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僕には変な読書癖があって、
読むたびに主人公たちが食べたり、飲んだり
あるいは出かけたりしたことを
そのまんま真似したくなっちゃうのだ。
忘れもしない小学4年生のとき。
国語の教科書に外国の木こり親子の話しが載っていた。
むろん、話の筋なんか覚えてはいない。
ただ一か所、親子で囲む昼食の場面だけは鮮明に残っている。
なんせそのメニューがすごい。干し玉ねぎにチーズ！！
10歳の少年は、何故かものすごーく、ものすごーく、
魅了されちゃったのだ。
そのころのチーズは、
そん所そこいらの子供が食べられるような代物じゃなかったから
とりあえずは干し玉ねぎの方。
これなら僕にもできるとばかり、
台所から一つくすねてくると誰にも見つからないような軒下に吊るしておいた。
一週間ほどしてかぶりついた時の辛かったこと。
涙はポロポロ出るし、鼻水は垂れるし、ひどい目にあった。
（考えてみれば、玉ねぎって新玉ねぎ以外はみんな、干し玉ねぎなんだよね―笑）
そんなことにもめげず、長じてからも「真似っこ癖」は治らなかった。
『凱旋門』（作―レマルク）を読んだときは、
ナチスに追われる亡命医師ラヴィックが場末の酒場でオーダーする
カルヴァドスというリンゴで作った酒を味わってみたくなった。
（ハードボイルド風に何度も何度も出てくるんだもの―笑）
これは、十数年前かなえられた。
ああ、馥郁たる香りのスピリッツで、大げさでなく積年の想いが遂げられた。
新田次郎の山岳小説にはまっていた時は、
播隆上人が歩いた道を踏襲したくて笠ヶ岳登山を試みたり、
『剣岳・点の記』では、身の程知らずに長次郎雪渓を登攀し
肝を冷やしたこともあった。
最近読んだ本で引っかかっているのはこれ。
（と言っても、四、五年前になるけど……）
e【iπ】＋1＝0 (eは、ネイピア数）
《【iπ】は、eの乗数を表す。例えば、e【2】＝e²のこと。》
「オイラーの等式」と言われるもので、
『博士の愛した数式』（著―小川洋子）に出てくる。
最も美しい数式の一つとされているのだから、検証好きにはたまらん（笑）
それにしても、iπ乗って何だ？
πは円周率で、永遠に値が定まらない無理数だけど、
一応この世に存在している。
ところがiに至っては虚数単位だもんね。どこを捜したってありゃしない。
そんな虚ろな数だけ累乗するって、意味わかんねぇ（笑）
ほんとに、この数式の論理的正しさなんてあるのかと、
半信半疑でネットサーフィンしてみたら、
あるわあるわ、きら星のごとく解法の動画が出てきた。
それもある公式を鵜吞みにさえすれば、
あとは高校で習う微分法を使って解けてしまうというお安さ感。
さっそく辿ってみた。
まずは、鵜呑みにする公式から……
マクローリン展開と言われるもので、
ある区間で無限回微分可能な関数f(x)は、無限多項式として
表すことができる……というもの。式にすれば、
f(x)＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋a₄x⁴＋a₅x⁵＋……(＊)
a₀、a₁、a₂……は、係数。
この公式をもとに据えて、「オイラーの等式」にたどり着くための手順を踏んでみる。
まずは……
１） ネイピア数eの指数関数e【x】は微分してもe【x】―― e'【x】＝e【x】
（指数関数とはaの何々乗ってやつ。この場合、eのx乗ってこと）
ということは何回微分しても同じe【x】で、
無限回微分も可能だから
f(x)＝e【x】とおけて、先の(＊)表示すると、
e【x】＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋a₄x⁴＋a₅x⁵＋……(＊)
※ この式にx＝0を代入すれば
e【0】＝a₀ （x＝0よりx, x²,x³,x⁴,x⁵……の項はすべて0になる）
となり、e【0】＝e⁰＝1であるからa₀＝1となる。
※ 続いて、e【x】を一回微分する。
(＊)はe'【x】＝a₁＋2a₂x＋3a₃x²＋4a₄x³＋5a₅x⁴＋……
となり、e'【x】のxをx＝0と置けば、
e'【0】＝e【0】＝１＝a₁より a₁＝1
※ 次にe【x】を二回微分して、
e''【x】＝2a₂＋3×2a₃x＋4×3a₄x²＋5×4a₅x³＋……
となるから、e''【0】＝e【0】＝1＝2a₂となり、a₂＝1/2
※ さらに三回微分すると、
e'''【x】＝3×2a₃＋4×3×2a₄x＋5×4×3a₅x²＋……
となり、e'''【0】＝e【0】＝1＝3×2a₃より、a₃＝1/3×2
※ 漸次、係数a₄,a₅……を求めてゆけば、
最初に与えられた公式(＊)は、
e【x】＝1＋x＋1/2!x²＋1/3!x³＋1/4!x⁴＋1/5!x⁵＋……①
となる。
（ちなみに、2!＝2×1、3!＝3×2×1、4!＝4×3×2×1、……）
２） sin(x)を微分すると、sin'(x)＝cos(x)、
cos(x)を微分すると、cos'(x)＝−sin(x)
このことから
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
sin'(x)＝cos(x)
sin''(x)＝cos'(x)＝−sin(x)
sin'''(x)＝−sin'(x)＝−cos(x)
sin''''(x)＝−cos'(x)＝sin(x)
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
これで元のsin(x)に戻ったから、4回周期で繰り返される。
また明らかに無限回微分が可能。
先の(＊)のf(x)を、sin(x)と置くと、
sin(x)＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋a₃x³＋a₄x⁴＋a₅x⁵＋……
計算は省略するが、１）と同様に、何回か微分を重ね係数の値を求めれば、
sin(x)のマクローリン展開は
sin(x)＝x−1/3!x³＋1/5!x⁵−1/7!x⁷……②
（続く）
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