卒研覚書【考察その２】

さて、今週の考察です。



2.3.熱方程式


さて、熱方程式


(１)　　　u_t − △u ＝ 0


及び非斉次熱方程式


(２)　　　u_t − △u ＝ f


について学習していこう。

なお条件は以前と同じようにとる。

ｔ＞0、ｘ∈Ｕ(ＵはＲ＾nの開空間)であり、u(x，t)は*Ｕ×[0，∞) → Ｒの未知関数(*ＵはＵの閉包)。ｆはＵ×[0，∞) → Ｒの既知関数。

また、△は空間変数xについてのラプラシアンである。


(中略)



【物理的解釈】"diffusion equation＝拡散方程式？"として知られている熱方程式は、熱や、化学濃縮のようなエネルギー密度の時間による放出を述べている。もしＶ⊂Ｕが滑らかならば、Ｖ内の変化率の総量はＶの境界での流動率の負値と等しい。つまり下式


(d/dt)(∫udx)[Ｖ] ＝ −∫Ｆ・νdS[∂Ｖ]　　　　([]内は積分区間)


でかける。


Ｆ：熱流束密度
ν：境界での外向きの単位法線ベクトル


である。




ゆえにu_tはＦの拡散divＦの負値と等しい。


【ガウスの発散定理を使えば問題なし！ただ積分と微分の順序交換は認めないといけない。】


また、Ｆはuの勾配に比例していて、−aＤuとしてよい。(負なのは熱量が高いところから低いところへ移行していく過程を考えれば想像しやすいだろう)

ゆえに、


u_t＝−divＦ＝−tr(ＤＦ)＝−aＤ＾2u＝−a△u


よりa＝１のとき(１)式になる。





何かね、今日のはあっさり終わったんですよ。


なので特に言うことナッシングです(汗)


さて、次がなかなかハードみたいです。



これ考察になってないやんというお話。

おしまい☆