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（証明） 次の３つのステップを踏んで示す。 [１]
半径 ｒ の円に内接する正 ３×２n 多角形の周の長さを Ｌ(ｎ)、外接する正 ３×２n 多角形の周の長さを Ｌ’(ｎ) とすると、
Ｌ(ｎ) ＜ Ｌ（円周の長さ） ＜ Ｌ’(ｎ)が成り立ち、ｎ を限りなく大きくしたとき、Ｌ(ｎ)、Ｌ’(ｎ) はともに Ｌ に収束する。http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle410.gif 実際に、｛Ｌ(ｎ)｝は上に有界な単調増加列で、｛Ｌ’(ｎ)｝ も下に有界な単調減少列であるので、ともに収束する。このとき、△ＡＨＯ ∽ △ＣＡＯ であることに注意して、 = Ｌ’(ｎ) −Ｌ(ｎ) ＝（（ｒ/√(ｒ2-l(ｎ)2)）−１）Ｌ(ｎ)（ ただし、l(ｎ) ＝ ＡＨ ）から、 ｎ → ∞ としたときに、Ｌ’(ｎ) −Ｌ(ｎ) → ０ となる。したがって、｛Ｌ(ｎ)｝、｛Ｌ’(ｎ)｝ ともに同じ極限値を有し、挟み撃ちの原理により、 ｎ → ∞ としたとき、Ｌ(ｎ) → Ｌとなる。（補足） 上記の不等式 Ｌ(ｎ) ＜ Ｌ（円周の長さ） ＜ Ｌ’(ｎ) で、 Ｌ(ｎ) ＜ Ｌ（円周の長さ） であることは、自明としてよいだろう。 （なぜなら、２点を結ぶ線分の長さが、その最短距離を与えるからである。） それに対して、 Ｌ（円周の長さ） ＜ Ｌ’(ｎ) を自明とするには少し抵抗がある。 この点について、メールを頂戴した方は次のように説明してくれた。 曲線の長さは、曲線上の点を結ぶ折れ線の長さの和の極限として与えられる。（その意味では、Ｌ(ｎ) が Ｌ に収束するのは定義そのものである。） 上図において、｛Ｑｎ｝は、弧ＡＢ上の分点である。各分点と点Ｏを結ぶ直線が点Ａにおける接線ＡＰと交わる分点が｛Ｐｎ｝である。 ＰｋＲｋ＋１とＱｋＱｋ＋１ は平行とする。このとき、 ＱｋＱｋ＋１＜ＰｋＲｋ＋１＜ＰｋＰｋ＋１ が成り立つ。 この不等式から、 弧ＡＢの長さ ＜ 線分ＡＰの長さであることが分かり、よって、 Ｌ（円周の長さ） ＜ Ｌ’(ｎ) である。 （コメント：分かりやすい証明ですね！これで、これまでのモヤモヤが胡散霧消した感じです。） [３] (アルキメデスの方法）http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e7/Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg/250px-Domenico-Fetti_Archimedes_1620.jpg半径 ｒ の円に内接する正 ３×２n 多角形の面積を Ｓ(ｎ) とおく。 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Archimedes_pi.png 内接する正多角形は、隣り合う頂点２個と円の中心 Ｏ を頂点とする ３×２n 個の合同な二等辺三角形 △(ｎ) に分割できる。一つの三角形 △(ｎ) において、次のようにおく。 (円の中心 Ｏ を端点にもたない辺の長さ)＝２×l(ｎ) そのとき正多角形の面積 Ｓ(ｎ）と周の長さ Ｌ(ｎ) はそれぞれ次のように表される。 Ｓ(ｎ)＝３×２n×(△(ｎ) の面積)＝３×２n×l(ｎ)×√(ｒ2-l(ｎ)2) Ｌ(ｎ)＝３×２n×(△(ｎ) の辺で端点が Ｏ でない１辺のさ)＝３×２n×l(ｎ)×２ [１]、[２] から、半径 ｒ の円に対して、 ｎ → ∞ としたとき、 lim Ｌ(ｎ) ＝ lim { ３×２n×２×l(ｎ) } ＝ π×２ｒ すなわち、 lim { ３×２n×l(ｎ) } ＝ π×ｒ となる。 また、 ｎ → ∞ としたとき、 l(ｎ) → 0 となることから、これらを用いて lim Ｓ(ｎ)＝lim[３×２n×l(ｎ)×√(ｒ2-l(ｎ)2)] ~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~ ↓ ↓ ＝ π×ｒ × √(ｒ2) ＝π×ｒ2 であることが得られる。 同様にして、半径 ｒ の円に外接する正 ３×２n 多角形の面積を Ｓ’(ｎ) とおくと、 Ｓ(ｎ） ： Ｓ’(ｎ) ＝ ｒ2-l(ｎ)2 ： ｒ2 なので、 Ｓ’(ｎ)＝ （ｒ2/（ｒ2-l(ｎ)2））Ｓ(ｎ） が成り立つ。 よって、この場合も、 lim Ｓ’(ｎ)＝lim Ｓ(ｎ)＝π×ｒ2 であることが分かる。 したがって、 Ｓ(ｎ） ＜ Ｓ（円の面積） ＜ Ｓ’(ｎ) において、挟み撃ちの原理により、 Ｓ（円の面積）＝π×ｒ2 が成り立ち、 半径 ｒ の円の面積の公式は、 半径×半径×円周率（＝π ｒ2） |
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2008年06月30日
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「コンピュータのベンチマークテストに用いる円周率計算」で円周率の計算がコンピュータ性能のベンチマークテストとして使われることをお伝えした。 そこで高校生に表計算ソフトＥＸＣＥＬを使って円周率の近似値を計算させる演習を思いつき、円周率の近似値を求める方法をネット上で色々探してみたが、なかなか奥が深い。  久しぶりにいい頭の体操になったのでご紹介したいと思う。 円周率πを厳密に求める方法円の面積は、「円周率×半径×半径」により与えられる。日本の小学校では、小学４年で、面積の概念を学習して正方形や長方形の面積を求め、小学５年で、ようやく、平行四辺形の面積を学んだあと、その延長線上で、円の面積が教えられる。 もっとも、小学校では、「半径×半径×３．１４」（実際に計算する場合は、半径×半径×３と概数計算をして求める場合があるかもしれない）であるが、円周率として、π を用いるのは、中学１年になってからである。 小学校で、微分積分をやるわけにはいかないので、何となく雰囲気で説得されて、円の面積の公式を納得しているというのが現状である。 円の面積は、厳密には微分積分によって証明されるが、そのことを学習するのは、通常、高校３年の秋〜冬に学習する「数学�掘廚砲�いてである。（一部の受験進学校では、２年の冬〜３年春頃かもしれない。） したがって、円の面積の公式を小学校５年で学んで以来、高校３年の終わり近くまで中途半端な立場に、円の面積の公式は甘んじているわけである。（何て健気なんだろう！） しかしながら、「数学�掘廚魍惱�する高校生は、それほど多くはない。そうすると、日本の高校生の大多数は、円の面積の公式について自己完結しないまま数学の学習を終了してしまっているわけで、「数学は、公式を覚えて、使えればいいのさ」という流れになっている。 私個人的には、「直感的に理解できれば、証明などなくてもいいかな〜」という立場（これは、もしかして、グロタンディエック流かな？）だが、人を説得したり、直感的に理解できない場合は、やはり、内的・外的に説得する道具として、証明は必要だろうと思う。また、証明を通して、公式の本質的な理解が得られる場合があるかもしれない。 高校３年で学習する三角関数の微分積分が、円の面積の公式を証明する道具である。 三角関数の微分積分の基礎は、 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle401.gif という公式である。 この公式の証明は、教科書では、三角形と扇形の面積を評価する不等式を用いてなされるのが通常である。 従来から、そのような証明方法は、循環論法であるという指摘はあったが、依然として、教科書の記述が直らないのは、高校数学の七不思議の一つである。 このことについて、循環論法にならない形で、上記の極限の式を証明し、その結果を用いて、円の面積の公式を証明、最終的に扇形の面積を証明するという方法をHPとしてまとめられた方がいられることを、最近知った。 いろいろな直径をもつ円筒を紙上で転がし、その長さを測る。そして、実験結果から、直径と円周の長さの因果関係を考えさせる。多分、これが小学校での円周率導入の流れであろう。 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/2a/Pi-unrolled-720.gif/350px-Pi-unrolled-720.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/90/Diameter_and_Pi_1.gif よって、小学校５年で、 円周の長さ＝直径×３．１４（即ち、円周の長さ＝直径×円周率）という公式を、体感して学習する。 その後、円を平行四辺形の形に近似的に等積変形し、円の面積の公式を学習する。その際、 「円周の長さ＝直径×３．１４」の公式が使われ、円の面積＝半径×半径×３．１４ （即ち、円の面積＝半径×半径×円周率）であることを知る。ここに非常にわかり易い説明のサイトがある。「小学五年生に教える「円の面積の求め方」' 中学校に入って、小学校５年で学んだ円周率という用語に対して、新しく記号「 π 」を用いることを学習するだけで、求積問題に終始し、新しい進展は一切ない。 中学校では、円の扱いは図形の話に止まっていたが、高校では、「数学 II 」において、円を解析幾何的に取り扱うという新しい視点を学習する。 すなわち、中心の座標 （ ａ ， ｂ ） 、半径 ｒ の円の方程式は、 (Ｘ−ａ)2＋(Ｙ−ｂ)2＝ｒ2 で与えられることを知る。 その結果、今まで、「Ｘ2＋Ｙ2＝１」という式を問題文の中に見ても、何も感じなかったものが、「これは、原点中心、半径１の円周上の点(Ｘ，Ｙ)が満たす式だね」という考えが芽生え、数学の問題を、抽象的な代数的視点から、ある意味で具体的な幾何学的視点に置き換えることを可能にしてくれる。 ３．弧度法の導入弧度法については、「数学�供廖糞豎惱�指導要領では、「数学�掘廖砲砲�いて、学習する。これは角の大きさを表す方法で、中学校までは、４５度とか、９０°といった度数法（６０分法）が一般的であった。 弧度法を用いる理由は単純明快で、三角関数の微分積分の諸公式を簡単明瞭化するためである。もちろん、微分積分をやる以上、角度は実数という制約も含まれる。 私が高校生の頃、弧度法は、高校１年の「数学�機廚燃悗鵑棲个┐�ある。（こんなことを書くと、年がばれちゃうかな？）その後の学習指導要領では久しく高校２年で学んでいたが、直近の旧学習指導要領では、「数学 III 」に追いやられていた。間違いに気づいたのか、新学習指導要領では、元の形「数学�供廚防�活している。 弧度法は、小学校５年で学んだ公式：「円周の長さ＝直径×円周率」に大いに関係する。 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle403.gif 角の頂点Ｏを中心とする円周上で、弧ＡＢの長さが半径の長さ（ ｒ ）に等しいとき、中心角ＡＯＢを、１ラジアン（ｒａｄｉａｎ）という。 通常、単位ラジアンは省略される。これを単位として測るのが、弧度法である。 このことから、１ラジアンは大体、５７度ぐらいである。（詳しくは、５７°１７’４４”．８０６・・・） また、３０°は、π/６ 、６０°は、π/３ 、９０°は、π/２ なども直ちに知られる。 これらは計算によっても求められるが、それは「弧度法」の欲するところではない。 ９０°に対する弧の長さが、半円周の半分なので、π/２ だという感覚を身につけるべきであ ろう。６０°の場合は、半円周の３分の１、３０°の場合は、半円周の６分の１、・・・。 （このような公式は、度数法を用いても得られるが、公式の簡明さに関しては、こちらに軍配があがるだろう。その意味でも弧度法の優秀性が分かると思う。） 三角比については、高校１年で学ぶ「数学�機廚念靴錣譴襦�そこでは、中学校で学んだ相似比の延長として、主に図形の解析に用いられる。関数的な扱いは、「数学 II 」において学習する。三角関数のグラフがメインだと思うが、加法定理や単振動の合成の公式も含めて、多様な公式が洪水のように押し寄せてくるというのが率直な感想である。 おそらく多くの生徒が、その公式群の前に挫折を味わっているのではないかと思う。 原点中心、半径１の単位円において、周上の点Ｐと円の中心Ｏを結ぶ動径ＯＰが始線Ｏｘと作る角（一般には、動径ＯＰの表す角という。）がθであるとき、点Ｐの座標は、 Ｐ（ｃｏｓθ，ｓｉｎθ）で与えられる。http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/circle/circle404.gif これが、θに対する三角関数 ｓｉｎθ、ｃｏｓθの定義である。（もちろん、この場合のθは、弧度法で与えられる。）
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