４．フィボナッチ数列を利用したパラドックス（一般的なお話）

４．フィボナッチ数列を利用したパラドックス（一般的なお話）

正方形から長方形に、中の要素を並び替えただけで、面積が一つ減ってしまう訳に関して、色々述べて来ましたが、最後に一般化した纏めを行います。

一般的な話をすると、フィボナッチ数列の中の隣りあう４つの数 a, b, c, d（a＜b＜c＜d）を拾って上図のような図形をつくったとき、図形内の長方形と正方形の面積は常に 1 だけ違うんです。

　これは、「２．実はこのパラドックス「フィボナッチ数列」が隠されているんです」のところで書いた「ac と b2 の差は 1 である」という理由によります。

【 注　意 】　フィボナッチ数列では隣りあう３数は足し算の関係にある、ということを思い出しましょう。　a＋b＝c と b＋c＝d が成り立っています。

ただ、注意しなければいけないのは、ac−b2＝1 だけでなく ac−b2＝−1 が成り立つ場合もあるということ。

　　　　　

　つまり、隣りあう４数 a, b, c, d の選びかたによっては長方形の面積の方が大きい場合もあるし、逆に正方形の面積の方が大きい場合もあるんです。

　ということは、１．や３．で書いたような「あれ？　面積１のピースが余っちゃった！」という話だけでなく、「あれ？　面積１のピースが足りないぞ !?」なんていう話もつくることができるわけですね。

　すごいですね！

　　　　　
　ちなみに、「１．こんなパラドックス、ありましたよね 」での話は a＝5, b＝8, c＝13, d＝21 の場合、「３．フィボナッチ数列の不思議」での話は a＝13, b＝21, c＝34, d＝55 の場合に相当します。

フィボナッチ数列ひとつで、いろんな大きさで話ができる。

　こぅなったら、大きな直角三角形モドキをつくって自分独自のパラドックスを講じてみるのも一興かもしれません。

以前にご紹介した、これも、フィボナッチ数列から成り立っている図形です。

　　　　　　　「不思議な図形　　面積計算・・・合ってますよね！？」
　　　　　

a＝3, b＝5, c＝8, d＝13''' の場合ですね！！

この、正方形要素を入れ替えてできた長方形の縦横の比率は

おおよそ　１：２．６　になっています。このへんも黄金比と関係あります

人間の目がこのフィボナッチ数列でなりたつ図形を特別に感じる理由が分った様に思いませんか

阿奉先生、こんにちは！
このたびは、お便りありがとうございました！
この記事も、興味深く読ませていただきました。
pcのゲームなどより、ずっと奥が深くて面白く、図形の美しさをみているだけでわくわくしてきますよね。まさに高級知的ゲームだと思います。

長今さん、この世の中の神様の創造物には素晴らしい規則性があるんですね。数学はこのような自然界の哲理を論理的に説明するもののようです。

ＴＢありがとうございます。ＴＢされた記事がファン限定みたいなので、こちらにコメント入れていきます。フィボナッチ関数に関しては、面白く読ませていただきましたが、正方形と長方形の面積に関しては、目の錯覚ですよね。台形と三角形の組み合わせは、直角三角形になりませんので。底辺：高さ＝１３：５の三角形の相似な三角形であるのならば、高さが８の場合、底辺は２０．８でなければいけません。この長方形を半分にした直角三角形に見えるものは、実際は斜辺が少し歪んだ四角形ですよね。それを２つ組み合わせたら、長方形にはなりません。その重なった部分(または、空白の部分）それが面積１分ですね。間違ってますか？

ボケドリさん、うっかりＴＢ先の記事を間違ってリンクしてしまいました。改めてご覧いただければ幸いです。
この幾何学トリックの種明かしはご指摘のとおりです。

阿奉さん お早う御座います。
確かに、自然現象には、「神の摂理」とでも言いたい様な、見事な規則性が有りますね。人間も、規則性を心地よく感じる「感性」を神様から付与されて
いるのでしょうかね。貴方のご専門の延長線上に有る建築学でも、ル・コルビジェのシンメトリックな
構造体に妙に安心感を感じるのは、その為なのでし
ょうか。フェルマーの大定理も長年に亘って、未解決のままでしたが、何処かの誰かが「解」を発見し
た途端に、我々の生活には、何の関係も無いのだけれど、何故か喉の痞えが消えた様な妙な感情を抱いたのは、私だけでしょうか。矢張り、「規則性」は
人間の心理を安定させる「力」が隠されているので
しょうか。

buginnoseさん、おっしゃるとおり。数学は人類が自然の理を解釈するために発展した学問で、地球のみに適合する理論ではなく全宇宙に適合する心理のようです。宇宙のどこかに存在する高等生物向けのメッセージとして、火星着陸に成功した宇宙衛星には数学のメッセージが幾何学模様として彫り込んであると聞いたことがあります。

昔書いた書道関係の記事で「黄金分割」について書いたことがあったので、思わずトラックバックさせていただきましたので、お願いします。