円周率の計算法 １ (アルキメデスの方法）

〜 半径 ｒ の円の面積が πｒ2 となること　〜

（証明）　次の３つのステップを踏んで示す。

[１]

　半径 ｒ の円に内接する正 ３×２n 多角形の周の長さを Ｌ(ｎ)、外接する正 ３×２n 多角形の周の長さを Ｌ’(ｎ) とすると、

　　 Ｌ(ｎ) ＜ Ｌ（円周の長さ） ＜ Ｌ’(ｎ)

が成り立ち、ｎ を限りなく大きくしたとき、Ｌ(ｎ)、Ｌ’(ｎ) はともに Ｌ に収束する。
　　　　　　　　　　　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle410.gif

　実際に、｛Ｌ(ｎ)｝は上に有界な単調増加列で、｛Ｌ’(ｎ)｝ も下に有界な単調減少列であるので、ともに収束する。このとき、△ＡＨＯ ∽ △ＣＡＯ　であることに注意して、
=

　　　　Ｌ’(ｎ) −Ｌ(ｎ) ＝（（ｒ/√(ｒ2-l(ｎ)2)）−１）Ｌ(ｎ)

（ ただし、l(ｎ) ＝ ＡＨ　）から、 ｎ → ∞ としたときに、Ｌ’(ｎ) −Ｌ(ｎ) → ０ となる。
　したがって、｛Ｌ(ｎ)｝、｛Ｌ’(ｎ)｝ ともに同じ極限値を有し、挟み撃ちの原理により、

　　　　ｎ → ∞ としたとき、Ｌ(ｎ) → Ｌ

となる。

　　（補足）　上記の不等式　Ｌ(ｎ) ＜ Ｌ（円周の長さ） ＜ Ｌ’(ｎ)　で、
　　　　　　Ｌ(ｎ) ＜ Ｌ（円周の長さ）　であることは、自明としてよいだろう。
　　　　　　（なぜなら、２点を結ぶ線分の長さが、その最短距離を与えるからである。）
　　　　　　それに対して、 Ｌ（円周の長さ） ＜ Ｌ’(ｎ)　を自明とするには少し抵抗がある。
　　　　　この点について、メールを頂戴した方は次のように説明してくれた。
　　曲線の長さは、曲線上の点を結ぶ折れ線の長さの和の極限として与えられる。（その意味では、Ｌ(ｎ) が Ｌ に収束するのは定義そのものである。）

　　　　　　　　　　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle411.gif

　上図において、｛Ｑｎ｝は、弧ＡＢ上の分点である。各分点と点Ｏを結ぶ直線が点Ａにおける接線ＡＰと交わる分点が｛Ｐｎ｝である。
ＰｋＲｋ＋１とＱｋＱｋ＋１ は平行とする。このとき、
　　ＱｋＱｋ＋１＜ＰｋＲｋ＋１＜ＰｋＰｋ＋１
　が成り立つ。
　　この不等式から、
　　　　弧ＡＢの長さ ＜ 線分ＡＰの長さであることが分かり、よって、
　　　　Ｌ（円周の長さ） ＜ Ｌ’(ｎ)
　である。

（コメント：分かりやすい証明ですね！これで、これまでのモヤモヤが胡散霧消した感じです。）　　　

[３] 　(アルキメデスの方法）

　　　　　　　　http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg/250px-Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg
　半径 ｒ の円に内接する正 ３×２n 多角形の面積を Ｓ(ｎ) とおく。
　　　　　　　http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Archimedes_pi.png

　内接する正多角形は、隣り合う頂点２個と円の中心 Ｏ を頂点とする ３×２n 個の合同な二等辺三角形 △(ｎ) に分割できる。一つの三角形 △(ｎ) において、次のようにおく。

　　(円の中心 Ｏ を端点にもたない辺の長さ)＝２×l(ｎ)

　そのとき正多角形の面積 Ｓ(ｎ）と周の長さ Ｌ(ｎ) はそれぞれ次のように表される。

　　　　　　Ｓ(ｎ)＝３×２n×(△(ｎ) の面積)＝３×２n×l(ｎ)×√(ｒ2-l(ｎ)2)

　　　　　　Ｌ(ｎ)＝３×２n×(△(ｎ) の辺で端点が Ｏ でない１辺のさ)＝３×２n×l(ｎ)×２

[１]、[２] から、半径 ｒ の円に対して、 ｎ → ∞ としたとき、

　　　　　　lim Ｌ(ｎ) ＝ lim { ３×２n×２×l(ｎ) } ＝ π×２ｒ

　　　　すなわち、　　 lim { ３×２n×l(ｎ) } ＝ π×ｒ　　となる。

また、 ｎ → ∞ としたとき、 l(ｎ) → 0 となることから、これらを用いて

　　　　　　lim Ｓ(ｎ)＝lim[３×２n×l(ｎ)×√(ｒ2-l(ｎ)2)]
　　　　　　　　　　　　　　~~~~~~~~~~~~　　~~~~~~~~~~~~　
　　　　　　　　　　　　　　　　　↓　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　　＝ 　　　π×ｒ　　　×　　√(ｒ2)　　　　＝π×ｒ2

であることが得られる。

　同様にして、半径 ｒ の円に外接する正 ３×２n 多角形の面積を Ｓ’(ｎ) とおくと、

　　　　　　　　　Ｓ(ｎ） ： Ｓ’(ｎ) ＝ ｒ2-l(ｎ)2 ： ｒ2

なので、　Ｓ’(ｎ)＝ （ｒ2/（ｒ2-l(ｎ)2））Ｓ(ｎ）　が成り立つ。

　よって、この場合も、　　lim Ｓ’(ｎ)＝lim Ｓ(ｎ)＝π×ｒ2　　であることが分かる。

したがって、　Ｓ(ｎ） ＜ Ｓ（円の面積） ＜ Ｓ’(ｎ)　において、挟み撃ちの原理により、

　　　　　　　　　　　 Ｓ（円の面積）＝π×ｒ2

が成り立ち、

　　　　　半径 ｒ の円の面積の公式は、　半径×半径×円周率（＝π ｒ2）

であることが示された。　（証終）
　　　　　　「半径１の円に内接する正ｎ角形と外接する正ｎ角形の面積」

[nagayama426]

ＴＢさせてもらいます。