂｃ＝ｂ×ｃ＝−（α＋β）×αβ、
ｂ/ｃ＝ｂ÷ｃ＝−（α＋β）/αβで、
どの式のα、βを置き換えても値は変わらない。
対称性は保たれている。
即ち
１） 係数は、解の置き換えに関して対称性がある。
２） 対称性のある数の四則計算は対称性を失わない。
そして解α、β自身については、
置き換えたら違うものになってしまうから（α≠β）
３） 解の置き換えは解自身に関して対称性がない。
この三つが大切なポイント。
3次方程式でも同じ。
X³＋ｂX²＋ｃX＋ｄ＝0とする。
この解をα、β、γとすると、
（X−α）（X−β）（X−γ）＝0だから
これを開いて
X³−（α＋β＋γ）X²＋（αβ＋βγ＋αγ）X−αβγ＝0
になるから
ｂ＝−（α＋β＋γ）
ｃ＝（αβ＋βγ＋αγ）
ｄ＝−αβγ
これらの式は、α、β、γの置き換えに関して対称。
で、その置き換えは前出した①、②、③の置き換えと同様に
6通りある。
【例】
α β γ
＼ ／ ｜ （置き換え a )
／ ＼ ｜
α β γ
置き換えa を行ったとき、
係数ｂは−（β＋α＋γ）で、−（α＋β＋γ）と等しい。
係数ｃは（βα＋αγ＋βγ）で、（αβ＋βγ＋αγ）と等しい。
係数ｄは−βαγで、−αβγと等しい。
6通りすべての置き換えでこれが言えるから、
3次方程式の時も、
係数は解の置き換えに関して対称性がある。
※ この制度がクラインの四元群と同型
詳しく確かめたい方は、
「徒然に想うこと」―３，４，５をご覧いただきたい。
偶然とも必然ともつかない
こういう手合いの出来事はたびたび起こる。
以前ブログでも紹介した「超弦理論」。
それを表す数式に、一般性相対論の数式と、
素粒子論の数式を組み込む作業（万物の統一理論）
をしていた時、
突然496という数字が現れ出したという。
その時の様子を物理学者ジョン・シュワルツは、
神からの啓示を受けたようだったと述べている。
じつはこの496、完全数と呼ばれるもので、
その数の約数からその数自身を除いた全てと1との和が、
その数自身になるという特別なもの。
（例えば、6 = 1 + 2 + 3、28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)
さらにこの496は、ギリシャ神話などで
「万物を創造する数」とされていたというのだから、
いやはやまったく、人間というものの量り知れない深遠。
この符合は、いったい何を意味しているのだろう？
真・善・美の三位として別々に織り込まれた糸どもは、
いま一枚のタペストリーとなりつつあるのかもしれない。
最先端を行く理論物理学者の多くが
次第に宗教・哲学へと傾倒してゆくのは、
単なる趣向の問題ばかりでもあるまい。
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言の葉つづり
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（画像、お借りしました）
「数学の美」なんて言うとうさんくさいメタファーみたいだけど、
これがどうしてどうして、実際に体感できちゃったりする。
美と言えば百人百様、共通に認識できるメジャーもなければお手本もない。
ただし、数学の場合はちょっと違う。
それは「対称性」という言語に翻訳できるからだ。
えっ、対称性？ ますます雲をつかむような話でとんちんかん。
否、尻込みする必要はない。
この対称性、けっこう日常の中で僕らは経験している。
たとえば、ここに一本のタイヤがある。
それもBRIDGE……なんて印字されてない
無地のタイヤだったとしよう。これを回転させる。
さて、好き勝手なところで止めたとして、
止めたタイヤは、元のタイヤと同じに見えはしないだろうか？
それは何回くり返そうが、
どんなにてきとうなところで止めようが、
いつでも同じに見えるはず。
このことを数学では「回転における対称性」と言う。
「なぁんだ、説明すると長ったらしくなるので、
短くまとめて言っただけじゃん」
その通り。おどろおどろしい言葉の裏には、
こんな分かりやすい世界が隠されている。
この対称性、代表的なものがもう一つある。
それは「置き換えの対称性」
今度は、きゃぴきゃぴの少女に登場願おう。
2月も立春を過ぎれば、彼女らが心待ちするメーン・イベント、
バレンタイン・デーがやって来る。
そこで、彼女らの生態をさぐってみようと思うのだが、
ある少女A（笑）、バレンタインにチョコをあげたいと思っている
男の子が3人ほどいる。
まっ、少女というものの想いは似たり寄ったりだから、
男の子たちを①本命君、②スペア君、③義理君なんて
区分けしているかもしれない。
ところがどっこいこの少女、他の子とちょっと違って
ものすげー物ぐさときている（笑）
ほんらいなら①君には、前の晩にチョコを溶かし、型に流し、
おまけに飾りビーズなんか乗っけちゃう
ヘビー級に心のこもったやつを手渡すはずなのに、
この娘は、前の日スーパーの安売りで買った〇〇製菓の板チョコを、
何のためらいもなく①君、②君、③君に配ってしまうんだ。
ああ、このずぼらさが
彼女の背後にとてつもない世界を広げてしまうなんて、
いったい誰が予想できたろう？（笑）
えっとこの際、①君、②君、③君を、
もっと手短に①、②、③と表したい。
みな同じ板チョコをもらうんだから、
たとえば、①に渡そうと思ったチョコを②、③に渡しても
何ら支障はきたさない。
ヘビー級なやつじゃないからね。
ということは、板チョコをどう置き換えても
「もらう者」には同じってこと。
このことを数学では、「置き換えの対称性」って言う。
もちろん、①のチョコに「I Love You.」なんて
手紙を忍び込ませては駄目！（笑）
対称性は崩れてしまう。
ここからが本題。
この置き換え方法、いったいどのぐらいあるだろうか？
たとえば、
① ② ③ （①➡②に、
＼ ／ ｜ ②➡①に、
／ ＼ ｜ ③はそのまま）
① ② ③
これを置き換え(a)とする。
全てを列挙すれば……
① ② ③ （②➡③に、
｜ ＼ ／ ③➡②に、
｜ ／ ＼ ①はそのまま）
① ② ③
(ｂ)
① ② ③ （①➡③に、
＼ ｜ ／ ③➡①に、
／ ｜ ＼ ②はそのまま）
① ② ③
(c)
① ② ③ （①➡②に、
＼ ＼ ／ ②➡③に、
／ ＼ ＼ ③➡①に）
① ② ③
(d)
① ② ③ （①➡③に、
＼ ／ ／ ②➡①に、
／ ／ ＼ ③➡②に）
① ② ③
(f)
① ② ③ （置き換えをしない）
｜ ｜ ｜
｜ ｜ ｜
① ② ③
(e)
の6通りあることが分かる。
これら置き換えa、b、c、d、e、fがただ者じゃない。
二回連続して置き換えた時を調べてみればいい。
① ② ③
＼ ／ ｜ 置き換えa
／ ＼ ｜
① ② ③
＼ ｜ ／ 置き換えc
／ ｜ ＼
① ② ③
これを続けて操作したという記号＊でつなげると
a * c で表せる。（この記号化も数学の省エネ法。
もともと数学ってものぐさ―笑）
この操作は、①➡②➡②に、 ②➡①➡③に、③➡③➡①に、
……結局、①➡②、②➡③、③➡①に
置き換えたことになるから
① ② ③
＼ ＼ ／
／ ＼ ＼
① ② ③
(d)
と等しいことが分かる。ということは……a * c＝d
同じように二つの置き換えを続けてやる操作を調べると、
a * b＝f、 a * d＝c、 a * f＝b、 a * e＝a、 a * a＝e
b * c＝f、 b * d＝a、 b * f＝c、 b * e＝b、 b * b＝e
c * d＝b、 c * f＝a、 c * e＝c、 c * c＝e
d * d＝f、 d * e＝d、 d * f＝e
f * f＝d、 f * e＝f
（お暇な方は、図を描いて確かめられたし）
――続く
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母が逝った。
享年103歳、あっぱれな人生だった。
他人は「大往生」と言うだろうが
残された身内としては、やっぱり一抹の寂しさ、
というより焦点の定まらない虚脱感におそわれている。
子は親の分身とよく言われるけれど、
親も子の分身であるに相違ない。
二度の大戦、二度の大震災を経験した母には、
決して幸せばかりの人生ではなかった。
いやむしろ計り知れない辛酸を嘗め尽くしたと
言えるかもしれない。
僕が知る限りでも、裸電灯の下で内職や縫物をしていた
母の姿が浮かぶ。
一庶民とし大正、昭和、平成という時代を背負って生き抜いた。
そんな母のモットーは
「人様に迷惑をかけるな」だった。
若いころ、それが世間体ばかりを気にする偽善に思え
逆らいもし、諍いもした。
けれど、恥を知る文化をかなぐり捨て、
勝手気ままに権利を振り回し、
人様への迷惑など一向に顧みない社会になってしまえば、
彼女ら世代の生き様がいかにかけがえないものだったか、
思い知らされる毎日なのだ。
こんな社会にしてしまった僕らは
子や孫にどんな心を伝えてゆけるだろうか、
はなはだ心もとない。
一昨年車いす生活になってからも
母はせっせと趣味の俳句をしたためていた。
その句帳の最後に記された絶筆ともいうべき
いくつかの句がある。
季節も時代もバラバラだったけれど、彼女の生涯が
走馬灯のように浮かぶ。
筆記具は石筆石板一年生
新緑のこの山越ゆれば我が家かな
百歳や丈巾余す衣更
曾孫等来俄か玩具屋お正月
古戦場城址萬朶の桜咲く
城址に人知れず咲く満開の桜花は
あの不幸な戦争を終え、飢餓暮らしのさなかに見た
ひとつの光明だったに違いない。
朴の葉の落ちて光となりにけり（潤太）
ご苦労様、そしてありがとう。
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「全ての素数の積は4π²になる」の解法が、動画で見つかった。
インターネット恐るべし。
悪酔いしてもかまわない方はお読みください（笑）
数学を解く最も基本的な手法は、
「扱いずらい情報をより扱いやすい情報」に置き換えること。
この解法でも二つのエポックがあった。
一つは、
ゼータ関数がオイラー乗数（オイラー乗数がゼータ関数）に表すことができることから
並び方の分からない素数から、並び方の分かっている自然数に置き換えたこと。
もう一つが、
ゼータ関数の絶対値の対数――log|ζ(n)|をテイラー展開を使うことで級数表示にしたこと。
かなり分かりやすい説明だったけど、やっぱりそうは問屋が卸さない。
途中、ゼータ関数の特殊値を使わなければならなくなり、
この特殊値について理解するのは……ゼータ関数が生まれてきた経緯や、
解析接続などをひも解かなくちゃいけないみたいで、ぱっぱらぱー（笑）
まっ特殊値として、
ゼータ関数の0での微分値は、ζ'(0)＝1/2log(2π)になり、
ζ(0)＝1/2 であることが分かっているらしいから、このまま鵜吞みにしよう。
ただし、ここでπがあらわれる。おそらく2×3×5×7×11×……＝4π²――
拡散する無限値が、ある数（4π²）と対応しているというこの数式マジックの
種が隠れているところなんだろうな、きっと。
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2016年、12月24日
この夕焼けに包まれた時、
何故か「僕の2016年は今日でおしまい」
という気がした。
かみさんは、家の中。
僕は家の外の祓い
窯小屋につるす。
これから一年で一番寒い時期を迎える。
ソラマメにビニールのトンネル。
日めくりが一枚一枚はがれてゆくように
年越しの祓いが済んでゆく。
老母が緊急入院してからひと月ほど経った。
齢百二から思えば、
彼女にとって、此岸、彼岸の年越しを迎えているのかもしれない。
日々母の病床を訪ねながら、不思議と静かな時を過ごしている。
でもどこかで、高く堅固な死の壁を体感しているのだろう。
仕事に全く身が入らず、情けないことに神経性の下痢が続いている。
66年間、身近にい続けた人なんだもの仕方ないか……
子は親の分身ってよく言うけど、親も子の分身だな。
こうして親は、
子や孫が描く人生というカンバスの借景となる。
母の最期の教えに相違ない。
僕もいずれは借景になる。
日常に開いた本然の姿と出会うとき、
無性に数学をやりたくなる。やれやれ（笑）
今回もネットサーフィンして見つけた不思議な数式。
Πi＝1〜∞Pi ＝ ４π²
（但し、P1＝2, P2＝3, P3＝5, P4＝7, P5＝11,……の素数列 ）
えっえー！？
全ての素数の積だから ２×３×５×７×11×……＝４π²
ってこと。
４π²は、だいたい４×3.14×3.14だから39.4384。
っつうことは無限個の素数の積が有限値を持つ？
「全ての」がミソらしい。もちろん有限個では、
例えば２×３×５×７×11＝2310になるから
上の数式はあてはまらない。
そのうえ有限個の積の方が、無限個よりも値が大きい。
（2310＞39.4384）
常識ではこんな事ありえない。
卵を割ったら鶏が出てきたみたいなもんだ（笑）
ただ、この数式を眺めていると、
左辺と右辺に共通したある言葉が見えてくる。
それは「無限」
左辺は、自然数（個数）としての無限で、
右辺は、ご存じπ（円周率）が現れるので、
小数点以下が永遠に続く実数点としての無限。
いわば存在の無限が状態の無限に置き換わった式
と言うこともできる。
あれれ、ここでも宇宙論が追い求めている
粒子性と波動性が出てきちまった。
なんともはや、宇宙は不思議に満ちている。
そして人生も不思議に満ちている。
正月、酒でも飲みながら解法に挑戦してみようっと。
悪酔いしそうだけど……（笑）
よいお年をお迎えください。
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